Совместно с издательством «Манн, Иванов и Фербер» мы публикуем отрывок из книги «Симпсоны и их математические секреты» доктора физических наук Саймона Сингха, посвященной эпизодам мультсериала, в которых упоминаются различные математические задачи — от числа π и бесконечности до происхождения чисел и нерешенных проблем современной математики.

Еще один кусочек числа π

В эпизоде «Оковы Мардж» (Marge in Chains, сезон 4, эпизод 21; 1993 год) Мардж арестовывают после того, как она забывает заплатить за бутылку бурбона в магазине «На скорую руку». Мардж привлекают к суду, а ее интересы представляет адвокат Лайонел Хац, человек с сомнительной репутацией. Еще до начала суда Хац признает, что это, вероятно, будет трудная битва, потому что у него плохие отношения с судьей: «Он ненавидит меня с тех пор, как я вроде бы наехал на его собаку… Замените слово „вроде“ на слово „неоднократно“, а слово „собака“ на „сын“».

Стратегия защиты Мардж, которой решил придерживаться Хац, сводится к дискредитации владельца магазина «На скорую руку» Апу Нахасапимапетилона, который выступает в качестве свидетеля по обвинению Мардж в краже. Однако когда он вызывает Апу для дачи свидетельских показаний и спрашивает, забывал ли он когда-либо что-нибудь, Апу пытается показать, что у него идеальная память, и отвечает: «Нет, но я могу назвать число π до сорока тысяч десятичных знаков. Последняя цифра 1». На Гомера это не производит особого впечатления, и он просто думает про себя: «Мм… Пи (рог)».

Поразительное заявление Апу о том, что он запомнил до сорока тысяч десятичных знаков числа π, имеет смысл только в случае, если математики уже рассчитали это число с такой точностью. Так какова же была ситуация с его вычислением в 1993 году, когда эпизод вышел на экраны? В главе 2 мы видели, как математики, начиная с древних греков, использовали многогранники для определения все более точного значения числа π и получили в итоге результат с точностью до тридцать четвертого десятичного знака. В 1630 году австрийский астроном Кристоф Гринбергер рассчитал число π с помощью многогранников до тридцать восьмого десятичного знака. С научной точки зрения нет совершенно никакого смысла в определении следующих цифр, поскольку данного значения вполне достаточно для выполнения самых сложных астрономических расчетов с максимально высокой точностью. И это не преувеличение. Если бы астрономы установили точный диаметр известной нам части вселенной, то значения числа π до тридцать восьмого десятичного знака вполне бы хватило для расчета окружности вселенной с точностью до размера атома водорода.

Тем не менее борьба за установление все большего количества цифр числа π продолжилась. Эта задача стала напоминать восхождение на Эверест. Число π выступало на математическом ландшафте в роли далекой горной вершины, и математики стремились взобраться на нее. Однако стратегия математиков изменилась. Вместо использования медленного подхода с применением многогранников они открыли ряд формул для определения значения числа π более быстрым способом. Например, в XVIII столетии Леонард Эйлер вывел следующую элегантную формулу:

Интересно то, что число π можно вывести из такой простой последовательности чисел. Это равенство известно как бесконечный ряд, поскольку оно состоит из бесконечного количества членов, и чем больше членов включено в расчеты, тем точнее будет результат. Ниже представлены результаты вычисления числа π с использованием одного, двух, трех, четырех и пяти членов ряда Эйлера:

Метод аппроксимации позволяет все плотнее приблизиться к истинному значению числа π; при этом по мере включения дополнительного члена уравнения результат становится точнее. Вычисление числа π с помощью пяти членов уравнения дает значение 3,140, что обеспечивает точность до двух десятичных знаков. В случае использования ста членов уравнения число π можно рассчитать с точностью до шести десятичных знаков: 3,141592. Бесконечный ряд Эйлера — достаточно эффективный метод расчета значения числа π, но следующие поколения математиков изобрели и другие бесконечные ряды, позволяющие ускорить вычисления. Джон Мэчин, который в начале XVIII столетия был профессором астрономии в Колледже Грешема в Лондоне, разработал один из самых быстро сходящихся, хотя и не такой элегантный бесконечный ряд. Мэчин превзошел все предыдущие достижения, рассчитав значение числа π с точностью до ста десятичных знаков.

Другие математики использовали бесконечный ряд Мэчина еще активнее. К их числу относится и английский математик-любитель Уильям Шенкс, который посвятил большую часть своей жизни вычислению π. В 1874 году он заявил, что рассчитал 707 цифр числа π.

