В математике, физике, логике встречаются утверждения, которые приводят к взаимно исключающим выводам. Такие парадоксы часто помогают найти пробелы в существующих теориях: выведение новых законов, в свою очередь, приводит к решению старых парадоксов — и появлению новых.

Проклятие победителя

Фраза «проклятие победителя» описывает феномен, который проявляется на аукционах. Ресурсы на таких мероприятиях имеют некоторую условную ценность, которая рассматривается как реальная ценность. Самый знаменитый пример проклятья победителя — право на бурение нефти. На аукцион были выставлены участки земли в Мексиканском заливе, на которых можно было добывать нефть. Нефтяные компании предлагали ставки за право добывать там нефть. Тот, кто предлагал наибольшую сумму, получал право добывать там нефть и должен был пожинать все плоды. Но на самом деле из-за соревнования компании-победители платили больше денег, чем на самом деле стоила нефть, и они потом проклинали себя за это. Таким образом, победители оказываются проигравшими.

Подробнее о проклятии победителя в экономике

Апории Зенона

Древнегреческий философ Зенон Элейский известен благодаря своим апориям (греч. ἀπορία — безысходность, безвыходное положение), посредством которых он пытался доказать противоречивость концепций множества, движения и пространства. Наиболее известным парадоксом его авторства является «Ахиллес и черепаха»: быстроногий Ахиллес никогда не догонит медлительную черепаху, если в начале движения черепаха находится впереди Ахиллеса. По Зенону, изначально между Ахиллесом и черепахой есть расстояние, и к моменту, когда Ахиллес преодолеет это расстояние, черепаха успеет сместиться из этой точки — и может продолжаться так до бесконечности. На самом деле у бесконечной суммы может быть конечный результат суммирования: если мы прибавляем к единице одну вторую, одну четвертую, одну шестнадцатую и так далее, то результатом суммы является конечная величина. Однако это стало понятно только ко времени Ньютона, когда было сформулировано исчисление бесконечно малых величин.

Рекомендуем по этой теме:
22439
Моделирование неопределенности

Другая известная апория заключается в следующем: летящая стрела неподвижна, так как в каждый момент времени она находится в состоянии покоя. Соответственно, момента времени, в котором стрела совершает движение, не существует. Мысль Зенона заключается в том, что состояние стрелы характеризуется только своим положением в пространстве. Разрешение этой апории также появилось после создания ньютоновой механики: состояние стрелы характеризуется не только положением в пространстве, но и скоростью, которая определяет то, куда стрела сместится в следующий момент времени.

Физик Эмиль Ахмедов о парадоксах физики

Парадокс Рассела

В XIX веке одной из основ математики стала считаться теория множеств. Множество — это совокупность объектов, определяемых через какое-то свойство: например, все натуральные числа, все четные или простые числа. До конца XIX века эта теория, привнесшая в математику новое понимание природы бесконечности (что важно при работе с бесконечными рядами), казалась незыблемой. Но вскоре она столкнулась со значительными сложностями в виде возникающих парадоксов. Один из них в 1901 году сформулировал британский философ Бертран Рассел.

Рекомендуем по этой теме:
25127
FAQ: Аксиоматический метод

Представим, что есть «обычные» множества, не включающие себя, — например, множество всех животных или людей, — а есть множества, включающие себя. Например, множество всех множеств является множеством — следовательно, оно является элементом самого себя. Можно ли отнести это множество к «обычным»? Если да, то оно должно включать себя, так как оно по определению состоит из всех «обычных» множеств. Но тогда оно не может быть «обычным», так как «обычные» множества не являются элементами самих себя. Это противоречит изначальному условию. И наоборот: если оно таковым не является, оно не может включать себя в качестве элемента, так как оно должно состоять только из «обычных» множеств. Но тогда это «обычное» множество.

На первый взгляд, подобные парадоксы — всего лишь развлечение для ума. Однако идея Рассела указала на противоречие в самом сердце того, что считалось основами математики. Даже предположение, что расселовского множества не существует, противоречит принятому изначально представлению о множествах: если задано конкретное свойство, значит, множество должно существовать.

Как парадокс Рассела связан с парадоксом лжеца

Парадокс лжеца

Первоначально парадокс лжеца был сформулирован Евбулидом в IV веке до нашей эры. Он предложил подумать над высказыванием «Я лгу», имея в виду наличие лжи именно в этом утверждении. Допустим, это утверждение истинно. Тогда, если человек говорит, что его высказывание ложно, то оно должно быть ложным, а не истинным. И наоборот, если оно ложно, то получается, что человек говорит правду, а это снова противоречит классической логике. Существует множество вариантов этого парадокса. Например, карточка, на одной стороне которой написано: «Высказывание на обратной стороне этой карточки истинно», а на другой — «Высказывание на обратной стороне этой карточки ложно».

Решить парадокс лжеца можно, отказавшись от закона исключенного третьего, который гласит: ничто не может одновременно обладать каким-то признаком и не обладать им. Тогда высказывание «Данное утверждение ложно» одновременно будет правдой и неправдой — то есть, иметь два истинностных значения. Еще один вариант — трехзначная логика, где помимо определенных вариантов («да» и «нет») существует неопределенность («не знаю») или бессмысленность. Тогда мы приходим к выводу, что утверждение не имеет смысла.

Решения парадокса лжеца

Парадокс Эйнштейна — Подольского — Розена

Этот парадокс описал Альберт Эйнштейн вместе с Борисом Подольским и Натаном Розеном, пытаясь опровергнуть основы квантовой механики в споре с Нильсом Бором. Представьте себе два фотона, которые движутся в противоположных направлениях и компенсируют друг друга, поэтому у них общая нулевая поляризация. При этом поляризацию каждого фотона по отдельности мы не знаем. Система двух фотонов описывается чистым состоянием, а каждый из фотонов по отдельности — смешанным. Эти фотоны разлетаются в разные стороны, отдаляясь друг от друга на значительное расстояние, но при этом остаются в замкнутой системе.

Рекомендуем по этой теме:
8670
FAQ: Компьютерные доказательства

Если мы измерим поляризацию одного фотона, то его состояние изменяется со смешанного на чистое. В этот же момент другой фотон тоже переходит из смешанного в чистое, ровно с противоположной поляризацией. Так как до момента измерения поляризация отдельных фотонов не была определена, получается, что мы повлияли на один фотон посредством измерения другого. Но сам факт того, что удаленный от нас фотон меняет свое состояние, противоречит здравому смыслу. Возможность воздействовать на состояние второго фотона на расстоянии нарушает принцип причинности, был уверен Эйнштейн.

Тем не менее нарушение причинности в обсуждаемой ситуации не происходит именно из-за вероятностной природы квантовой механики. Дело в том, что, измеряя состояние первого фотона, мы не можем заставить его иметь ту поляризацию, которую нам захочется. Измеряемый фотон может оказаться поляризованным тем или иным образом с какой-то вероятностью, но как он поляризован — мы не можем знать заранее.

Какова роль парадокса взаимосвязи двух фотонов