5 книг по геометрии Лобачевского

1

Э. Эбботт, Флатландия. Д. Бюргер, Сферландия. «Амфора», 2015

Роман «Флатландия» был написан в 1884 году, и геометрия в нем использовалась главным образом для сатирического изображения тогдашних социальных порядков. Например, мужчины во Флатландии — это правильные многоугольники, и их социальный статус определяется количеством сторон. А женщины — это отрезки, поэтому находятся в самом низу социальной иерархии. Однако всемирную известность роман приобрел не как социальная сатира, а как увлекательное описание пространств одного, двух, трех и более измерений (подзаголовок романа так и звучит — «Романс многих измерений»).

В 1957 году у «Флатландии» появился сиквел «Сферландия», в котором столь же увлекательно вводится понятие кривизны пространства — одного из центральных понятий в теории относительности. Действие «Сферландии» происходит примерно 70 лет спустя после событий, описанных во «Флатландии», поэтому общественное положение жителей, особенно женщин, улучшилось, и теперь их больше волнуют не социальные, а научные проблемы. В частности, результаты физических экспериментов заставляют их усомниться в том, что евклидова геометрия адекватно описывает их мир, а у читателя появляется замечательная возможность вместе с героями поучаствовать в открытии новой геометрии.

На русском языке обе книги изданы под одной обложкой.

2

С. Г. Гиндикин, Рассказы о физиках и математиках. МЦНМО, 2006

Книга известного математика Семена Гиндикина — это шедевр научно-популярной физико-математической литературы. Книга многократно переиздавалась и была переведена на английский, французский и японский языки. Хотя она изначально предназначалась для школьников и студентов, интересующихся математикой, со временем автор обнаружил, что «были читатели, которые опускали при чтении всю математику и все же обнаруживали нечто поучительное в остатке». Возможно, причина неослабевающей многолетней популярности книги, впервые изданной в 1985 году, в том, что идеалом для автора «было изложение истории не в серьезных исторических книгах (которые, несомненно, важны), а, скорее, в романах Дюма».

Одна из глав книги — «Волшебный мир Анри Пуанкаре» — вполне может стать математической основой еще одного сиквела к «Флатландии». Обитатели мира Пуанкаре живут не на плоскости, а на полуплоскости, но считают, что их мир бесконечен во всех направлениях. Считают не без оснований, ведь физические законы их мира таковы, что адекватно описываются не евклидовой геометрией, а геометрией Лобачевского. Как писал сам Пуанкаре, «я описал воображаемый мир, обитатели которого неминуемо должны были бы прийти к созданию геометрии Лобачевского». Гиндикин увлекательно описывает как физические законы мира Пуанкаре, так и их геометрические следствия.

Электронная версия книги есть в свободном доступе.

3

В. Ф. Каган, Основания геометрии. ГИТТЛ, 1949 (часть 1) / 1956 (часть 2)

Геометрия Лобачевского — одна из многих геометрических систем, и ее планомерное изучение невозможно без изучения геометрии как единого целого от Евклида до наших дней. Книга «Основания геометрии» замечательного геометра Вениамина Кагана идеально подходит для первого знакомства с геометрией как частью современной математики. Она связывает наши наглядные геометрические представления со стройным логическим построением различных геометрических систем, включая геометрию Лобачевского.

Первый том начинается с поучительной истории евклидовой геометрии от основополагающих работ Евклида, Архимеда, Аполлония до работ Саккери, Ламберта, Лежандра, которые вплотную подошли к созданию гиперболической геометрии. Оставалось лишь последовать принципу Шерлока Холмса — отбросить все невозможное, и тогда то, что останется, и будет ответом, каким бы невероятным он ни оказался. Изложение геометрии Лобачевского в первом томе следует той же дедуктивной логике, что и классическое изложение евклидовой геометрии (частично сохраненное в школьных учебниках): все положения последовательно выводятся из небольшого набора аксиом.

Второй том связывает классический подход к геометрии с идеями и конструкциями постгиперболической эры — с работами Римана, Бельтрами, Кэли, Клиффорда, Клейна, Пуанкаре, которые оказали огромное влияние на развитие современной математики. Если для понимания большей части первого тома вполне достаточно смутных воспоминаний о школьной геометрии, то второй том предполагает некоторое знакомство с такими понятиями, как длина кривой и метрика на поверхности.

4

Н. И. Лобачевский, Геометрические исследования по теории параллельных линий. Перевод, комментарии, вступительные статьи и примечания профессора В. Ф. Кагана. М.-Л., изд-во Академии Наук СССР, 1945

Гиперболическую геометрию открыли независимо друг от друга и практически одновременно сразу три математика: Янош Бойяи, Карл Фридрих Гаусс и Николай Лобачевский. Но только Лобачевский предпринял серьезные попытки внедрить идеи новой геометрии в массовое сознание. Результатом стала изданная в 1840 году в Германии книга «Геометрические исследования по теории параллельных линий» (к тому времени Лобачевский уже не надеялся стать пророком в своем отечестве, поэтому книгу написал на немецком). Тут же появилась разгромная рецензия, в которой рецензент особенно издевался над фразой Лобачевского: «Чем дальше продолжаем параллельные прямые в сторону их параллелизма, тем более приближаются они одна к другой». По словам рецензента, одно это предложение достаточно характеризует сочинение Лобачевского и освобождает рецензента от необходимости дальнейшей его оценки.

Прошли десятилетия, прежде чем книгу Лобачевского оценили по достоинству. В 1866 году появляется французский перевод, затем английский, причем последний немедленно переиздается еще три раза ввиду необыкновенной популярности. К сожалению, Лобачевский до этого времени не дожил: он умер в 1856 году. Русский перевод появился в 1868-м в одном из первых номеров «Математического сборника» — старейшего (а тогда совсем нового) российского математического журнала. Но гораздо более известен русский перевод, изданный отдельной книгой в 1945 году. Помимо перевода в книгу вошли интересное историческое введение и подробные комментарии.

Электронная версия книги есть в свободном доступе.

5

Д. В. Алексеевский, Э. Б. Винберг, А. С. Солодовников, Геометрия пространств постоянной кривизны. Э. Б. Винберг, О. В. Шварцман, Дискретные группы движений пространств постоянной кривизны. Итоги науки и техники. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, 1988, том 29

Пятая книга предназначена тем, кто хочет овладеть геометрией Лобачевского как одним из рабочих инструментов современной математики. Соавтором обеих частей книги является знаменитый математик Эрнест Винберг. Он так охарактеризовал роль геометрии Лобачевского в современной математике: «Значение геометрии Лобачевского еще более возросло благодаря работам американского математика Терстона (лауреата Филдсовской медали 1982 года), установившего ее связь с топологией трехмерных многообразий. Десятки работ ежегодно публикуются в этой области. В связи с этим можно говорить о конце романтического периода в истории геометрии Лобачевского, когда основное внимание исследователей было обращено на ее осмысление с точки зрения оснований геометрии вообще. Современные исследования все больше требуют делового владения геометрией Лобачевского». Эти слова были написаны в конце XX века, но не утратили актуальности и в XXI веке. Например, Мариам Мирзахани, лауреат Филдсовской медали 2014 года, использовала гиперболическую геометрию как инструмент в своих работах.

Электронные версии обеих частей книги есть в свободном доступе.