Прежде чем подробнее рассмотреть пятимерное пространство-время из теории Калуцы — Клейна, познакомимся с методом описания электромагнитных взаимодействий, который в итоге вошел в состав стандартной модели. Здесь нас в первую очередь интересует, каким образом описываются электромагнитные взаимодействия квантовых частиц (речь идет о лоренцовской расширенной версии теории Максвелла, которая, как упоминалось в разделе 1.5, демонстрирует реакцию заряженных частиц на электромагнитное поле), а также обобщения этих законов для сильного и слабого взаимодействий в стандартной модели. Эту картину впервые составил в 1918 году великий немецкий математик и физик-теоретик Герман Вейль. (В 1933–1955 годах Вейль стал одним из столпов Принстонского института перспективных исследований — в то же самое время там работал и Эйнштейн. Однако, как и Эйнштейн, Вейль внес свой основной вклад в физику ранее, когда жил в Германии и Швейцарии.) Исходная идея Вейля заключалась в следующем: расширить общую теорию относительности Эйнштейна таким образом, чтобы максвелловский электромагнетизм (великая теория, вкратце упомянутая в разделах 1.2 и 1.6) естественным образом вписывался в геометрическую структуру пространства-времени. Для этого Вейль ввел концепцию так называемой калибровочной связности. Наконец, после того как в теорию были внесены некоторые ювелирные изменения, идея Вейля стала играть центральную роль при трактовке взаимодействий в стандартной модели физики частиц. В терминах математики (в основном под влиянием Анджея Траутмана (Trautman, [1970])) такая идея калибровочной связности сегодня трактуется в контексте расслоения (см. раздел A.7), проиллюстрированного на рис. 1.12 (о чем уже упоминалось в разделе 1.3). Важно понимать, в чем исходная идея Вейля о калибровочной связности отличалась от высказанной чуть позже идеи Калуцы — Клейна и чем на нее походила.
В разделе 1.8 я немного подробнее опишу, как Вейль представил свое геометрическое расширение эйнштейновской общей теории относительности, в которое собирался включить теорию Максвелла. Мы убедимся, что теория Вейля не предполагает никакого увеличения размерности пространства-времени, однако снижает роль метрики, лежащей в основе теории Эйнштейна. Итак, для затравки я хочу поговорить о той фактической роли, которую в эйнштейновской системе играет метрический тензор g. Действительно, это базовая величина, определяющая псевдориманову структуру пространства-времени. Как правило, физики пользуются нотацией вроде gab (или gij, или gμν, или тому подобной) для обозначения набора компонентов тензорной величины g, но я не собираюсь вдаваться в детали этих проблем и даже не планирую объяснять, что именно означает термин «тензор» с математической точки зрения. В данном случае нас интересует самая непосредственная физическая интерпретация, которая может присваиваться g.
)
Предположим, у нас есть кривая C, соединяющая две точки — или два события — P и Q в пространственно-временном многообразии M, где C представляет историю некоторой массивной частицы, развивающуюся от события P до более позднего события Q. (Термин «событие» часто означает точку в пространствевремени.) Кривая C именуется мировой линией этой частицы. Итак, в теории Эйнштейна величина g нужна для определения «длины» кривой C, причем физически эта длина интерпретируется как временной интервал (а не расстояние) между точками P и Q, который был бы измерен идеальными часами, установленными на частице (рис. 1.14 a).
Необходимо помнить, что, согласно эйнштейновской теории относительности, «ход времени» — это не строго абсолютный процесс, синхронно протекающий во всей Вселенной. Напротив, следует мыслить в терминах неразрывного пространства-времени.
