Корреляционная функция в квантовой теории поля

Она предполагает, что теория поля проквантована: мы ее рассматриваем в рамках квантовой механики. Но при этом мы в первую очередь описываем элементарные частицы (грубо говоря, маленькие летающие шарики).

Как в рамках теории поля возникают локализованные объекты — частицы? Для этого нам квантовая природа теории пока не нужна. Давайте рассмотрим на классическом уровне и поговорим о механике.

Обычная ньютоновская механика описывает частицы. Любые материальные объекты и, конечно, частицы можно описать. Она оперирует понятием траектории. Просто частицы как материальные точки летят по траекториям. Основной объект изучения механики Ньютона — это траектория. Это функция x от t — координата как функция времени. Но кроме частиц в рамках школьного курса физики, в рамках университетского курса физики мы обсуждаем теорию поля.

Поле — это уже более сложная структура. Поле — это физическая величина, которая находится во всех точках пространства. Например, электрическое поле. Мы можем говорить об электрическом потенциале: у нас есть φ от x и t. В данном случае x — это положение в пространстве, а φ — значение электрического потенциала. Но мы можем говорить про другие физические величины тоже, про поле температуры и так далее.

Один из хороших примеров поля — электромагнитное. Есть несколько поляризаций электрического магнитного поля, значит, вместо одной функции φ у нас есть много функций. Может быть, шесть. Но это неважно. Мы можем говорить про одну функцию φ. И у нас есть уравнения, которые описывают, как это поле эволюционирует во времени.

Как связаны частицы и поля? Сразу приходит в голову словосочетание «корпускулярно-волновой дуализм». Оно по большому счету вышло из обихода. На самом деле нет никакой необходимости обсуждать корпускулярно-волновой дуализм в рамках квантовой теории. В рамках классической теории мы тоже можем обсуждать частицы. Мы рассматриваем поле φ и в рамках этого поля φ формируем то, что называется волновым пакетом. Поле φ — это конфигурация в физическом пространстве, и если эта конфигурация локализована, то мы можем говорить, что это частица. Обычно, когда пытаются объяснить, как работают волновые пакеты, сразу пишут какие-то формулы. Но мне хотелось бы обойтись упрощенной, но интуитивно понятной аналогией.

Мы можем сказать, что поле φ живет во всем пространстве, но пространство для простоты будет двумерное, как поверхность стола. И вместо того, чтобы писать значение поля φ в каждой точке пространства, мы представим пространство дискретным, то есть скажем, что поле φ живет в ячейках. Все пространство будет как большая шахматная доска. В рамках каждой клетки шахматной доски поле φ будет иметь определенное значение. Для простоты мы можем сказать, что поле φ принимает только два значения: 0 или 1. Тогда возникает что-то вроде шахматной доски: 0 — светлая клеточка, а 1 — черная. Если мы на эту большую шахматную доску посмотрим сверху с большого расстояния, получится экран компьютера, где есть пиксели, которые подсвечены, а есть темные. Если вы посмотрите издалека, у вас получится экран компьютера или телевизора — в данном случае черно-белый, но это не принципиально, можно сделать его цветным.

Если у нас возник экран, мы понимаем, что на нем можем показывать изображение. Например, можем показать изображение летящей частицы, летящей пули, маленького летящего шарика. Конечно, мы понимаем, что на самом деле ничего не летит. Просто по экрану перемещается изображение, то есть подсвеченные пиксели. Каждый пиксель сам по себе или каждая клеточка шахматной доски остается на месте. Просто они меняют свой цвет таким образом, что, когда мы смотрим на экран сверху, нам кажется, что что-то летит. Наша интуиция говорит нам, что на самом деле ничего не летит, это просто игра нашего воображения.

На самом деле теория поля буквально так и работает. Она описывает перемещение локализованных объектов, которые я сейчас называю волновыми пакетами, а через минуту — элементарными частицами. Теория поля описывает локализованные объекты в терминах перемещающегося изображения. Единственная разница между элементарными частицами и волновыми пакетами — будем ли мы считать такое изображение, сделанное из пикселей, конечного размера или он будет бесконечно малым. Чтобы это изображение было бесконечно малое, нам нужно сделать дискретность экрана бесконечно маленькой. То есть мы стартуем с телевизора плохого качества, который был сделан в 1960-е годы. Потом покупаем телевизор, который был сделан в 1980-е. Затем доходим до современных экранов, которые имеют такое качество, что человеческий глаз не может различить дискретность экрана. А в математическом описании квантовой теории поля размер ячейки бесконечно мал.

Получается такая ситуация, что в реальности никаких частиц нет, а есть просто перемещение этих светлых точек по экрану. И это все работает в рамках классической теории.