Рекомендуем по этой теме:
9526
Вычислительная линейная алгебра

В знак уважения к столь героическому достижению музей науки в Париже, известный под названием «Дворец открытий», украсил свой зал числа π надписью со всеми 707 цифрами π. К сожалению, в 40-х годах ХХ века в выкладках Шенкса была выявлена ошибка при расчете 527 десятичного знака, из-за чего все последующие цифры оказались неправильными. Дворец открытий вызвал маляров, а репутация Шенкса была безнадежно испорчена. Тем не менее 526 десятичных знаков все же оставались рекордным значением для числа π на то время.

После второй мировой войны механические и электронные калькуляторы заменили бумагу и карандаш, которые использовал Шенкс и предыдущие поколения математиков. Силу технологий иллюстрирует тот факт, что Шенксу понадобилась целая жизнь, чтобы вычислить 707 цифр числа π, 181 из которых оказались неправильными, тогда как в 1958 году Парижский центр обработки данных без всяких ошибок выполнил те же расчеты на IBM 704 за сорок секунд. Теперь очередные цифры числа π начали появляться все более быстрыми темпами, но энтузиазм математиков несколько сдерживало понимание того, что даже компьютеры не способны справиться с этой бесконечной задачей.

Именно этот факт был положен в основу одной из сцен эпизода оригинального сериала «Звездный путь» под названием «волк в овчарне» (Wolf in the Fold, сезон 2, эпизод 14; 1967 год). Для того чтобы изгнать дьявольскую энергетическую силу, которая захватила звездолет USS Enterprise, Спок дает следующую команду: «Компьютер, это директива класса А. Вычислите значение π до последнего знака». Компьютер настолько расстроен этим запросом, что снова и снова кричит: «Нет!» Тем не менее он обязан подчиниться этой директиве и в итоге не может выполнить требуемые вычисления, что каким-то образом изгоняет дьявольскую силу из электрических цепей.

Гениальность Спока в эпизоде «волк в овчарне» с лихвой компенсирует вопиющую математическую безграмотность, продемонстрированную капитаном Джеймсом Тиберием Кирком в другом эпизоде «Звездного пути», снятом чуть раньше в том же году. Речь идет об эпизоде «Трибунал» (Court Martial, сезон 1, эпизод 20; 1967 год), в котором один из членов экипажа исчезает на борту корабля Enterprise, и никто не знает, жив он или мертв. Кирк, на котором лежит ответственность за судьбу членов экипажа, принимает решение использовать компьютер для поиска пропавшего по его сердцебиению. Вот как он объясняет свой план: «Джентльмены, наш компьютер снабжен аудиосенсором. По сути, он может слышать звуки. Включив усилитель, мы сможем увеличить эту его способность в один в четвертой степени раз». Разумеется, единица в четвертой степени (14) — это все та же единица.

Вскоре после того как французские программисты менее чем за минуту вычислили 707 цифр числа π, та же команда рассчитала 10 021 цифру π с помощью компьютера Ferranti Pegasus. Затем, в 1961 году, Центр обработки данных IBM в Нью-Йорке вычислил значение числа π с точностью до 100 265 цифр. Разумеется, появление более мощных компьютеров привело к вычислению еще большего количества цифр числа π. В 1981 году японский математик Ясумаса Канада рассчитал значение π с точностью до двух миллионов десятичных знаков. Эксцентричные братья Чудновские (Григорий и Давид) собрали собственный суперкомпьютер DIY в своей квартире на Манхэттене и в 1989 году преодолели барьер в 1 миллиард цифр числа π, но впоследствии Канада превзошел их, вычислив в 1997 году 50 миллиардов цифр, а затем, в 2002 году — один триллион. В настоящее время Сигэру Кондо и Александр Йи лидируют по количеству вычисленных цифр числа π. В 2010 году они рассчитали значение π с точностью до пяти триллионов знаков, А в 2001-м удвоили этот результат, вычислив число π с точностью до 10 триллионов знаков.

• • •

Но вернемся в зал суда. Учитывая вышесказанное, Апу мог легко получить доступ к первым сорока тысячам десятичных знаков числа π, поскольку в начале 1960-х годов математики уже рассчитали его значение с более высокой точностью. Однако мог ли Апу действительно запомнить число π до сорока тысяч десятичных знаков?

