В 1960-м году в ведущем научном журнале Science Хейнц фон Ферстер, очень известный математик, физик, один из основоположников кибернетики, вместе с двумя своими коллегами Морой и Амиотом опубликовали статью под названием «Судный день: пятница, 13 ноября 2026 года». В статье ученые показали, что динамика численности населения Земли с 1-го года по 1958-й год, в те годы, по которым в их распоряжении были эмпирические оценки, с невероятной точностью математически описывалась очень простым гиперболическим уравнением.

Foerster H. von, Mora P., Amiot L. Doomsday: Friday, 13 November, A.D. 2026. Science 132 (1960): 1291–1295.

1

Гиперболическое уравнение характеризуется наличием сингулярности в математическом смысле. То есть в этом уравнении есть особая точка классического типа, когда значение приходится делить на ноль. По их расчетам в этой точке, которая приходилась на 13 ноября 2026 года, население Земли должно было уйти в бесконечность, если бы оно продолжало расти по тому же закону, как росло с 1-го по 1958-й годы.

2

Каков все-таки был смысл открытия фон Ферстера? На самом деле из его открытиявытекало то, что до 2026 года закон роста численности населения мира должен поменяться на принципиально другой. Можно сказать, что его предсказание сбылось очень быстро. Потому что тот паттерн роста, который обнаружил фон Ферстер, продолжался только до начала 70-х годов. В 70-е — 80-е годы XX века закон роста численности населения Земли поменялся на фактически  противоположный тому, который действовал до этого времени. Это так называемый глобальный демографический переход, принципы и механизмы которого достаточно хорошо известны и изучены. Очень интересной стороной открытия фон Ферстера был сам факт того, что развитие такой предельно сложной системы, как человеческая Мир-Система, может быть описано какими-то необыкновенно простыми уравнениями.

Рекомендуем по этой теме:
24965
FAQ: Мифология низкой рождаемости

Коротаев А. В., Малков А. С., Халтурина Д. А. Законы истории: Математическое моделирование развития Мир-Системы. Демография, экономика, культура. М.: КомКнига/URSS, 2007

Коротаев А. В., Халтурина Д. А. Современные тенденции мирового развития. М.: Либроком/ URSS, 2009

Коротаев А. В., Комарова Н. Л., Халтурина Д. А. Законы истории. Вековые циклы и тысячелетние тренды. Демография. Экономика. Войны. М.: КомКнига/URSS, 2007. С. 7–47

Вишневский А. Г. Демографическая революция. М.: Статистика, 1976

Chesnais J. C. The Demographic Transition: Stages, Patterns, and Economic Implications. Oxford: Clarendon Press, 1992

Капица С. П. Сколько людей жило, живет и будет жить на земле. М.: Наука, 1999

3

Уравнение фон Ферстера очень простое. Численность населения мира в момент t равняется некой константе (215 млрд), деленной на 2026,85 (или округленно 2027), минус тот год, который вы считаете. Например, вам нужно посчитать население мира в 1927 году. Вы взяли 2027, вычли 1927, получилось 100. Теперь поделили 215 млрд на 100 — и получили 2 млрд 150 млн: и это будет достаточно точно соответствовать имеющимся эмпирическим оценкам численности населения мира на 1927 год. Соответствующее дифференциальное уравнение имеет следующий вид: абсолютные темпы роста населения Земли в данный момент времени равняются некоему коэффициенту, умноженному на численность населения в квадрате. Это и дает так называемый гиперболический рост. Если такое дифференциальное уравнение решить, то на выходе как раз и будет уравнение фон Ферстера.

Korotayev A., Malkov A., Khaltourina D. Introduction to Social Macrodynamics: Compact Macromodels of the World System Growth. Moscow: KomKniga/URSS, 2006. P. 118–123.

4

Надо объяснить, почему население Земли росло за многие века именно пропорционально квадрату своей численности. Ответ достаточно прост: в основе лежит «мальтузианская» популяционная динамика в сочетании с «кремеровской» динамикой технологического роста. На протяжении всего своего существования численность населения Земли стремилась к технологически обусловленной емкости среды. То есть при охотничье-собирательском образе жизни планета могла прокормить максимум десять миллионов человек, при переходе к экстенсивному земледелию речь шла уже о десятках миллионов, чтобы двигаться дальше, нужно было земледелие интенсифицировать, вводить все новые жизнесберегающие технологии, что и давало в конечном счете возможность населению расти. Однако, чем больше людей, тем больше потенциальных изобретателей, а чем выше уровень технологического развития, тем больше возможностей делать новые изобретения. В итоге у нас есть некая «мальтузианско-кремеровская динамика», заключающаяся в том, что, с одной стороны, рост населения Земли держит потолок технологически обусловленной несущей способности, а с другой стороны — сам этот потолок благодаря развитию технологий тоже растет, и растет тем быстрее, чем выше уровень технологического развития, и чем больше людей («потенциальных изобретателей») на нашей планете живет. Здесь объяснение дал американский экономист Майкл Кремер, который предложил очень простое уравнение технологического роста, называемое уравнением Кремера.

