Понятие числа от Евдокса до Клиффорда

У древних греков числами назывались только натуральные числа — то, что можно посчитать на пальцах, при помощи камушек, ракушек и так далее. И это не значит, что они примитивно понимали числа. Современное понятие действительного числа у них было почти. Это очень сложное понятие, требующее высокой степени абстракции, но древние греки практически дошли до этого понимания с той лишь разницей, что они это не называли числами. У них было четкое понимание, что отрезки на прямой можно складывать, а в некоторых случаях умножать. Они знали многие свойства этих операций, они знали даже какие-то варианты свойства полноты множества действительных чисел. Теория Евдокса, хотя она была построена за почти 2000 лет до нашей эры, выглядит удивительно современно.

С современной точки зрения про действительные числа принято думать как про точки прямой. Если хочется представить себе, действительные числа — это прямая. Важная вещь состоит в том, что на прямой должно быть отмечено две точки. Одна точка называется нулем, другая — единицей. Если мы просто возьмем прямую и отметим на ней две точки, то тогда можно точки этой прямой складывать и умножать, и это будут действительные числа, сложение и умножение будет как у действительных чисел. На самом деле для того, чтобы складывать действительные числа, даже не нужна точка один. Точка один нужна только для того, чтобы их умножать. Их можно делить. Действительные числа делить можно на любое ненулевое число — это все знают из школы.

Но есть еще такая интерпретация, которая оказывается полезной, и главным образом в связи с обобщениями. Я постараюсь пояснить, почему она полезна. Про действительные числа можно думать как про некоторые операции, которые мы производим над точками прямой. Например, умножение на действительное число, скажем на 2, можно понимать как растяжение прямой в два раза: 0 стоит на месте, а все точки растягиваются, все расстояние увеличивается в два раза. Умножение на -1 можно понимать как-то, что мы берем и переворачиваем прямую, отражаем ее относительно нуля или переворачиваем ее в плоскости, так что правая часть становится левой и наоборот. Пожалуй, это самый простой способ убедить себя в том, что -1 в квадрате равно 1, потому что, когда мы два раза прямую перевернем, она вернется на место.

Следующий шаг в развитии понятия числа — это комплексные числа, которые появились изначально из практических потребностей решать алгебраические уравнения, в частности из потребности решать квадратные и кубические уравнения и выписывать для них явные формулы. Получалось, что с действительными числами иногда написать формулу нельзя, а с комплексными числами можно. Комплексные числа включают в себя квадратный корень из -1 — так называемое число i. Действительного числа с таким свойством не существует, потому что произведение двух отрицательных чисел — это положительное число, а произведение двух положительных чисел тоже положительное число. Поэтому поворот никакого действительного числа не может быть равен -1. И поэтому итальянские математики эпохи Возрождения стали называть мнимой единицей и вообще мнимыми числами такие, которые включают в себя это число, квадрат которого равен -1. И они работали с мнимыми числами, не думая о том, что эти мнимые числа существуют на самом деле и существуют вообще в каком-то смысле. Но они просто были удобны, для того чтобы писать формулы.

История решения алгебраических уравнений второй, третьей, четвертой степени — это захватывающая история, которая заслуживает отдельного рассказа. В ней есть разгул страстей, национальные герои, активное общественное внимание к деятельности математиков, награждения, восхваление победителей математических боев и, наоборот, проклятия тем, кто не смог решить математическую задачу. Мне очень нравится такое общественное внимание к математике, которое, к сожалению, в наши дни уже далеко ушло в прошлое.

Так или иначе, итальянские математики Возрождения придумали замечательную формулу, красивую, не очень сложную, позволяющую находить все корни любого кубического уравнения, если только мы знаем коэффициент этого кубического уравнения. Но так получается, что есть такая странная особенность у этой формулы: даже если известно, что все три корня кубического уравнения — это вещественные числа, формула представляет собой странную комбинацию мнимых чисел. Эти мнимости должны друг с другом взаимно уничтожиться, но формула этого не видит. И даже если мы знаем, что решением кубического уравнения является число 3, причем знаем это с самого начала, иногда по формуле получается, что там какая-то комбинация мнимых величин, которые должны друг с другом как-то уничтожиться. То есть, с одной стороны, это удобно, с другой — как-то интересным образом без этих чисел почему-то нельзя обойтись.

Дальше люди привыкли к удобству комплексных чисел, обнаружили, что никакого противоречия в них нет. Принято считать, что они существуют. Вопрос существования — это вопрос философский. Для математиков существует практически все то, что не приводит к противоречиям, а комплексные числа ни к какому противоречию не приводят. Они очень активно используются в математике. На самом деле, как выяснилось, они гораздо проще, чем действительные числа. И практически все задачи, в которых можно те или иные числа использовать, в первую очередь решают над комплексными числами, а потом уже, может быть, с большим трудом что-то делают над вещественными или какими-то другими числами. Комплексные числа оказываются проще.