Как уже упоминалось выше в контексте числа e, лучший подход к запоминанию ряда цифр состоит в использовании фразы, каждое слово которой содержит соответствующее количество букв. Например, фраза May I have a large container of coffee? («Можно мне большую банку кофе?») дает число 3,1415926; фраза How I wish I could recollect pi easily today! («Как бы мне хотелось легко вспомнить число π сегодня!») прибавляет еще одну цифру. Великий британский ученый сэр Джеймс Джинс в промежутках между изучением глубоких вопросов в области астрофизики и космологии изобрел фразу, которая позволяет запомнить семнадцать цифр числа π: How I need a drink, alcoholic of course, after all those lectures involving quantum mechanics («Как же мне нужно выпить что-то, разумеется алкогольное, после всех этих лекций по квантовой механике»).

Несколько специалистов по запоминанию развили этот метод. Они могут перечислять цифры числа π, рассказывая себе длинные, тщательно продуманные истории, в которых количество букв в каждом слове напоминает им о следующей цифре числа π. Этот метод позволил Фреду Грэму из Канады преодолеть барьер в 1000 цифр в 1973 году. В 1978 году американец Дэвид Сэнкер запомнил таким способом 10 000 цифр, а в 1980-м британский мнемонист индийского происхождения Раджан Махадеван преодолел планку в 30 000 цифр (точнее говоря, 31 811 цифр); в 1987 году японский мнемонист Хидеаки Томойори установил новый мировой рекорд — 40 000 цифр. В наше время рекордсменом по запоминанию числа π является Чао Лу из Китая, который запомнил в 2005 году 67 890 цифр.

Однако именно рекорд Томойори (40 000 цифр) действовал в 1993 году, когда работа над сценарием эпизода «Оковы Мардж» подходила к концу. Следовательно, заявление Апу о том, что он может вспомнить число π до 40 000 десятичных знаков, было прямой ссылкой и данью уважения Томойори, который в то время являлся самым известным и успешным специалистом по запоминанию числа π.

Сценарий эпизода писали Билл Окли и Джош Вайнштейн. По словам Вайнштейна, сюжет эпизода «Оковы Мардж» уже был в общих чертах намечен к тому времени, когда ему и Окли поручили над ним работу: «Мы были младшими сценаристами, поэтому нам давали сценарии, от которых все отказывались. Сценарии, строящиеся вокруг Мардж, писать очень трудно. Гомер, например, сразу же вызывает смех, так же как и Красти. Но Мардж — это действительно трудная задача, поэтому связанные с ней сюжеты часто сваливали на таких новичков, как мы».

Вайнштейн и Окли взяли основную сюжетную линию эпизода «Оковы Мардж», разработали детали, написали ключевые шутки и сдали свой вариант сценария. Важно отметить, что во время нашей встречи Вайнштейн стремился подчеркнуть тот факт, что в этой версии сценария число π вообще не упоминалось. На самом деле в первоначальном варианте сценария Апу заявил под присягой, что он известен как «мистер память», а также что существует более четырех сотен документальных фильмов о его умственных способностях.

Пожалуй, не стоит удивляться тому, что число π не упоминается в первоначальной версии сценария, поскольку ни у Окли, ни у Вайнштейна нет математического образования. Тогда как же появилась в сценарии эта математическая ссылка?

Рекомендуем по этой теме:
7613
Коэффициент корреляции

Как обычно, все члены команды сценаристов собрались, чтобы внимательно проанализировать и обсудить первый вариант сценария, с тем чтобы улучшить сюжет и по возможности включить дополнительные шутки. В этот момент коллега Окли и Вайнштейна Эл Джин и увидел повод включить в эпизод немного математики. Благодаря своему неизменному интересу к этой науке Джин знал, что мировой рекорд запоминания числа π составляет сорок тысяч десятичных знаков, поэтому предложил изменить сценарий так, чтобы Апу сделал заявление, соответствующее этому рекорду. А когда Апу называет сорокатысячный десятичный знак числа π, это придает его словам определенную достоверность.

Все согласились, что это хорошая мысль, но никто не знал, какая именно цифра соответствует сорокатысячному десятичному знаку π. Более того, дело происходило в 1993 году, когда интернет еще не получил широкого распространения, Google вообще не существовал, а о поиске в «википедии» никто даже не слышал. Сценаристы пришли к выводу, что им нужен совет эксперта, и связались с блестящим математиком по имени Дэвид Бейли, который работал в то время в NASA, в Исследовательском центре Эймса. В ответ Бейли напечатал все сорок тысяч десятичных знаков числа π и отправил их в студию «Симпсонов». Вот цифры от 39 990-го по 40 000-й десятичные знаки:

Как видите, Апу прав, утверждая, что 1 — это последняя цифра последовательности, которую он запомнил.

