Для начала нужно вспомнить, что все вещественные числа можно записать в виде бесконечной десятичной дроби: у любого числа после запятой есть бесконечное количество цифр. Но, например, если число целое, то там после запятой просто будет бесконечное количество нулей, и их обычно не пишут. Если число рациональное (то есть представляется в виде дроби с целыми числителем и знаменателем), то в десятичной записи у него может стоять либо какое-то конечное количество цифр, а затем хвост из бесконечного числа нулей (например, число ¼ записывается как 0,250000… при этом нули обычно не пишут), либо в хвосте может повторяться какой-то блок цифр бесконечное число раз (так называемый период). Например, число 1/3 нельзя записать в виде десятичной дроби с хвостом из нулей, но зато можно в виде 0,3333… (бесконечное число троек). Еще интереснее записывается число 1/7: 0,142857142857… (блок 142857 будет повторяться бесконечно много раз). Наконец, еще бывают рациональные числа с предпериодом, то есть после запятой идет блок произвольных цифр, а затем бесконечно много раз повторяется период. Например, число 13/44 записывается в виде 0,2954545454 (здесь 29 — предпериод, а 54 — период).

Несмотря на то, что само число имеет бесконечную десятичную запись, чтобы его запомнить, достаточно иметь конечный объем памяти: нужно лишь запомнить предпериод и период, то есть конечное число цифр. Этим свойством обладают все рациональные числа.

С числом π совсем другая история: оно иррационально, то есть не представляется в виде дроби p/q и не записывается в виде бесконечной периодической десятичной дроби. Но в виде какой-то бесконечной десятичной дроби оно представляется, как и любое другое вещественное число. Значит, эта дробь является непериодической. Иррациональность числа π не очень простой факт. Он был по историческим меркам доказан совсем недавно — в 1761 году. Сейчас известно множество доказательств, но все они используют продвинутые методы математического анализа, и их трудно назвать простыми.

Рекомендуем по этой теме:
15209
FAQ: Детерминированный хаос

Гораздо проще доказать иррациональность какого-нибудь другого числа, например квадратного корня из двух. В нем тоже есть бесконечное число разных знаков после запятой, и оно в этом смысле ничем не хуже числа π. Иррациональность этого числа была известна еще во времена Пифагора, чем довольно сильно напугала пифагорейцев: они не знали о существовании иррациональных чисел и не очень понимали, как с этим жить дальше. Поэтому для начала убили (по другой версии, всего лишь изгнали) человека, который открыл иррациональность корня из двух, — его звали Гиппас из Метапонта. По крайней мере, такова печальная легенда.

Впрочем, вернемся к числу π. Оно является не только иррациональным, но еще и трансцендентным. Этим оно отличается от корня из двух: корень из двух является решением уравнения x2–2=0, а число π не может быть выражено таким образом, оно не является корнем никакого многочлена с целыми коэффициентами. Это еще более сложный факт, и он был доказан еще позже.

Существует много разных способов найти число π с любой заданной точностью. То есть, если вы хотите, вы можете вычислять последовательно цифры числа π до тех пор, пока вам не надоест, пока у вас будет хватать компьютерных возможностей, для того чтобы оперировать такими длинными записями чисел. Научная ценность этого, впрочем, невелика: все необходимые с практической точки зрения цифры числа π уже давно найдены. Зато можно развлечься: попытаться найти в десятичном представлении числа π любые последовательности. Например, дату вашего рождения можно тоже поискать в числе π, и для этого есть специальные сервисы (http://www.subidiom.com/pi/).

Рекомендуем по этой теме:
9162
Шестнадцатая проблема Гилберта

Впрочем, есть и множество содержательных научных вопросов, связанных с числом π: например, интересно, является ли оно «нормальным», то есть правда ли, что цифры в десятичной записи появляются «с равной вероятностью» или какие-то цифры встречаются чаще, чем другие. Несмотря на то, что доказательство или даже опровержение нормальности π не связано сейчас с риском для жизни автора (все-таки со времен Пифагора прогресс достигнут не только в математике), ответа на этот вопрос до сих пор нет.

Если вы хотите узнать больше о математической статистике, записывайтесь на курс Ильи Щурова «Математическая статистика: когда случайность работает на вас», который состоится 14, 15 и 17 июня в Академии ПостНауки.