Что происходит в рамках квантовой теории? В рамках квантовой теории нам надо все те математические структуры, которые возникали в рамках классической теории, проквантовать. Что значит проквантовать? Давайте вернемся к классической механике, которая обсуждала движение частиц по траекториям. У нас есть функция x от t. Квантовая теория предполагает (в данном случае под квантовой теорией я имею в виду квантовую механику), что вместо функции x от t мы будем рассматривать оператор x от t. То есть x для каждого момента времени t — это уже не число, не значение функции, а оператор. Что такое оператор? Оператор — это просто матрица, таблица чисел. В рамках квантовой механики этот оператор должен быть бесконечно мерным. Должна быть бесконечная матрица. Но для простоты понимания мы можем ограничиться конечной матрицей, например пять на пять. Это эрмитова матрица, то есть симметричная матрица, и ее можно диагонализировать. Давайте представим, что x от t для каждого момента t — это просто диагональная матрица. Это значит, что на диагонали есть ряд чисел.

Процесс квантования свелся к тому, что вместо одного числа x от t теперь есть набор чисел. Каждому моменту t соответствует некий набор чисел. Что это за числа? Если раньше у нас была интерпретация в терминах положения частицы и x от t — это положение частицы в момент t, то в рамках квантовой механики нет понятия положения частицы в данный момент времени. Квантовая механика оперирует вероятностными процессами. Она предсказывает, что в данный момент времени частица может быть в разных частях пространства с разной вероятностью. Числа на диагонали, о которых мы говорили, — это возможное положение данной частицы в данный момент времени.

В рамках квантовой механики таких положений может быть бесконечно много, потому что частица может находиться в любой точке пространства, но с разной вероятностью. Но если мы хотим обсуждать положение частицы в данный момент времени и положение частицы в любой другой момент времени, то возникает уже две матрицы. Эти две матрицы не коммутируют. Их нельзя диагонализировать в одно и то же время. В то время как одна матрица будет диагональная, другая будет недиагональная. Процесс квантования в этом и заключается: функцию x от t заменили на матрицу.

Если мы хотим обсудить квантовую теорию поля, давайте вернемся к полю φ, которое живет во всех точках пространства. Поле φ — это яркость экрана. Поле φ живет в каждой точке пространства и говорит, как ярко горит пиксель в данной точке пространства. И если раньше поля φ были числом в каждой точке пространства, то теперь нам надо заменить его на матрицу. Каждый пиксель имеет вероятность гореть с разной интенсивностью. В итоге получается сложная математическая структура. Есть пространство, и в каждой точке пространства живет бесконечная матрица, и эти матрицы между собой не коммутируют, то есть их нельзя диагонализировать.

Квантовая теория поля — это просто теория бесконечных матриц, которые живут в каждой точке пространства-времени. С одной стороны, все, задача решена, мы уже понимаем, что такое квантовая теория поля. Но с другой стороны, это очень сложный математический объект, что-либо посчитать или предсказать с помощью такого формализма достаточно сложно.

Обычно мы интересуемся процессами взаимодействия элементарных частиц. Например, мы хотим родить две частицы, потом они провзаимодействуют и улетят в пространство под какими-то углами. Для того чтобы посчитать вероятность взаимодействия частиц определенным образом, нам надо посчитать корреляционную функцию. Она зависит от точек. Например, для простоты возьмем четыре, хотя можем взять сколько угодно точек пространства. Зафиксируем время, то есть фиксируем точки на нашем экране. В каждой точке на экране или в каждой точке нашего пространства живут бесконечные матрицы. Их можно перемножить. У получившейся матрицы мы возьмем трейс (след) или посмотрим на элемент, который живет в левом верхнем углу — это не так принципиально. Возьмем одно число из получившейся матрицы, и это будет наш ответ.

Корреляционная функция — это обычная функция, которая зависит от положений в реальном пространстве. Казалось бы, это очень простой с математической точки зрения объект. В качестве аргументов вы задаете несколько точек пространства и этим точкам противопоставляете число. Это обычная функция, корреляционная функция. Но поскольку эта функция — результат перемножения бесконечных матриц, посчитать ее очень сложно. Физический смысл этой корреляционной функции связан с вероятностью взаимодействия элементарных частиц определенным образом. Чем больше вы взяли исходных точек пространства в качестве параметров, тем больше элементарных частиц взаимодействует в системе. Задача нахождения корреляционной функции — это и есть основной вопрос квантовой теории поля.

Нет рецепта, как считать корреляционную функцию в общем виде. Есть большое количество разных квантовых теорий поля. Для каких-то мы знаем ответ, для каких-то у нас есть методы, которые позволяют посчитать ответ с хорошей точностью, однако не бесконечно точно, но с очень хорошей точностью, так что мы можем предсказать результаты эксперимента. А для многих квантовых теорий поля отсутствуют методы, которые позволяли бы посчитать корреляционную функцию. Один из открытых вопросов — это вопрос развития методов подсчета корреляционных функций.