Тот факт, что Бейли внес свой вклад в создание «Симпсонов» в качестве математика NASA, был упомянут три года спустя в эпизоде «22 коротких фильма о Спрингфилде» (22 Short Films About Springfield, сезон 7, эпизод 21; 1996 год). Когда главный пьяница Спрингфилда Барни Гамбл вваливается в бар Мо, он узнает, что у Мо для него плохие новости: «Слушай, Барни, помнишь, я сказал, что пошлю твой счет на калькуляцию в NASA? Сегодня пришли результаты. Ты мне должен семьдесят миллиардов долларов».

Заявление Апу по поводу числа π в эпизоде «Оковы Мардж» повлияло на другой эпизод, а именно «Много Апу из ничего» (Much Apu About Nothing, сезон 7, эпизод 23; 1996 год). В нем Апу рассказывает о своем прошлом, что проливает свет на то, почему этот человек смог запомнить число π до 40 000 десятичных знаков. Когда Апу вспоминает о своем путешествии из Индии в Америку, он говорит Мардж: «Я приехал сюда после окончания Калтеха, Технического института Калькутты. Как лучшего студента из 7 миллионов однокурсников меня отправили учиться в Штаты — и я поехал».

Хотя Технический институт Калькутты — вымышленное учебное заведение, неподалеку от Калькутты действительно есть технический вуз — Бенгальский институт технологий, который, пожалуй, мог бы претендовать на роль альма-матер Апу. Акроним названия этого института BIT как нельзя лучше подходит для учебного заведения, специализирующегося на компьютерных науках и информационных технологиях. Мы также узнаем, что Апу отправился в Америку, чтобы учиться в техническом институте Спрингфилда с гораздо менее благозвучным акронимом SHIT. Под руководством профессора Фринка Апу потратил девять лет на получение докторской степени, предположительно разработав первую в мире программу для игры в крестики-нолики, выиграть у которой могли только самые лучшие игроки.

Дэвид Коэн, писавший сценарий эпизода «Много Апу из ничего», решил, что Апу должен быть скорее программистом, нежели математиком, поскольку сам Коэн изучал в свое время компьютерные науки в Калифорнийском университете в Беркли и посещал занятия вместе с несколькими индийскими студентами. В частности, прошлое Апу основано на биографии одного из ближайших друзей Коэна в Беркли Ашу Реге, который получил работу в NVIDIA, ведущей компании по разработке графических процессоров.

• • •

Число π сыграло еще одну, более заметную роль в мультсериале «Симпсоны». В заключительных сценах эпизода «Саксофон лизы» (Lisa’s Sax, сезон 9, эпизод 3; 1997 год), чтобы развить ее зарождающуюся гениальность, Гомер покупает лизе саксофон. Однако, прежде чем приобрести музыкальный инструмент, Гомер и Мардж решают отправить лизу в Школу миссис Тиллингхэм для умных девочек и маменькиных сынков. В короткой сцене из прошлого мы видим, как Гомер и Мардж посещают эту школу, где на площадке встречают двух вундеркиндов, придумавших слова для песенки-считалки:

Cross my heart and hope to die,

Here’s the digits that make π,

3.14159265358979323846…

(Не сойти мне с этого места,

Вот цифры числа π:

3,14159265358979323846…)

Именно Эл Джин был тем сценаристом, который искусно включил в эпизод эту математическую ссылку. При первом прослушивании песенки декламация самого знаменитого иррационального числа кажется вполне уместной в данной ситуации. Но немного подумав, я задался вопросом: почему число π выражено в песенке в десятичной форме?

Десятичная система — это наша стандартная система счисления, в которой первый десятичный знак соответствует десятым (1⁄101), а каждый последующий — сотым (1⁄102), тысячным (1⁄103) и т. д. Наша система счисления сформировалась именно таким образом, поскольку у человека на руках десять пальцев.

Однако если вы внимательно посмотрите на руки персонажей «Симпсонов», то заметите, что у них по четыре пальца на каждой руке, то есть в сумме восемь. Следовательно, счет в Спрингфилде должен основываться на числе 8, что привело бы к совершенно другой системе счисления (известной как восьмеричная система) и, в свою очередь, потребовало бы совсем иного способа представления числа π (3,1103755242…).

Математическая сторона восьмеричной системы здесь не важна, в частности потому, что герои сериала «Симпсоны», так же как и мы, используют десятичную систему счисления. Тем не менее остается два открытых вопроса, на которые необходимо ответить. Во-первых, почему у обитателей Спрингфилда только восемь пальцев на руках? Во-вторых, почему в мире «Симпсонов» используется десятичная система счисления, если у персонажей всего по восемь пальцев?

