Израиль Моисеевич Гельфанд, один из главных героев теории представлений XX века, говорил, что в математике есть три основных источника задач: физика, геометрия и арифметика (теория чисел). Теория представлений родилась около 1900 года из задачи теории чисел. Дирихле, современник Римана, доказал знаменитую теорему о простых числах в арифметической прогрессии: если первый член и шаг прогрессии взаимно просты, то в ней встречаются простые числа. Для доказательства он использовал комплексный анализ, примененный к модификации дзета-функции Римана, ― L-функции Дирихле. Эти функции строятся по характерам абелевой группы Галуа кругового расширения поля рациональных чисел, изучается их асимптотика в единице, а потом еще применяется гармонический анализ (преобразование Фурье) на этой конечной абелевой группе.
Потом Дедекинд, ученик Дирихле, хотел подобным образом изучать более сложные расширения поля рациональных чисел, с неабелевой группой Галуа. Для этого требовалось понятие характера неабелевой группы (Галуа), и Дедекинд дал своему ученику Фробениусу задание разработать теорию таких характеров. И Фробениус эту задачу решил. Сначала по отдельности для каждой степени (то есть значения в единице) определил характеры как решения неких функциональных уравнений, а потом определил их все одним махом как следы представлений и вычислил все характеры симметрических и знакопеременных групп. Вскоре Диксон вычислил характеры матричных 2×2-групп над конечными полями, и наука пошла быстро развиваться.
Ее значение определяется тем, что идея симметрии (то есть структуры с действием группы преобразований) очень естественна и фундаментальна, а представления являются линеаризацией этого: если группа действует на множестве, то она действует и на линейном пространстве функций на этом множестве. Поэтому теория инвариантов, которая так бурно развивалась в XIX веке, оказалась естественно связанной с теорией представлений линейных групп, и в начале XX века Исая Шур построил теорию конечномерных представлений общих линейных групп, а через 20 лет Герман Вайль построил теорию конечномерных представлений всех простых групп Ли.
Группы Ли возникают как группы симметрий в классической механике; соответственно, в квантовой механике должны возникать их представления. Например, принцип неопределенности Гейзенберга говорит, что в пространстве состояний действует группа Гейзенберга. Так что с 1920–1930-х годов под влиянием квантовой механики математики стали изучать бесконечномерные представления. Хариш-Чандра, один из основателей теории бесконечномерных представлений простых групп Ли, был учеником великого физика Дирака. Это уже вторая половина XX века.
В Москве в это время работала школа Гельфанда. Они, в частности, поняли, что автоморфные функции (модулярные формы) естественно интерпретируются в терминах представлений адельных групп. Забавно, кстати, что еще в 1920–1930-е годы в Гамбурге Гекке изучал автоморфные формы и построил по ним L-функции. И там тогда же Эмиль Артин продолжал изучение L-функций Дирихле, связанных с неабелевыми характерами групп Галуа. Но они не знали друг про друга, и одна из главных работ Гекке вышла в 1937 году, сразу после того, как Артин вынужден был уехать от нацистов из Гамбурга в Америку.
Через 30 лет Ленглендс в Америке выдвинул свою грандиозную программу, основанную на том, что эти два класса L-функций совпадают. 1960-е годы были совершенно необыкновенными во всем мире. В Париже работал семинар Гротендика по алгебраической геометрии. Они настолько перевернули всю алгебраическую геометрию, что с тех пор она стала универсальным языком даже для физики (теории струн). В частности, Гротендик стал рассматривать этальные пучки на многообразиях над конечными полями, а по этим пучкам строил важные и естественные функции на многообразиях (следы Фробениуса).
