Человечество всегда интересовал вопрос о том, как устроен окружающий мир и как он управляется, как мы можем предсказывать будущие события, и можем ли. Надо сказать, что один из революционных моментов в истории науки был в тот момент, когда Ньютон открыл свои законы. Их применение позволило свести задачу предсказания будущего в некоторых простых механических системах к решению некоторых дифференциальных уравнений. Эти дифференциальные уравнения обладали тем свойством, что их решение однозначно определяется по самому уравнению и начальным условиям. Иными словами, если мы знаем, как устроена система в некоторый момент времени, то мы можем предсказать ее поведение в любой другой момент времени. Это свойство называется «свойством детерминированности».

1

Конечно, Ньютон исследовал сравнительно простые механические модели. Это, например, движение небесных тел, когда есть несколько тел, которые взаимодействуют друг с другом. Тем не менее, сама по себе идея о том, что все тела подчиняются одним и тем же законам, которые приводят к некоторым детерминированным законам развития, оказалась очень важной. И в частности на основании этого Лаплас предложил свою модель, которая впоследствии стала называться «демоном Лапласа». Он сказал, что если бы был такой разум, который мог бы увидеть положение и скорости всех частиц в какой-то момент времени и обладал бы достаточными навыками для того, чтобы просчитать, решить соответствующие уравнения и проанализировать положение системы, то он бы знал, как устроена Вселенная в любой момент времени. Конечно, с философской точки зрения такая постановка вопроса открывает множество проблем. Например, проблем, связанных со случайностью, со свободой воли и так далее. Эти вопросы получили разное разрешение, но мы будем говорить только об одном из них. Оно относится к математической теории динамических систем, и отвечает на вопрос: как хаотическое, практически непредсказуемое поведение может рождаться с совершенно детерминированной, определенной системе?

2

Давайте рассмотрим простую динамическую систему. Допустим, представим себе качели, установленые ровно вертикально вверх. Понятно, что, если они стоят идеально вверх, если они идеально симметричны, то такое положение является положением равновесия. Однако, это положение равновесия неустойчиво. Если мы чуть-чуть пошевелим такие качели, то сразу же начнется движение. Иными словами, маленькое изменение начальных условий, начального положения нашей системы приведет к сильному изменению траектории. Сначала это было положение равновесия, а теперь это какие-то качающиеся движения. Такое свойство динамической системы называется неустойчивостью. Можно сказать, что положение равновесия, когда качели направлены вертикально вверх являются неустойчивым положением равновесия. Тем не менее, если мы заставим качаться наши качели и будем долго ждать, то, если мы не будем прилагать каких-то внешних сил, то рано или поздно качели остановятся. Мы придем в устойчивое равновесие, когда качели направлены вниз.

3

Интересен вопрос о том, может ли так быть, чтобы такое устойчивое состояние динамической системы, устойчивое в том смысле, что динамическая система к ней стремится с течением времени, само по себе обладает свойством в некотором смысле неустойчивости. То есть, что малое изменение начального условия приводит к существенному изменению траектории. Оказывается да, такое возможно. И это проявляется в очень простых математических моделях. В качестве примера мы можем рассмотреть следующую модель. Представьте себе, что у вас есть числовая прямая и точка на этой прямой это просто такое вещественное число, оно задается своей единственной координатой. Давайте предположим, что наша модель устроена таким образом: каждую, допустим, минуту координата нашей точки удваивается. Что это означает? Если у нас есть две точки, которые находились на расстоянии одна тысячная, то через минуту они будут находиться на расстоянии одна пятисотая, потому что все расстояния удваиваются, через две минуты они будут находиться на расстоянии одна двухсотпятидесятая, и уже через десять минут они будут находиться на расстоянии примерно единицы. Иными словами это означает, что точки, которые находились очень-очень близко с течением времени разбегаются, становятся достаточно далеко друг относительно друга.