Пространство-время никоим образом не «шинкуется» на трехмерные участки пространства, каждый их которых содержит совокупность событий, происходящих «одновременно». У нас нет никаких абсолютных «универсальных часов», которые просто тикают, а каждому удару этих часов соответствует отдельное трехмерное пространство с одновременными событиями, а следующий удар часов — это уже новая совокупность одновременных событий, и т. д., причем все эти трехмерные пространства слагаются в пространство-время (рис. 1.15: можно представить себе, что наши универсальные часы отбивают каждый полдень). Вполне допустимо условно воспринимать пространство-время именно таким образом, это позволит соотнести эту четырехмерную картину с повседневным опытом, согласно которому существует трехмерное пространство, явления которого «развиваются во времени». Однако обязательно нужно понимать, что в подобном разбиении пространства-времени нет ничего особенного или «ниспосланного Богом» по сравнению с другими вариантами. Целостное пространство-время — это абсолютный феномен, но мы не можем считать приоритетным какой-либо вариант разбиения пространства-времени и считать, что именно он соответствует универсальному понятию, которое можно было бы охарактеризовать как «время как оно есть». (Все это — элементы принципа общей ковариантности, подробнее описанного в разделе A.5, согласно которому конкретные координаты отсчета, в частности координата времени, не обязаны иметь непосредственный физический смысл.) Напротив, для мировой линии каждой конкретной частицы характерен собственный ход времени, зависящий как от самой мировой линии, так и от метрики g, как это описано выше. Правда, различия между временем одной частицы и временем другой очень невелики, если только относительные скорости этих частиц не становятся достаточно высокими и сравнимыми со скоростью света (или если мы не оказываемся в каком-либо месте, где возникает колоссальное искривление пространства-времени, обусловленное гравитацией), причем такая незначительность есть необходимое условие, благодаря которому мы не замечаем подобной рассогласованности темпа времени на уровне повседневного опыта.
В теории относительности Эйнштейна если у нас есть две мировые линии, соединяющие два конкретных события P и Q (см. рис. 1.14 б), то их «длина» (то есть измеренное истекшее время) может действительно различаться в первом и во втором случае (этот эффект многократно удавалось непосредственно измерить, например, при помощи сверхточных часов на очень быстро летящих самолетах или на самолетах, летящих на сильно различающихся высотах [Will, 1993]. В этом неочевидном факте проявляется так называемый парадокс близнецов из специальной теории относительности, согласно которому космонавт, слетавший с огромной скоростью от Земли к далекой звезде и обратно, может провести в полете значительно меньше времени, чем его брат-близнец проведет на Земле, пока первый брат будет в пути. У двух близнецов разные мировые линии, однако они соединяют одни и те же события, а именно P (когда они вместе и космонавт только готовится к старту) и Q (когда космонавт возвращается на Землю).
На рис. 1.16 ситуация показана в рамках специальной теории относительности (где движения в основном равномерны), и на этом рисунке отмечено третье событие ® — прибытие космонавта к далекой звезде. Аналогично на рис. 1.17 показано, как субъективный ход времени зависит от метрики, и эта картина
также применима в более универсальном контексте общей теории относительности, где для мировой линии массивной частицы «длина» отрезка этой линии определяется метрикой g и дает собственный интервал времени за этот период. На обоих рисунках изображены световые конусы — важное физическое проявление эйнштейновской метрики g, дающие пространственно-временное описание распространения света в пространстве-времени. Мы видим, что для любого события проходящая через него мировая линия частицы или космонавта должна находиться внутри двойного светового конуса, в вершине которого находится это событие. Так иллюстрируется важное ограничение: скорость света нельзя (локально) превысить.
На рис. 1.18 показана физическая интерпретация той части двойного светового конуса, которая расположена в будущем, то есть непосредственная история (гипотетической) вспышки света при событии X. На рис. 1.18, а представлена трехмерная пространственная картина, а на рис. 1.18 б — соответствующая пространственно-временная картина, на которой исключено одно пространственное измерение. Часть двойного конуса, обращенная в прошлое, соответствует гипотетической вспышке света, сходящейся в X. На рис. 1.18 в видно, что при каждом событии X нулевой конус на самом деле является бесконечно малой структурой и локализуется фактически лишь в касательном пространстве при X (см. раздел A.5 и рис.A.10).
Эти конусы ориентированы в направлениях, вдоль которых время исчезает. Это происходит потому, что геометрия пространства-времени в строгом смысле является псевдоримановой, а не римановой (как отмечалось в разделе 1.1). Зачастую псевдориманова геометрия данного конкретного типа именуется термином лоренциан, и в ее пространственно-временной структуре присутствует всего одно временное измерение и (n — 1) пространственных измерений, а в каждой точке пространственно-временного многообразия присутствует такой двойной световой конус. Световые конусы представляют наиболее важную особенность структуры пространства-времени, поскольку демонстрируют границы распространения информации.
