Если мы хотим проквантовать данную теорию, то есть хотим изучить не классическую теорию поля, а квантовую, тогда нам надо заменить функцию φ(x) на оператор. То есть в каждой точке пространства вместо числа φ(x) у нас будет жить оператор φ(x), и теперь φ — это уже не число, а оператор. Про оператор мы можем думать как про бесконечномерную матрицу. Матрица — это просто набор чисел, и в случае квантовой теории поля эту матрицу в каждой точке пространства можно диагонализировать и представить в виде чисел по диагонали. И физический смысл этих чисел на диагонали — это возможные значения поля φ.
Квантовая механика имеет интерпретацию в терминах вероятностей. Мы не можем сказать, что поле φ имеет какое-то конкретное значение в каждой точке пространства, но мы можем говорить о том, что есть вероятность, что в данной точке пространства поле φ имеет какое-то значение. Вот числа на диагонали данной матрицы и есть возможные значения поля φ.
Итак, мы приходим к тому, что квантовая теория поля на математическом языке — это матричнозначная функция φ(x). В каждой точке пространства у нас живет бесконечная матрица. Это достаточно сложный объект, но теперь мы можем его изучать. И одним из основных вопросов в рамках квантовой теории поля является вопрос вычисления корреляционных функций.
Что такое корреляционная функция? Мы задаем несколько точек пространства. Давайте для простоты три точки пространства: x1, x2 и x3. Мы берем значение поля φ в каждой из трех точек пространства, перемножаем, и у нас получается одна бесконечномерная матрица. И потом для простоты мы берем от получившейся матрицы след, то есть складываем все диагональные элементы получившейся матрицы. Получается обычная функция, которая зависит от положения трех точек в нашем пространстве. Это так называемая трехточечная функция. Мы можем определить одноточечную функцию, двухточечную функцию. Можно говорить об n-точечной функции, если мы задали n точек в пространстве.
Теперь возникает вопрос: почему корреляционная функция — это интересный объект для изучения? Чем она важна? Корреляционная функция важна тем, что она имеет очень ясную, простую физическую интерпретацию. По модулю неких технических тонкостей, которые я опущу, корреляционная функция дает вероятность взаимодействия элементарных частиц. Точки пространства, о которых мы говорили, можно воспринимать как точки, в которых либо мы запускаем элементарную частицу, то есть точка, из которой элементарная частица начинает свое путешествие, либо точка в пространстве, где стоит детектор, который будет обнаруживать элементарную частицу. И таким образом, трехточечная корреляционная функция имеет интерпретацию вероятности, например, распада одной элементарной частицы, которая стартовала из точки x1, в две элементарные частицы, которые мы потом с помощью детектора обнаружим в точке x2 и в точке x3.
Корреляционная функция — это фундаментальный объект. Он имеет ясную физическую интерпретацию. Более того, существует теорема, которая гласит о том, что по модулю некоторых тонкостей вся нетривиальная информация квантовой теории поля заключается в корреляционных функциях. Если мы посчитаем все корреляционные функции, то, как говорят, мы решим квантовую теорию поля. Как это сделать? Существует много методов, но сегодня я хотел бы поговорить о методе конформного бутстрапа. Метод конформного бутстрапа неуниверсален, он годится только для конформных теорий поля.
Что такое конформные теории поля? Теории поля бывают разные. Они описывают разные частицы. И как правило, частицы имеют массу. Мы к этому привыкли. Мы знаем, что электрон имеет массу. Но фотон, например, массы не имеет. Элементарная частица не обязана иметь массу. Масса — это размерный параметр, масса измеряется в килограммах. И оказывается, если мы запишем теорию безмассовых элементарных частиц и постараемся сделать так, чтобы никаких других размерных параметров в теории не было, то теория становится значительно проще. Интуитивно понятно, почему так. У теории отсутствуют размерные параметры, и поэтому мы можем перескалировать наше пространство. Расстояние — это размерная величина, она измеряется в метрах. Но поскольку в теории отсутствуют размерные параметры, ответ не может зависеть от того, какие расстояния между частицами мы выбрали. Точнее, правильно говорить вот о чем. Если у нас есть две точки, тогда мы всегда можем перескалировать расстояние между ними до любого масштаба — можем взять расстояние 1 сантиметр, можем взять расстояние 1 метр. Если у нас есть три точки, то ситуация сложнее, потому что нам надо сохранить относительные расстояния между точками. Но общий масштаб мы всегда можем перескалировать.
И тогда возникает вопрос: какое самое общее преобразование мы можем применить, для того чтобы корреляционная функция осталась инвариантной? Точнее, более правильно говорить не про инвариантность корреляционной функции, а про ковариантность. Корреляционная функция изменится, но изменится определенным образом. И оказывается, самое общее преобразование, которое оставляет корреляционную функцию ковариантной, — это конформное преобразование.
Что такое конформное преобразование? Это преобразование пространства, которое меняет расстояние между точками, но не меняет углы. Квантовая теория поля, в которой нет размерного параметра, не зависит от общего масштаба, и можно доказать, что она будет инвариантна или, лучше сказать, ковариантна относительно конформного преобразования. И поэтому такие квантовые теории поля, которые не имеют размерного параметра, называются конформные теории поля: каждая корреляционная функция ковариантна относительно конформного преобразования плоского пространства (ковариантна — это означает, что есть определенный закон, как корреляционная функция преобразуется).