Мутация, которая привела к наличию у персонажей «Симпсонов» восьми пальцев, восходит своими корнями к заре анимации на большом экране. У Кота Феликса, дебютировавшего в 1919 году, было только по четыре пальца на каждой лапе; столько же их было и у Микки Мауса, когда он появился на экранах в 1928 году. Когда Уолта Диснея спросили, почему у этого мышонка, наделенного человеческими качествами, не хватает пальцев, он ответил: «С художественной точки зрения пять пальцев — слишком много для мыши. Его рука напоминала бы гроздь бананов». Дисней также объяснил, что отсутствие у персонажа одного пальца существенно сокращало не только объем работы для аниматоров, но и расходы: «в финансовом плане отсутствие дополнительного пальца на каждом из 45 000 рисунков, из которых состоит короткометражный фильм продолжительностью шесть с половиной минут, сэкономило студии миллионы».

По этим причинам восемь пальцев стали стандартным количеством для мультипликационных персонажей (как животных, так и людей) во всем мире. Единственное исключение — Япония, где четыре пальца на руке могут иметь зловещий оттенок, так как число 4 ассоциируется со смертью, а Якудза, печально известная японская мафия, отрезает мизинец либо в наказание, либо для проверки лояльности. Исходя из этого, британский мультсериал «Боб-строитель» (Bob the Builder) для продажи в 2010 году Японии пришлось изменить, чтобы у персонажей было требуемое количество пальцев.

В то время как у японцев рука с четырьмя пальцами вызывает чувство дискомфорта, все персонажи «Симпсонов» принимают это как должное. В действительности любой другой вариант считается отклонением от нормы. Это становится очевидным в эпизоде «Я женат на Мардж» (I Married Marge, сезон 3, эпизод 12; 1991 год), в частности в сцене рождения Барта. Мы слышим, как Мардж спрашивает Гомера, правда ли их новорожденный сын замечательный, на что Гомер отвечает: «Главное, чтобы у него было по восемь пальцев на руках и ногах».

Кроме того, в эпизоде «Возлюбленный леди Бувье» (Lady Bouvier’s Lover, сезон 5, эпизод 21; 1994 год) мама Мардж и отец Гомера начинают, к ужасу Гомера, встречаться: «если он женится на твоей маме, Мардж, мы станем братом и сестрой! У нас родятся уродцы с розовой кожей, правильным прикусом и пятью пальцами на каждой руке».

Тем не менее, несмотря на недостаточное количество пальцев, жители Спрингфилда считают в десятичной системе, а не в восьмеричной, поскольку они выражают значение числа π как 3,141… . Так как и почему обитатели города, имеющие по восемь пальцев на руках, пришли к десятичной системе счисления?

Рекомендуем по этой теме:
7364
Цепные дроби

Одна из возможных причин состоит в том, что древние желтокожие предки Гомера и Мардж использовали для счета не только пальцы рук. Они могли считать, например, с помощью восьми пальцев и двух ноздрей. Это может показаться странным, но в некоторых культурах развивалась система счисления, основанная не только на пальцах. Например, члены племени юпно, обитающего в Папуа-Новой Гвинее, присваивают номера от 1 до 33 разным частям тела, от пальцев до ноздрей и грудных сосков. В этой системе счисления число 31 соответствует левому яичку, 32 — правому, а 33 — «мужскому органу». Европейские ученые, такие как Беда Достопочтенный, также экспериментировали с системами счисления, опирающимися на части тела. Этот английский богослов VIII столетия разработал систему, позволявшую ему считать до 9999, используя жесты и мельчайшие части тела человека. По словам Алекса Беллоса, автора книги Alex’s Adventures in Numberland, «Беда Достопочтенный предложил систему счета, которая отчасти была основана на арифметике, а отчасти — на использовании быстрых движений пальцев и рук».

Хотя счет на пальцах рук и ноздрях мог бы объяснить переход персонажей «Симпсонов» на десятичную систему счисления, стоит рассмотреть и другую версию. Можно ли предположить, что числа в анимационной вселенной были изобретены не людьми, а высшей силой? Как рационалист я в большинстве случаев отвергаю подобные гипотезы, но мы не можем игнорировать факт появления Бога в нескольких эпизодах «Симпсонов», причем в каждом эпизоде у него по десять пальцев. В действительности Бог — единственный персонаж сериала с десятью пальцами.