Неевклидова геометрия Лобачевского

Параллельные прямые не пересекаются даже в геометрии Лобачевского. Где-то в фильмах часто можно встретить фразу: «А у нашего Лобачевского параллельные прямые пересеклись». Звучит красиво, но не соответствует действительности. Николай Иванович Лобачевский действительно придумал необыкновенную геометрию, в которой параллельные прямые ведут себя совсем не так, как мы привыкли. Но все же не пересекаются.

Мы привыкли думать, что две параллельные прямые не сближаются и не удаляются. То есть, какую бы точку на первой прямой мы ни взяли, расстояние от нее до второй прямой одно и то же, от точки не зависит. Но действительно ли это так? И почему это так? И как это вообще можно проверить?

Если речь идет о физических прямых, то для наблюдения нам доступен только небольшой участок каждой прямой. А учитывая погрешности измерения, мы не сможем сделать никаких определенных выводов о том, как прямые ведут себя очень-очень далеко от нас. Подобные вопросы возникали уже у древних греков. В III веке до нашей эры древнегреческий геометр Евклид очень точно изложил основное свойство параллельных линий, которое он не мог ни доказать, ни опровергнуть. Поэтому он назвал его постулатом — утверждением, которое следует принять на веру. Это знаменитый пятый постулат Евклида: если две прямые на плоскости пересечь с секущей, так что сумма внутренних односторонних углов меньше двух прямых, то есть меньше 180 градусов, то при достаточном продолжении эти две прямые пересекутся, причем именно по ту сторону от секущей, по которую сумма меньше двух прямых углов.

Ключевые слова в этом постулате — «при достаточном продолжении». Именно из-за этих слов постулат невозможно проверить опытным путем. Может быть, прямые пересекутся в зоне видимости. Может быть, через 10 километров или за орбитой Плутона, а может быть, вообще в другой галактике.

Свои постулаты и результаты, которые из них логически следуют, Евклид изложил в знаменитой книге «Начала». От древнегреческого названия этой книги происходит русское слово «стихии», а от латинского названия — слово «элементы». «Начала» Евклида — это самый популярный учебник всех времен и народов. По числу изданий он уступает только Библии.

Особенно хочется отметить замечательное британское издание 1847 года с очень наглядной и красивой инфографикой. Вместо унылых обозначений на чертежах там используются цветные рисунки — не то, что в современных школьных учебниках геометрии.

Вплоть до прошлого века «Начала» Евклида были обязательны для изучения на всех образовательных программах, где подразумевалось интеллектуальное творчество, то есть не просто обучение ремеслу, а что-то более интеллектуальное. Неочевидность пятого постулата Евклида вызвала естественный вопрос: нельзя ли его доказать, то есть вывести логически из остальных допущений Евклида? Это пытались сделать очень многие математики от современников Евклида до современников Лобачевского. Как правило, они сводили пятый постулат к какому-то более наглядному утверждению, в которое проще поверить.

Например, в XVII веке английский математик Джон Валлис свел пятый постулат к такому утверждению: существует два подобных, но неравных треугольника, то есть два треугольника, у которых углы равны, а размеры разные. Казалось бы, что может быть проще? Просто изменим масштаб. Но, оказывается, возможность менять масштаб с сохранением всех углов и пропорций — это эксклюзивное свойство евклидовой геометрии, то есть геометрии, в которой выполнены все постулаты Евклида, включая пятый.

В XVIII веке шотландский ученый Джон Плейфэр переформулировал пятый постулат в том виде, в котором он обычно фигурирует в современных школьных учебниках: две прямые, пересекающие друг друга, не могут быть одновременно параллельны третьей прямой. Именно в таком виде пятый постулат фигурирует в современных школьных учебниках.

К началу XIX века у многих сложилось впечатление, что доказывать пятый постулат — это все равно что изобретать вечный двигатель — совершенно бесполезное занятие. Но и предположить, что геометрия Евклида не единственно возможная, ни у кого не хватило духу: слишком велик был авторитет Евклида. В такой ситуации открытия Лобачевского были, с одной стороны, закономерны, а с другой — абсолютно революционны.

Лобачевский заменил пятый постулат на прямо противоположное утверждение. Аксиома Лобачевского звучала так: если из точки, не лежащей на прямой, выпустить все лучи, пересекающие эту прямую, то слева и справа эти лучи будут ограничены двумя предельными лучами, которые прямую уже не пересекут, но будут становиться к ней все ближе и ближе. Причем угол между этими предельными лучами будет строго меньше 180 градусов.

Из аксиомы Лобачевского сразу следует, что через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не одну прямую, параллельную данной, как у Евклида, а сколько угодно. Но вести себя эти прямые будут иначе, чем у Евклида. Например, если у нас есть две параллельные прямые, то они могут сначала сближаться, а потом удаляться. То есть расстояние от точки на первой прямой до второй прямой будет зависеть от точки. Будет разным для разных точек.

Геометрия Лобачевского противоречит нашей интуиции отчасти потому, что на небольших расстояниях, с которыми мы обычно имеем дело, она очень мало отличается от евклидовой. Похожим образом мы воспринимаем кривизну поверхности Земли. Когда мы идем от дома к магазину, нам кажется, что мы идем по прямой, а Земля плоская. Но если мы летим, скажем, из Москвы в Монреаль, то мы уже замечаем, что самолет летит по дуге окружности, потому что именно это кратчайший путь между двумя точками на поверхности Земли. То есть мы замечаем, что Земля больше похожа на футбольный мяч, чем на блин.