Комплексные числа можно интерпретировать геометрически, их можно отождествить с точками плоскости. В этом смысле комплексные числа можно понимать как двумерные числа. Есть еще одна полезная интерпретация: можно представлять себе комплексные числа как операции или операторы на плоскости. Например, умножение на комплексное число, не являющееся действительным, — это поворот, вращение плоскости вокруг центра, вокруг начала координат, сопровождающееся равномерным растяжением всей плоскости. Это умножение на комплексное число. Соответственно, если мы два раза делаем разные такие операции, то это соответствует умножению комплексных чисел. Если у нас есть комплексное число z, 1/z соответствует обратной операции, то есть операции, которая все точки возвращает на место.

Двумерные числа — это комплексные числа. Дальше были придуманы четырехмерные числа ирландским математиком Уильямом Роуэном Гамильтоном. Он хотел придумать трехмерные числа, но у него не получилось, потому что это по некоторым очень важным причинам невозможно. Таких трехмерных чисел, которые удовлетворяли бы привычным, хорошим свойствам, не существует. Зато Гамильтон, когда пытался придумать трехмерные числа, придумал четырехмерные. Он пытался понять, как можно делить один трехмерный вектор на другой, и пришел к пониманию того, что это должен быть четырехмерный вектор, трехмерными векторами ограничиться нельзя. Он придумал такое пространство четырехмерных чисел, которые назвал кватернионами. Долгое время у последователей Гамильтона, так называемых кватернионистов, жила надежда на то, что кватернионы окажутся еще полезнее, чем комплексные числа. К сожалению, полезнее они не оказались, но их пользу никто не отрицает. Они действительно полезны, причем не только математике. Например, разработчики компьютерных игр кватернионами активно пользуются.

Дальше появились восьмимерные числа — так называемые числа Кэли. Они принадлежат британскому математику Артуру Кэли, который долгое время работал адвокатом и держал очень активную практику. За десять лет в соавторстве с Сильвестром и другими математиками он написал более трехсот математических статей, и это выглядит совершенно невероятно в наше время, чтобы практикующий адвокат мог бы настолько активно работать и заниматься математикой.

Кэли придумал восьмимерные числа, которые многими важными свойствами не обладают. Например, они обладают распределительным законом дистрибутивности. А коммутативностью (это переместительный закон умножения) обладают комплексные числа, но уже не обладают кватернионы. Числа Кэли не обладают даже ассоциативностью — сочетательным законом умножения, хотя у кватернионов это свойство есть. Но главное свойство — что можно делить на ненулевое число. По-прежнему это свойство выполнено для так называемых октав — восьмимерных чисел Кэли.

Потом выяснилось, что алгебры с делением существуют только в размерностях 1, 2, 4 и 8. Это размерности степени двойки. Но не все степени двойки. Например, в размерности 16 уже не бывает никаких алгебр с делением. Это удивительным образом относительно недавний сложный результат, использующий топологические методы. Он был получен Кервером и Милнором. Джон Милнор до сих пор активно работает в Университете Стоуни Брук. Ему 86 лет, но он по-прежнему занимается математикой.

Клиффорд прожил короткую жизнь, всего 33 года. Он занимался геометрией. И он придумал понятие, которое сейчас называется алгебры Клиффорда. Клиффорд называл это понятие геометрической алгеброй, развивая идеи Гамильтона, а также идеи Грассмана, немецкого математика. Это намного более общая числовая система. Она бывает в разных размерностях. Ее удобнее всего себе представлять как пространство некоторых операций, как пространство линейных операторов на многомерном пространстве. Алгебры Клиффорда могут действовать на пространствах разных размерностей.

Главное здесь то, что операторы можно складывать и перемножать. То есть сначала принять один оператор, потом другой. Каждый из этих операторов растягивает или равномерно сжимает все евклидовы расстояния. Можно придумать такую гомотетию, что все расстояния увеличиваются и уменьшаются в одинаковое число раз, но чтобы сумма обладала этим свойством — это дополнительное условие. Пространство таких операторов, каждый из которых равномерно растягивает или сжимает пространство, — это алгебры Клиффорда. Это самый естественный способ представлять себе алгебры Клиффорда.

Клиффорд использовал свои алгебры для решения геометрических задач. Он понял, что разным геометрическим объектам, например прямым, в трехмерном пространстве можно сопоставить элементы алгебры Клиффорда, с которыми удобнее работать, потому что это алгебраические объекты. Над ними можно производить какие-то операции, писать формулы, вместо того чтобы рисовать картинки. Иногда это оказывается удобным. Для решения разных механических задач алгебры Клиффорда тоже удобны. В настоящий момент они используются еще более широко. В современной квантовой физике алгебры Клиффорда — это один из основных инструментов.