В 1970-х годах в Москве Дринфельд занимался гипотезой Ленглендса о связи представлений группы Галуа глобального поля функций на кривой и представлений адельной общей линейной группы этого поля. Он построил пространство модулей штук, в этальных когомологиях которого действовали одновременно и группа Галуа, и адельная группа, и там реализовал искомое соответствие Ленглендса. Тогда Дринфельд занимался только группой GL (2) (2×2-матриц), но он заметил, что игрушечный вариант его конструкции, если заменить адели на конечное поле, дает новую реализацию представлений GL (2) над конечным полем в этальных когомологиях некоторых кривых. Хотя эти представления GL (2) над конечным полем были известны со времен Диксона уже 60–70 лет, явной конструкции их до тех пор не было.
Узнав про эту конструкцию Дринфельда, Делинь с Люстигом обобщили ее на произвольные группы Шевалле над конечными полями, и на этом пути Люстиг классифицировал все их представления в середине 1980-х годов. А Дринфельд тем временем придумал еще другой способ по представлению группы Галуа поля функций на кривой (то есть по этальной локальной системе на кривой) непосредственно построить искомую автоморфную функцию как след Фробениуса некого пучка (точнее, комплекса пучков) на пространстве модулей расслоений на этой кривой.
Это и было рождением геометрической теории представлений. Дело в том, что естественные операции над функциями (интеграл, например) имеют естественные аналоги для пучков (прямой образ, например). Но операций над пучками больше! Например, близкие и исчезающие циклы, продолжение Делиня ― Горески ― Макферсона в мире пучков не имеют аналогов в мире функций. Это что-то вроде сверхъестественного аналитического продолжения функций на многообразиях над конечными полями (дискретных объектах)! Поэтому можно с помощью алгебраической геометрии построить искомый пучок из соответствия Ленглендса, а потом получить искомую функцию, взяв след Фробениуса. Но иначе такую функцию построить нельзя!
Еще в районе 1980 года геометрическая теория представлений возникла в задаче о характерах неприводимых бесконечномерных представлений простых комплексных алгебр Ли: доказательство Бейлинсона ― Бернштейна ― Брылински ― Кашивары гипотезы Каждана ― Люстига. Постановка задачи вообще никакого отношения к конечным полям не имеет. Тем не менее оказывается, что полезно представления простой алгебры Ли реализовывать в глобальных сечениях пучков Д-модулей на ее пространстве флагов (локализация Бейлинсона ― Бернштейна). При этом неприводимые представления будут отвечать неприводимым Д-модулям, а те, в свою очередь, по соответствию Римана ― Гильберта будут отвечать неприводимым конструктивным извращенным пучкам. Эти извращенные пучки уже имеют смысл над любым полем, комплексным или конечным, и их следы Фробениуса над конечным полем дают искомый ответ в исходной задаче.
На самом деле теория извращенных пучков (сейчас один из самых эффективных инструментов в алгебраической геометрии теории особенностей; самый адекватный язык для йоги весов и гипотез Андрэ Вейля) развилась именно в результате работы над гипотезой Каждана ― Люстига и уже потом была применена к гипотезам Ленглендса. Поразительно, что этот огромный скачок занял всего пару лет ― с 1979 по 1981 год.
Надо сказать, что пять лет назад все-таки удалось изгнать конечные поля из доказательства гипотез Каждана ― Люстига благодаря работам Зёргеля ― Уильямсона по виртуальной теории Ходжа. Геометрическая теория представлений строит и изучает представления и их характеры геометрическими методами. Про ее эффективность в теории чисел мы уже говорили. В последнее время она находит все больше применений в физике (суперсимметричных калибровочных теориях поля). Например, предсказания Алдая ― Гайотто ― Тачикавы о статсумме Некрасова были проверены в типе А пять лет назад Мауликом ― Окуньковым в рамках геометрической теории представлений W-алгебр. Недавно Браверман и Накаджима распространили эти результаты на все калибровочные группы с симметричными матрицами Картана. Прелесть геометрической теории представлений заложена в нее с самого рождения, так как она соединяет в себе самые разные части математики, а такое соединение и есть главная красота математики.