Геометрию Лобачевского тоже можно проиллюстрировать с помощью футбольного мяча, только не обычного, а гиперболического. Гиперболический футбольный мяч склеен примерно как обычный. Только в обычном мяче к черным пятиугольникам приклеиваются белые шестиугольники, а в гиперболическом мяче вместо пятиугольников нужно делать семиугольники и тоже обклеивать их шестиугольниками. При этом получится уже, конечно, не мяч, а скорее седло. И на этом седле реализуется геометрия Лобачевского.

О своих открытиях Лобачевский пытался рассказать в 1826 году в Казанском университете. Но текста доклада не сохранилось. В 1829 году он опубликовал статью о своей геометрии в университетском журнале. Результаты Лобачевского многим казались бессмысленными — не только потому, что они разрушали привычную картину мира, но потому, что изложены были не самым понятным образом.

Однако были у Лобачевского публикации и в высокорейтинговых журналах, как мы их сегодня называем. Например, в 1836 году он опубликовал статью под названием «Воображаемая геометрия» на французском в знаменитом журнале Крелля, в одном номере со статьями известнейших математиков того времени — Дирихле, Штейнера и Якоби. А в 1840 году Лобачевский издал небольшую и очень понятно написанную книгу под названием «Геометрические исследования по теории параллельных линий». Книга была на немецком и издана была в Германии. Тут же появилась разгромная рецензия. Рецензент особенно издевался над фразой Лобачевского: «Чем далее продолжаем прямые в сторону их параллелизма, тем больше они приближаются друг к другу». «Одно это высказывание, — писал рецензент, — уже достаточно характеризует сочинение господина Лобачевского и освобождает рецензента от необходимости дальнейшей его оценки».

Но нашелся у книги и один непредвзятый читатель. Это был Карл Фридрих Гаусс, также известный под прозвищем Король Математиков, один из величайших математиков в истории. Он высоко оценил книгу Лобачевского в одном из своих писем. Но его отзыв опубликовали только после его смерти вместе с остальной перепиской. И вот тогда начался настоящий бум геометрии Лобачевского.

В 1866 году его книгу перевели на французский язык, затем на английский. Причем английское издание было переиздано еще три раза из-за необычайной популярности. К сожалению, Лобачевский до этого времени не дожил. Он умер в 1856 году. А в 1868-м появилось русское издание книги Лобачевского. Оно вышло не книгой, а статьей в старейшем российском журнале «Математический сборник». Но тогда этот журнал был совсем молодым, ему не исполнилось еще и двух лет. Но более известен русский перевод 1945 года, выполненный замечательным российским и советским геометром Вениамином Федоровичем Каганом.

К концу XIX века математики разделились на два лагеря. Одни сразу приняли результаты Лобачевского и стали дальше развивать его идеи. А другие так и не смогли отказаться от веры, что геометрия Лобачевского описывает что-то несуществующее, то есть геометрия Евклида единственно верная и ничего другого быть не может. К сожалению, к числу последних относился и математик, больше известный как автор «Алисы в стране чудес», — Льюис Кэрролл. Его настоящее имя Чарльз Доджсон. В 1890 году он опубликовал статью под названием «Новая теория параллельных», где защищал исключительно наглядную версию пятого постулата. Аксиома Льюиса Кэрролла звучит так: если в круг вписать правильный четырехугольник, то площадь этого четырехугольника будет строго больше, чем площадь любого из сегментов круга, лежащих вне четырехугольника. В геометрии Лобачевского эта аксиома неверна. Если мы возьмем достаточно большой круг, то, какой бы четырехугольник мы в него ни вписали, какие бы длинные стороны у этого четырехугольника ни были, площадь четырехугольника будет ограничена универсальной физической постоянной. Вообще наличие физических констант и универсальных мер длины — это выгодное отличие геометрии Лобачевского от геометрии Евклида.

Зато Артур Кэли, другой известный английский математик, в 1859 году, то есть всего через три года после смерти Лобачевского, издал статью, которая впоследствии помогла легализовать постулат Лобачевского. Интересно, что Кэли в это время подрабатывал юристом в Лондоне и лишь потом получил профессорскую позицию в Кембридже. Фактически Кэли построил первую модель геометрии Лобачевского, хотя и решал, на первый взгляд, совсем другую задачу.

А другой замечательный английский математик, которого звали Уильям Кингдон Клиффорд, глубоко проникся идеями Лобачевского. И в частности, он первый высказал идею задолго до создания общей теории относительности, что гравитация вызвана искривлением пространства. Клиффорд так оценил вклад Лобачевского в науку в одной из своих лекций о философии науки: «Лобачевский для Евклида стал тем же, кем Коперник стал для Птолемея». Если до Коперника человечество полагало, что мы знаем о Вселенной все, то теперь нам ясно, что мы наблюдаем лишь небольшую часть Вселенной. Так же и до Лобачевского человечество считало, что есть только одна геометрия — евклидова, о ней все давно известно. Теперь мы знаем, что геометрий много, а знаем мы о них далеко не все.