Как собственное время, вычисляемое через g, непосредственно соотносится с этими световыми конусами? До сих пор мы рассматривали мировые линии, представлявшие собой истории обычных частиц, обладающих массой, и считалось, что скорость этих частиц ниже световой, поэтому их мировые линии должны находиться внутри световых конусов. Однако также нужно рассмотреть безмассовые частицы вроде фотонов (частиц света), и подобные частицы будут перемещаться со скоростью света. Согласно теории относительности, если бы часы летели со скоростью света, то вообще бы не фиксировали ход времени! Следовательно, длина «мировой линии» (измеряемая по кривой) между двумя событиями P и Q для безмассовой частицы всегда нулевая (рис. 1.19), независимо от того, насколько эти события удалены друг от друга. Такая мировая линия именуется нулевой кривой. Некоторые нулевые кривые являются геодезическими (см. ниже), а мировая линия свободного фотона считается геодезической линией нулевой длины.
Совокупность всех геодезических линий, проходящих через конкретную точку P в пространстве-времени, заполняет световой конус P (рис. 1.20), нулевой конус в точке P описывает лишь бесконечно малую структуру на вершине светового конуса P (см. рис. 1.18). Нулевой конус задает пространственно-временные направления в точке P, определяющие скорость света, то есть эта структура в касательном пространстве в точке P указывает, какие направления имеют нулевую длину согласно метрике g. В литературе термин световой конус часто используется в том смысле, который я здесь вкладываю в термин нулевой конус. Я в дальнейшем буду использовать термин световой конус для обозначения объемного тела, а нулевой конус — для обозначения его поверхности. Световой конус (как и нулевой конус, описанный выше) состоит из двух частей, первая из которых определяет нулевые направления в будущем, а вторая — нулевые направления в прошлом. Теория относительности накладывает на частицы, обладающие массой, ограничение, а именно: их скорость не может превысить локальную скорость света. Это требование выражается явно, как и тот факт, что все касательные направления к мировым линиям частиц, обладающих массой, лежат внутри нулевых конусов соответствующих событий (рис. 1.21). Подобные гладкие кривые, у которых все касательные направления лежат строго в пределах нулевых конусов, называются времениподобными. Следовательно, мировые линии частиц, обладающих массой, всегда являются времениподобными.
Понятие времениподобной кривой дополняется пространственноподобной трехмерной поверхностью — она же пространственноподобная (n–1)-мерная поверхность, или пространственноподобная гиперповерхность, если имеется в виду n-мерное пространство-время. Все касательные направления к такой гиперповерхности лежат вне нулевых конусов (рис. 1.21). В общей теории относительности используется понятие обобщенного момента времени — единого момента времени t, заданного для некоей фиксированной гиперповерхности. Очевидно, что выбор такой гиперповерхности во многом произволен, но эта сущность нам необходима, если мы собираемся рассуждать о проблемах вроде детерминизма динамических явлений; в таких случаях можно потребовать указать на такой гиперповерхности начальные условия, предполагая, что эти условия должны (локально) определять эволюцию системы в прошлом или будущем путем решения соответствующих уравнений (как правило, речь идет о дифференциальных уравнениях, см. раздел A.11).
, которая в искривленном пространстве-времени является аналогом «прямой линии» (рис. 1.22). Любопытно, что такая максимизация «длин» в пространстве-времени противоположна ситуации в обычной евклидовой геометрии, где прямая линия между двумя точками P и Q соответствует кратчайшему из путей между P и Q. Согласно теории Эйнштейна, мировая линия частицы, свободно движущейся под действием гравитации, всегда является геодезической. Однако в истории с путешествием космонавта, показанной на рис. 1.16, речь идет о движении с ускорением, а значит, траектория не геодезическая.
Плоское пространство-время специальной теории относительности, в котором отсутствует гравитационное поле, называется пространством Минковского (которое я предпочитаю обозначать символом M) в честь русско-немецкого математика Германа Минковского, впервые сформулировавшего в 1907 году идею
пространства-времени. Здесь нулевые конусы однородно распределены в пространстве (рис. 1.23). В теории относительности Эйнштейна также принимается эта идея, но считается, что нулевые конусы могут располагаться и неоднородно, что объясняется наличием гравитационного поля (рис. 1.24). Метрика g (десять компонентов на точку) определяет это распределение нулевых конусов, но это распределение зависит не только от метрики. Иногда такое распределение нулевых конусов именуют конформной структурой пространства-времени (девять компонентов на точку); см., в частности, раздел 3.5. Кроме этой лоренцевой конформной структуры, g определяет масштаб (один компонент на точку) и тем самым фиксирует, в каком темпе идеальные часы должны отсчитывать время в теории Эйнштейна (рис. 1.25). Подробнее о взаимосвязи часов и теории относительности рассказано, например, в работах [Rindler, 2001] и [Hartle, 2003].