4

Это свойство приводит к тому, что даже, несмотря на то, что наш закон абсолютно точно задан, мы точно можем предсказать траекторию любой точки, на практике это знание совершенно бесполезно. В каком смысле бесполезно? Мы можем предсказывать траекторию на каких-то маленьких промежутках времени, но любое наше измерение (если мы рассматриваем материальную систему, мы имеем дело с измерениями), производится с конечной точностью. Это значит, что мы не точно знаем, что некоторая наша частица имеет заданную координату, а знаем, что она имеет такую координату с какой-то точностью. Может быть ± 0,001 или ± 0,000001. Но это означает, что, если мы ее знаем с такой точностью, то, скажем, через 10 минут или через 100 минут мы будем знать траекторию этой точки уже с очень маленькой точностью. Например, мы будем знать, что нашу траекторию с точностью ± 1 или ± 10. И чем дальше, тем наши знания о поведении системы уменьшаются. Мы все хуже и хуже можем предсказывать будущее состояние системы.

Рекомендуем по этой теме:
6285
Детерминированный хаос
5

Этот факт, в частности, отвечает на вопрос, почему люди так до сих пор и не научились хорошо предсказывать погоду. Мы не знаем, какая погода будет через две недели. И даже если мы сделаем замечательные математические модели поведения погоды, даже если мы построим суперкомпьютеры, которые будут прекрасно их обсчитывать, все равно это позволит нам увеличить точность наших предсказаний совсем чуть-чуть. Увеличение, например, точности измерения в два раза в нашей простой модели приводит к тому, что мы можем с фиксированной точностью предсказывать поведение нашей системы только на одну минуту вперед. Такие свойства оказывается присущи сложным динамическим системам. Например, возвращаясь к вопросу о погоде, именно такие эффекты отвечают за возникновение так называемых странных аттракторов. Например, аттрактора Лоренца — поведение динамической системы, которое обладает чувствительностью к начальным условиям. Аттрактор Лоренца появился в системе, которая как раз моделирует конвекцию в жидкости или газе. То есть моделирует атмосферные явления.

6

Таким образом, появляется некоторая связь, некоторое объяснение того, как в совершенно детерминированных системах возникают эффекты, которые мы воспринимаем как хаотические, как недетерминированные, как непредсказуемые. Вопрос о том, присуще ли такое свойство типичной динамической системе, с математической точки зрения является открытым. И это один из ключевых вопросов современной теории динамических систем. Но, тем не менее, на практике огромное количество систем обладает такими свойствами. Слово «хаос» обычно связывается с понятием непредсказуемости. Например, если мы подкидываем монетку, мы не знаем какой стороной она упадет. И с математической точки зрения поведение такой монетки считается хаотическим, когда фактически состояние системы в некоторый момент времени позволяет плохо предсказывать то, как будет эта система развиваться в будущем. И такого рода системы обладают специальными свойствами. Вступают в силу законы теории вероятности и так далее. Но эти законы начинают работать в том случае, когда мы говорим о либо множестве экспериментов, либо множестве похожих систем. Поведение индивидуальной системы таким образом предсказывать не можем. И когда я говорю о хаосе, я подразумеваю наличие именно этого свойства — непредсказуемости.

7

Известно, что если у системы есть маленькое количество параметров (например 1 или 2 параметра в случае дифференциальных уравнений), то такая система в типичном случае не хаотична. Любое предельное поведение такой системы исчерпываются положениями равновесия или периодическими решениями, то есть какими-то колебательными процессами. Вопрос о том, как ведет себя типичная в этом смысле динамическая система, устроенная более сложно (с большим количеством параметров) является открытым. В частности, например, неизвестно правда ли, что такая система обладает в некотором смысле хаотическим поведением. Тем не менее, известно, что системы, обладающие хаотическим поведением, встречаются устойчивым образом. В частности, они могут наблюдаться в реальных физических процессах. Но как с математической точки зрения ведет себя типичная динамическая система, никто не знает. Существует ряд гипотез на эту тему. Например, есть парадигма, которая сейчас активно исследуется, это так называемая «парадигма Палиса», которая состоит из нескольких утверждений касающихся аттракторов типичных динамических систем. И доказательство или опровержение этих гипотез являются ключевым вопросом в теории динамических систем.