Классическая математика — математика Греции и Египта — начиналась с геометрии. Эта наука находила многообразные практические применения. В первую очередь, для предсказания смены сезонов, для определения времени засевания полей и их разметки, для подсчета величины снятого урожая. На геометрии строились все астрономические наблюдения и, соответственно, на нее опирались расчеты движения кораблей.
1
На рубеже XIX–XX веков от геометрии отделилась совершенно новая область — топология, которая, собственно, и определила развитие математики XX века. В топологию ушли те геометрические структуры, которые оказались наиболее фундаментальными, наиболее простыми и, как выяснилось впоследствии, наиболее тесно связанными с физикой XX века. Заслуга в этом принадлежит в первую очередь великому французскому математику Анри Пуанкаре, который выделил топологические структуры и разработал язык для их описания. Если говорить о разнице между геометрией и топологией, то в геометрии главную роль играет расстояние. Про две точки на одном острове важно понимать, сколько времени потребуется, чтобы дойти из одной точки в другую, каково расстояние между точками, какова структура пути — можно ли дойти по равнине или надо подниматься в гору, а затем спускаться.
С. В. Дужин, Что же доказал Григорий Перельман
2
С точки же зрения топологии главным вопросом является, можно ли вообще дойти от одной точки до другой, расположены ли эти две точки на одном острове или они лежат на разных островах. Можно ли доплыть из одного озера до другого по протокам, или этих протоков нет, и два озера друг от друга отделены. То есть вопросы топологии — это вопросы гораздо более простые и, тем самым, лежащие в основе всего того, что мы используем для описания окружающего нас пространства.
3
Можно привести пример простой геометрической теоремы. Если мы возьмём план Москвы в одном масштабе и в другом масштабе и наложим один план на другой, то окажется, что обязательно в Москве есть точка, изображаемая на этих планах точками, лежащими одна над другой. Но эта теорема, геометрическая по своей природе, имеет гораздо более общее и глубокое содержание, которое можно выразить так: если мы возьмём план Москвы, сомнём его как угодно, сложим многократно и положим на точно такой же план Москвы, то всё равно такая точка в городе будет существовать. Это утверждение уже не имеет отношения к метрическим свойствам плана, не имеет отношения к расстояниям и носит чисто топологический характер. Если бы в центре Москвы была дырка, и мы выкладывали друг на друга планы такой вот «дырчатой» Москвы, то оно перестало бы быть верным.
4
Топология стала одной из основных отраслей математики в XX веке не в последнюю очередь потому, что нашла своё применение в физике. Как раз на рубеже веков физика перестала быть линейной. Выяснилось, что ньютоновский мир, в котором наше пространство одинаково и равномерно протяжено по всем направлениям, не является достаточно точным описанием реальности. Потребовалась, в чём опять-таки, принял решающее участие Пуанкаре, разработка представления о нашем мире как о чем-то изогнутом, скрученном. И для описания этого неплоского мира топология оказалась самым подходящим инструментом.
5
Было бы неправильно думать, что многомерный мир является какой-то математической абстракцией, далёкой от нашего повседневного опыта. Напротив, если для описания положения одной точки в пространстве достаточно трёх переменных, то если мы хотим описывать не только её положение, но и скорость её движения, нам нужно уже шесть переменных. А если точек не одна, а много, то количество переменных, количество данных, необходимых для описания этого конгломерата точек, очень быстро растёт. И это описание, как говорят математики, становится многомерным. Вот в этом многомерном повседневном окружающем нас мире свойства и геометрия этого описания перестают быть плоскими и должны быть выражены в топологических терминах. Если бы мы не знали, что наша планета круглая, и хотели бы узнать ее истинную форму, то мы бы справились с этой задачей. Откуда мы знаем вообще, что Земля круглая? Из простейших астрономических наблюдений — по тени от Земли во время лунного затмения. Мы видим, что тень, отбрасываемая нашей планетой, круглая, и делаем отсюда заключение, что круглой является сама Земля.
В. В. Прасолов, Наглядная топология, М., МЦНМО, 1995
6
Если бы мы находились в более сложных условиях, если бы рядом с Землёй не было Луны, на которой мы видим отбрасываемую тень, или если бы небо над Землёй всегда было затянуто облаками, через которые мы бы не могли пробиться и посмотреть на эту самую тень, то в этом случае у нас бы были простые топологические средства для понимания того, на какой планете мы живём. Для этого достаточно было бы просто разбить Землю на треугольники — триангулировать её — и подсчитать количество треугольников, участвующих в разбиении, количество их вершин и их сторон. И тогда знаменитая формула Эйлера, полученная им задолго до результатов Пуанкаре, позволила бы указать топологическую природу поверхности планеты, на которой мы живём. Описание всех возможных двумерных поверхностей — которые могут служить поверхностями планет, подобных Земле, — давно известно. Пока же, однако, мы ничего не можем сказать о топологии нашей Вселенной, о том, какой мир окружает нас. Вселенная очень велика, но даже если бы мы могли выполнить эту операцию — триангулировать ее, — то по этим данным мы бы не могли сказать, что она, собственно, из себя представляет в целом.
7
Знаменитое доказательство Перельманом гипотезы Пуанкаре позволяет лишь частично отвечать на этот вопрос. Эта гипотеза — теперь теорема — даёт инструмент, позволяющий понять, является ли это самое многомерное пространство, трёхмерное пространство, которое нас окружает, сферой. То есть хотя бы в принципе у нас есть инструмент, позволяющий определить, живём ли мы в трёхмерной сфере или то пространство, в котором мы живём, не является сферическим. Но математики пока совершенно не разобрались в том, какими в принципе могут быть трёхмерные пространства, и если вдруг окажется, что Вселенная несферическая, то для понимания ее структуры у нас нет даже теоретических инструментов. И ожидать, что мы получим такого рода результаты, ожидать, что мы получим эффективный инструмент для понимания того, что представляет из себя наша Вселенная, в ближайшее время не приходится. Эти вопросы, которые носят принципиальный характер и на которые мы не умеем отвечать, находятся в центре сегодняшних исследований. Над ними бьются сотни математиков по всему миру.
Дж.Франсис, Книжка с картинками по топологии, М., Наука, 1991