Рекомендуем по этой теме:
3416
Демографическая сингулярность
В это тоже сложно поверить, но оно работает.

Kremer M. Population Growth and Technological Change: One Million B.C. to 1990. The Quarterly Journalof Economics 108 (1993): 681–716.

Taagapera R. People, Skills, and Resources: An Interaction Model for World Population Growth. Technological Forecasting and Social Change 13 (1979) 13–30.

5

Согласно этому уравнению, на протяжении большей части существования человечества темпы технологического роста были пропорциональны с одной стороны самой технологии, а с другой — численности населения, то есть по сути своей численности потенциальных изобретателей. Здесь в основе лежит допущение, что миллион человек при прочих равных условиях изобретут где-то в тысячу раз больше, чем тысяча человек за то же время. Допущение достаточно простое, но оно работает. На самом деле уравнение фон Ферстера выводится из двух других: с одной стороны, это классическое уравнение демографического роста Мальтуса — Ферхюльста, а с другой — уравнение технологического роста Таагапера — Кремера. Вместе они и дают именно гиперболический рост, когда темпы роста населения растут пропорционально квадрату его численности.

Korotayev A. A Compact Macromodel of World System Evolution. Journal of World-Systems Research 11/1 (2005) 79–93

Korotayev A. Compact Mathematical Models of World System Development, and How they can Help us to Clarify our Understanding of Globalization Processes), in: G. Modelski, T. Devezas, W. R. Thompson (Eds.), Globalization as Evolutionary Process: Modeling Global Change, Routledge, London, 2008. P. 133–160.

6

Итак, откуда это берется? Почему, если население Земли вырастало с десяти миллионов человек до ста миллионов человек, то темпы его роста увеличивались примерно в сто раз? С одной стороны, если численность населения планеты увеличилась с десяти до ста миллионов человек, то это говорит о том, что технология выросла где-то раз в десять, если мы будем мерить ее как раз в людях, потому что она дает возможность прокормить в десять раз больше человек. Но также в десять раз выросло и количество потенциальных изобретателей. Поэтому в десять раз большее количество потенциальных изобретателей, обладая в десять раз более совершенной технологией, дадут в сто раз более высокие темпы технологического роста. А из-за того, что в мальтузианскую эпоху темпы роста населения стремились за темпами роста жизнесберегающих технологий, то мы на выходе будем иметь стократный рост темпов роста численности населения.

7

Существенно то, что вышеописанное — это положительная обратная связь второго порядка. С одной стороны, она генерирует гиперболический рост. Но с другой — это как раз та связь, которая генерирует так называемые фазовые переходы, когда за довольно быстрое время система превращается в качественно другую. То есть, что обнаружил фон Ферстер? По сути он обнаружил, что Мир-Система в этот момент находилась в состоянии фазового перехода. Это «банальный» фазовый переход от аграрного к современному постиндустриальному обществу, потому что если мы сравним то, что есть сейчас, с тем, что было сто или двести лет назад, мы увидим, что Мир-Система испытала качественную трансформацию. Именно качественная трансформация и описывается такого рода уравнениями, которые имеют сингулярность. Но не надо ее понимать буквально, что это уход в бесконечность или конец истории. Если у вас получилась сингулярность «фон ферстерского типа», это значит, что где-то за заметное время до того, как эта точка наступит, система превратится в качественно иную. На самом деле, мы уже скорее выходим из зоны сингулярности. То есть Мир-Система уже проходит фазовый переход, и, на мой взгляд, его горизонт уже до некоторой степени виден.

Коротаев А. В. Новые технологии и сценарии будущего, или Сингулярность уже рядом? История и синергетика: Методология исследования / Отв. ред. С. Ю. Малков, А. В. Коротаев. 2-е изд., исправленное и дополненное. М.: Либроком/URSS, 2010. С. 183–191.