Я расскажу про дифференциальную геометрию. Это классический предмет, но, с другой стороны, это современный язык математической физики. Чтобы понять, что это такое, давайте начнем с римановых многообразий, которые являются одним из основных объектов дифференциальной геометрии. Риманово многообразие ― это многообразие или многомерное пространство, в котором есть дополнительная структура ― квадратичная форма или скалярное произведение в каждой точке. И это позволяет проводить на нем измерения: измерять длины кривых, углов и все, что мы умеем делать в евклидовом пространстве, но только при условии, что само пространство не является евклидовым. Простейшим таким примером, источником многих примеров служит поверхность, погруженная в трехмерное пространство. Если мы находимся на поверхности, то, двигаясь вдоль нее, мы можем измерять длины кривых, углы, длины векторов, площади, но при этом нам вовсе не нужно помнить о том, что мы находимся в объемлющем пространстве, ведь если мы движемся на кривой, то мы все это можем восстановить.
Та информация, которая у нас задана на поверхности, которая позволяет все это измерять, называется римановой структурой. Римановыми поверхностями занимались испокон веков, еще со времен Гаусса, с XVIII века. И помимо внутренней геометрии, которая описывается в терминах римановой структуры, есть еще и внешняя геометрия, которая говорит о том, как поверхность искривлена в трехмерном пространстве. Если посмотреть, она локально устроена как кусочек параболоида, она выпукла в обе стороны. Это характеризуется так называемой второй квадратичной формой, она описывает искривление поверхности.
На поверхности в каждой точке есть две главные кривизны. Они измеряют искривление поверхности в одном и другом направлении. Если обе кривизны имеют одинаковый знак, положительный или отрицательный, то тогда поверхность локально выпукла, то есть находится по одну сторону от касательной плоскости. Если они имеют разный знак, то тогда, соответственно, поверхность имеет форму седла, и касательная плоскость ее пересекает.
Произведение главных кривизн называется гауссовой кривизной. Соответственно, в локально выпуклой точке гауссова кривизна положительна, в седловой точке гауссова кривизна отрицательна. Это один из удивительных фактов, которые обнаружил Гаусс, и он назвал это «блистательной теоремой». Согласно ей, гауссова кривизна относится к внутренней геометрии поверхности. Хотя она и вычисляется по внешним данным, но на самом деле определяется исключительно метрикой. Это означает, что если мы начнем изгибать поверхность в трехмерном пространстве, чтобы она не растягивалась (например, можем свернуть листок бумаги в цилиндр или кулек), то внутренняя геометрия, которая определяет метрику, расстояние, углы и так далее, не изменится, а главные кривизны поменяются, но их произведение ― гауссова кривизна ― останется такой же.
Эта удивительная теорема имеет большое количество важных следствий. Но как бы я мог ее проинтерпретировать? Есть еще такое интересное свойство: на поверхности можно переносить касательные векторы. Если у нас есть кривая, то можно вдоль этой кривой делать параллельный перенос векторов. В школе мы знаем, как делать параллельный перенос на плоскости, ― мы просто берем вектор и переносим в другое место. Но для поверхности так делать нельзя, потому что если мы просто параллельно перенесем в конец кривой, то вектор перестанет быть касательным к поверхности. А нужно его переносить так, чтобы он был все время касательным.
Оказывается, на поверхности в трехмерном пространстве есть аналог параллельного переноса, можно параллельно переносить векторы. Это относится к внутренней геометрии поверхности. В частности, если мы возьмем листок бумаги (мы знаем, как на нем в евклидовом случае переносить параллельно векторы), мы можем это повторить на листке бумаги, свернутом в кулек или цилиндр, и операция будет выглядеть точно так же.
И можно посмотреть, как это происходит. Оказывается, если мы пройдем по замкнутому контуру, то глобально получим некоторый поворот. Параллельный перенос по замкнутой петле в общем случае не является тождественным преобразованием. Это связано как раз с наличием гауссовой кривизны. Если мы обойдем по маленькому кусочку, вдоль границы маленького диска, то касательная плоскость, как раз параллельный перенос будет поворот на угол, который задается интегралом от гауссовой кривизны по этому диску. Таким образом мы можем измерять гауссову кривизну, проходя вдоль границы маленького диска. Это и объясняет теорему Гаусса. Но это простейший случай, когда речь идет о поверхностях в трехмерном пространстве. Конечно, дифференциальная геометрия гораздо более обширная, и имеются многомерные аналоги. И она дала источник большого количества разных других наук. Например, в теории относительности, как она была сформулирована у Эйнштейна, речь тоже идет о метрике, но даже более сложная. Тут метрика вовсе не положительно определенная. Там три квадрата одного знака, один квадрат другого знака. В четырехмерном пространстве-времени он описывает релятивистские движения тел.
Кроме того, на языке дифференциальной геометрии ― геометрии связностей в расслоениях ― описывается естественный язык современной математической физики. Например, электромагнитное поле является на этом языке связностью в расслоении, которое живет над нашим пространством-временем. А то, что мы измеряем, то есть электрическая и магнитная составляющая, ― это просто компоненты его тензора кривизны. Точно так же на языке связности в расслоениях формулируются некоторые модели современных элементарных частиц и теории так называемых сильных и слабых взаимодействий. Это связности, опять же ковариантные производные в расслоениях со структурной группой, так называемые поля Янга ― Миллса. И математическая сторона этих физических теорий, и ковариантные производные тоже могут быть описаны именно на современном языке теории связности.
Кроме того, даже в математике пространство модулей так называемых плоских связностей (или локально-параллельных связностей) играет важную роль как в алгебраической геометрии, так и в топологии. И об этом тоже нужно всегда помнить. Таким образом, с одной стороны, дифференциальная геометрия ― это такой классический предмет, который описывает поверхности в многомерных пространствах, а с другой стороны, это мощный аппарат, который описывает современные теории математической физики. Можно их, конечно, описывать так, как принято у физиков, то есть при помощи огромного количества индексов. Представим, что какой-нибудь тензор кривизны состоит из четырех индексов ― один сверху, три снизу. Но на самом деле за этим стоят богатые геометрические структуры. Если разговаривать на языке геометрии, то все это становится гораздо более близким математикам и в каком-то смысле понятнее.
Одно из удивительных свойств математической физики состоит в том, что она связывает между собой физику и математику, и наиболее интересные основные достижения как раз на стыке этих областей. Сейчас есть такой очень модный объект, как теория Громова ― Виттена, которая, с одной стороны, описывает геометрию многомерных комплексных многообразий, а с другой стороны, связывает с некоторыми физическими теориями. Физические теории дают предсказания очень большого количества инвариантов в этой теории. В частности, теория Громова ― Виттена оперирует так называемыми фробениусовыми многообразиями. Это первый шаг в изучении всех этих структур.
Фробениусово многообразие является объектом, с одной стороны, дифференциальной геометрии. Это плоская метрика, снабженная некоторой дополнительной структурой ― умножением в касательном пространстве. Но это начальный шаг в изучении инвариантов Громова ― Виттена ― таких объектов, которые описывают довольно сложные и нетривиальные инварианты комплексных многомерных многообразий. И без языка дифференциальной геометрии это невозможно описать. Но одно из направлений исследований ― это изучение фробениусовых многообразий, инвариантов Громова ― Виттена.