Такие теории поля проще, чем теории поля с размерными параметрами. И при этом они обладают очень интересной математической структурой. В каком-то смысле это такие строительные блоки для построения других теорий. И если мы хотим разобраться со всеми квантовыми теориями поля, то конформные теории — это естественный полигон, для того чтобы разработать необходимый формализм. Если мы хотим посчитать корреляционную функцию, которая, например, зависит от нескольких точек в пространстве, то мы можем посчитать, стартовав с исходного распределения точек в пространстве.
А можем поступить по-другому. Можем применить к корреляционной функции конформное преобразование. И с помощью конформного преобразования любые две точки из данной конфигурации можно свести очень-очень близко. И что тогда произойдет? Эти две точки по отношению ко всем остальным точкам будут восприниматься как практически слившиеся воедино. То есть мы возьмем поле φ в данной точке x1 и возьмем поле φ в точке x2. Точки x1 и x2 будут подходить друг к другу очень-очень близко, и тогда произведение φ(x1) на φ(x2) можно будет представить как некую матрицу, которая живет, например, в точке x2 или живет посередине между точками x1 и x2 — это не принципиально, так как эти точки очень близки друг к другу.
Идея в том, чтобы взять φ(x1), умножить на φ(x2) и представить как что-то локальное. И такая процедура называется операторное разложение. Мы стартовали с полей, которые сидят в двух соседних точках, но когда эти точки подходят друг к другу очень близко, то можем это заменить на некое сложное поле, которое сидит в одной точке.
Конформное преобразование позволяет нам это сделать с любыми двумя точками. И у нас возникает очень мощный инструмент, как упростить корреляционную функцию. Потому что мы можем стартовать с n точек, свести две точки вместе, получить одну точку вместо двух, значит, у нас получилась точечная функция n-1. Потом из оставшихся n-1 точек опять сведем пару точек вместе и получим n-2 корреляционную функцию. Мы можем применять эту процедуру итерационно, пока у нас не получится одноточечная корреляционная функция. А из-за однородности пространства одноточечная корреляционная функция всегда равна наперед выбранной константе, например нулю. И таким образом мы можем посчитать, по крайней мере теоретически, любую корреляционную функцию. На практике, однако, этот метод работает не до конца, потому что в процессе разложения двух полей в соседних точках по локальным полям у нас возникает очень много неизвестных. Мы заранее не знаем, как произведение φ(x1) на φ(x2) будет выглядеть.
С другой стороны, у нас есть важный принцип: корреляционная функция не должна зависеть от того, в каком порядке мы будем сливать поля друг с другом. Например, если у вас есть четырехточечная корреляционная функция, которая зависит от четырех параметров, четырех положений в пространстве — x1, x2, x3, x4, — в принципе есть три разных способа свести эти четыре точки вместе. Сначала вы сводите вместе точки 1 и 2, а параллельно сводите вместе точки 3 и 4. Потом получившиеся две точки сводите вместе. Получается, 1, 2 и 3, 4 вы сводите вместе. Есть другой способ: вы берете точки 1, 2, 3 и 4 и сводите точки 1 и 3 вместе, точки 2 и 4 вместе и потом оставшиеся две вместе. Это второй способ.
Есть на самом деле и третий способ, но он не дает ничего нового. И тут возникает интересное наблюдение: у вас, с одной стороны, ответ не должен зависеть от порядка, в котором вы сводили точки вместе, а с другой стороны, у вас есть большое количество неизвестных, которые возникают в процессе слияния точек вместе, и вы не знаете, как эти неизвестные зафиксировать. Но если вы запишете условие того, что ответ не зависит от порядка, то вы получите так называемые уравнения конформного бутстрапа, которые являются ограничениями на неизвестные параметры. И оказывается, что эти уравнения достаточно сильны, для того чтобы иногда эти параметры зафиксировать. Метод фиксации неизвестных параметров с помощью приравнивания разных способов посчитать корреляционную функцию и называется методом конформного бутстрапа.
Впервые идеи конформного бутстрапа рассматривались в 1970-е годы Александром Марковичем Поляковым. Это было сделано в рамках двумерных конформных теорий поля. А относительно недавно, порядка десяти лет назад, к этим идеям вернулся студент Полякова Слава Рычков, который стал рассматривать эти же идеи в конформных теориях поля в старших размерностях — в размерностях 3, 4 и так далее. И вместе со своими соавторами ему удалось показать, что данные уравнения конформного бутстрапа достаточно жесткие с точки зрения того, что они дают нетривиальные предсказания о неизвестных параметрах, которые определяют слияние двух операторов в один.
Сегодня метод конформного бутстрапа превратился в практический метод решения определенных конформных теорий поля. Он использует численные алгоритмы, чтобы решить соответствующие уравнения. И вы можете определить, какую теорию вы хотите изучать. Для этого вам надо сообщить этим уравнениям, что вам известно про соответствующие коэффициенты, но при этом у вас всегда останется бесконечное количество коэффициентов, которые неизвестны. А затем с помощью компьютера вы сможете найти либо частичное, либо полное решение. Сейчас это активно развивающаяся часть квантовой теории поля, и есть надежда, что в скором времени мы сможем существенно продвинуться в данном направлении, а какие-то теории поля будут решены.
