Классическая частица всегда движется по некой траектории, есть определенная зависимость координат от времени, эта траектория единственная и в принципе может быть вычислена. В квантовой теории частица размазана в пространстве. Идея Фейнмана в том, что в квантовом мире все равно можно говорить о вполне определенных траекториях, только частица движется не по одной какой-то выделенной траектории, а по бесконечной их совокупности.

1. Фейнмановская формулировка квантовой механики

История возникновения фейнмановской формулировки очень интересна, потому что квантовая физика появилась в современном виде в конце 20-х годов, а фейнмановская формулировка появилась гораздо позже, в 1940-е. Когда она появилась, она имела смысл для интерпретации квантовой теории. В этом качестве она очень хороша и сейчас. В принципе, частица имеет право двигаться по любой возможной траектории с любым возможным изменением координаты от времени — эта траектория в ответ войдет с неким весом. Итоговая формула — это некоторая сумма, математически говоря, некоторая суперпозиция движения по всем возможным траекториям. Эта теория специально сформулирована так, чтобы видна была аналогия между квантовой физикой и классической. С рациональной точки зрения, с точки зрения вычислений фейнмановская формулировка представляется не очень удобной хотя бы потому, что, за исключением некоторых специальных случаев, суммировать по бесконечному количеству траекторий затруднительно. И математический аппарат для этого, опять-таки за исключением специальных случаев, не развит до сих пор.

Рекомендуем по этой теме:
9484
Квантовый метод Монте-Карло

Однако настоящая революция произошла, когда появились компьютеры, появилась возможность численным образом получать решения тех или иных задач. Тогда физики поняли, что возможно организовать эффективное случайное блуждание по всем возможным траекториям, так что среднее вычисляется как среднее по этим случайным блужданиям, которые происходят внутри компьютера. Теперь оказались сняты все ограничения на возможные типы систем, которые можно исследовать. Потенциально любую систему можно смоделировать на компьютере, организовать случайные блуждания и получить ответ.

2. Квантовые симуляции

Если с помощью обычного компьютера можно сымитировать любую квантовую систему, зачем нужен квантовый компьютер, который в чем-то лучше обычного? Сымитировали на обычном компьютере этот самый квантовый, и все получится. Противоречия на самом деле никакого нет: для заметного множества систем, к которым квантовый компьютер тоже относится, такое моделирование, к сожалению, практически невозможно, поскольку требует очень большого, экспоненциально большого времени.

Но это не значит, что случайное блуждание по фейнмановским траекториям не используется физиками — оно нужно для описания равновесных свойств многих сложных систем, состоящих из взаимодействующих друг с другом частиц, которые неподъемны с точки зрения других методов вычисления.

3. Квантовые методы

Последние пару десятков лет в этой области произошел буквально прорыв, получили развитие квантовые методы Монте-Карло. Монте-Карло — это царство случайности, это место, где играют в азартные игры, соответственно, алгоритмы, которые используют те или иные случайные блуждания, принято называть алгоритмами Монте-Карло. Квантовым системам соответствуют квантовые методы Монте-Карло.

Между прочим, работа, описывающая алгоритм Метрополиса, один из первых алгоритмов Монте-Карло для классических систем, — наиболее цитируемая за всю историю науки, в некотором смысле наиболее популярная. Это работа, естественно, очень старая, 1953 года. Потом были первые квантовые алгоритмы Монте-Карло, текущее поколение является третьим, и ситуация такая, что современные компьютеры научились считать свойства сложных квантовых систем уровня одного многоорбитального атома или, например, одной квантовой точки в связи с берегами. По-видимому, с точки зрения физика-расчетчика, с точки зрения человека, которому интересно довести задачу до числа, это одна из важных, крупнейших революций, которые произошли в последнее время в области квантовой физики, поскольку она позволяет работать с действительно сложными, встречающимися в природе системами.

Рекомендуем по этой теме:
12974
Квантовые точки

4. Природа квантовой сложности

При описании многих квантовых систем возникает много сложностей. Они тесно связаны с общей философией квантовой теории, которая состоит в том, что не только все происходит по законам вероятности, но часто и само понятие вероятности при описании сложных квантовых систем изменяет смысл. Оказывается, что сложные квантовые системы можно описывать на языке вероятностей, но сами эти вероятности оказываются отрицательными или даже комплексными, что, конечно, с точки зрения здравого смысла совершенно неприемлемо и представляет собой просто некую формальность. Эти отрицательные или комплексные вероятности можно представить себе на листочке, можно о них говорить, но в реальности они ничему не соответствуют, и при выборе того или иного решения в компьютерном алгоритме их использовать невозможно.

5. Проблема знака

Именно появление таких формально отрицательных вероятностей и является сигналом существенных численных сложностей при расчете той или иной квантовой системы. Они составляют сущность так называемой проблемы знака. Формальным образом их удается обойти, но ценой экспоненциально сложного нарастания объема вычислений, причем в показателе экспоненты стоит размер системы. Хоть сколько-нибудь сложную систему, включающую заметное количество частиц, в общем случае за конечное время рассчитать по этой причине не удается. Ситуация значительно усугубляется, если мы переходим от равновесного к неравновесному описанию. В равновесном случае проблему знака удается обойти почти всегда, за исключением некоторых, впрочем, очень интересных ситуаций. А в неравновесном случае ситуация обратная, проблема знака почти всегда возникает.

Рекомендуем по этой теме:
56510
5 книг о теоретической физике

Физики пытаются решить эту проблему, меняя способ описания, проводя блуждания не по отдельным фейнмановским траекториям, а по совокупности фейнмановских траекторий, чтобы общая вероятность получилась по возможности положительной или хотя бы не очень сильно отрицательной, однако в общем смысле проблема, по-видимому, является нерешаемой.

Если в начале нулевых годов XXI века бытовало мнение, что за решение проблемы знака немедленно выпишут Нобелевскую премию, то теперь с этим мнением сталкиваться не приходится, потому что большинство физиков-расчетчиков считают, что проблема знака попросту нерешаемая. Впрочем, остается открытым очевидно важный для практики вопрос: для какого класса систем квантовые расчеты на обычном компьютере возможны, а для какого невозможны в принципе?