Когда топология стала самостоятельным разделом математики? В чем различия между топологией и геометрией? Какое применение топология нашла в физике? И каковы перспективы исследований в этой области? Об этом рассказывает доктор физико-математических наук Сергей Ландо.

На рубеже XIX–XX веков от геометрии отделилась совершенно новая область — топология, которая, собственно, и определила развитие математики XX века. В топологию ушли те геометрические структуры, которые оказались наиболее фундаментальными, наиболее простыми и наиболее связанными с физикой XX века. Заслуга в этом принадлежит в первую очередь великому французскому математику Анри Пуанкаре, который выделил топологические структуры и который разработал язык, чтобы их описывать. Если мы будем говорить о разнице между геометрией и топологией, то в геометрии главную роль играет расстояние.

Рекомендуем по этой теме:
30280
5 книг о функциональном анализе

Топология стала одной из основных отраслей математики в XX веке. Не в последнюю очередь потому, что она нашла своё применение в физике. Как раз на рубеже веков физика перестала быть линейной. Выяснилось, что ньютоновский мир, в котором наше пространство одинаково протяжено и равномерно по всем направлениям, не является достаточно точным инструментом для описания реальности. И в том, в чём, опять-таки, принял решающее участие Пуанкаре, сделало наш мир изогнутым, скрученным. И вот, для описания не плоского мира топология оказалась самым подходящим инструментом

Если бы наша планета не была круглой, и мы хотели бы узнать истинную форму нашей планеты, истинную форму Земли, то мы бы справились с этой задачей. Откуда мы знаем вообще, что Земля круглая? Из простейших астрономических наблюдений, которые просто описывают тень от Земли во время лунного затмения. Мы видим, что тень, отбрасываемая нашей планетой, круглая. И делаем отсюда заключение, что круглой является сама Земля. Если бы мы находились в более сложных условиях, у нас бы были простые топологические средства для понимания того, на какой планете мы живём. Для этого достаточно было бы просто разбить Землю на треугольники, триангулировать её и подсчитать количество треугольников, участвующих в разбиении, количество их вершин и их сторон. И тогда знаменитая формула Эйлера, полученная им задолго до результатов Пуанкаре, позволила бы сказать ту топологическую природу поверхности планеты, на которой мы живём.