Аддитивная комбинаторика

Как возникла аддитивная комбинаторика? Что изучает эта область знания? Какие теории и методы лежат в основе аддитивной комбинаторики? Об этом рассказывает доктор физико-математических наук Илья Шкредов.

Комбинаторика — это наука, которая изучает абстрактные множества. Аддитивная комбинаторика изучает множества, состоящие из элементов, на которых можно определить операцию сложения. То есть подразумевается, что мы живем во Вселенной, состоящей из элементов, которые можно складывать. Объект нашего изучения — множество этих элементов.

В аддитивной комбинаторике все множества делятся на 2 класса: случайные и структурированные. Интересно, что аддитивная комбинаторика использует такую игру: переход от случайности в структуру и обратно. Не нужно бояться, если есть отсутствие случайности или структуры, в любом случае что-нибудь выиграем. Если множество случайно, то работают старые аналитические методы. Если оно структурно, то можно непосредственно что-то доказать, воспользовавшись этой структурой. Другими словами, аддитивно-комбинаторный метод состоит в том, что берется некоторый объект (множество, граф) и исследуется его случайность.

Арифметическая прогрессия — это набор чисел, находящихся на одинаковом расстоянии: 1, 2, 3; 1, 2, 3, 4, 5; 5, 10, 15 и так далее. Например, прогрессии, составленные из простых чисел (3, 5, 7; 17, 23, 29). Оказалось, что среди простых чисел существует бесконечно много таких троек и, более того, можно брать не только тройки, но сколь угодно длинные последовательности на одинаковом расстоянии. Аналитический метод не давал таких результатов. Именно соединение комбинаторных, эргодических и, конечно, аналитических идей позволило доказать эту теорему.