Что такое корреляция? Например, у вас есть какое-то поле, простейшим примером поля является уровень поверхности моря. Грубо говоря, штиль — это основное состояние, нулевое состояние поля. А если его толкнуть, оно начинает колебаться, по нему начинают бежать волны, это поле начинает меняться во времени и пространстве. Корреляцией называется следующее: когда в одном месте происходит волнение, в другом месте можно посмотреть, как на него откликнулось поле, ― в другом месте, в другом положении, в другой момент времени и так далее.
Простейшим примером корреляции является закон Кулона, как это ни странно. Что такое закон Кулона? В какую-то точку помещается заряд, какой-то источник, который покоится в конкретном месте, возмущает поле. Проводятся наблюдения, как это поле зависит от расстояния до заряда или как оно зависит от угла. Если заряд точечный, то ситуация симметричная. То есть в этом случае поле зависит только от того, на каком расстоянии вы находитесь от заряда, но не зависит от того, под каким углом вы на него смотрите. Это и есть закон Кулона: потенциал Кулона убывает как единица на расстояние. Следующая из этого закона сила убывает как единица на квадрат расстояния — это сила Кулона. В гравитации присутствует аналогичный закон, он называется закон Ньютона. Это простейшая корреляция.
Бывает и более сложная корреляция. Например, на ускорителе запускается два потока частиц, летящих друг навстречу другу. Это отличается от возмущения в точке. Запускается волна, идущая сюда, и волна, идущая отсюда. Эти две волны идут навстречу друг другу, сталкиваются, и результат этого можно наблюдать на детекторе, который окружает точку столкновения в ускорителе. Например, мы запускаем в Большом адронном коллайдере два потока протонов с разных сторон, измеряем, какие поля в результате этого столкновения родились. Это корреляция. Мы видим, что в детекторе проходят треки таких-то частиц, квантов таких-то полей. И мы восстанавливаем, из какой точки они вышли, как они родились и так далее. Теоретик это вычисляет, экспериментатор измеряет, а потом они сравнивают друг с другом, у кого что получилось, и смотрят, согласуются ли расчеты теории с экспериментально измеренными величинами.
Свойства корреляций зависят, во-первых, от того, какое поле, а во-вторых, от того, в какой размерности это поле. Например, поле может быть двумерным. В некотором смысле пример двумерного поля — это поверхность моря. А еще есть время ― третье измерение. Пример трехмерного поля, например, звуковые или упругие волны внутри трехмерной кристаллической решетки. Пространственно трехмерное, значит, три плюс один ― четырехмерное. Другой пример трехмерного поля — это поле электронов, квантами которого является то, что мы называем электронами или позитронами.
Как корреляция зависит от размерности? Если бы наш мир был бы не 3+1-мерный, то есть три пространственных плюс одно временное, а, например, был бы 4+1-мерным, то есть четыре пространственных плюс одно временное, то закон Кулона был бы устроен по-другому. Он был бы не единица на расстояние, а единица на квадрат расстояния. Если бы 5+1, то единица на куб расстояния. А если бы он был бы 2+1, то это был бы логарифм расстояния. То есть он бы не убывал, а медленно рос с расстоянием, логарифмически. Что такое логарифмическая функция, можно посмотреть в «Википедии». В принципе, ее проходят в школе. Из этого следуют важные последствия той теории поля, про которую мы говорим.
Мы говорили в основном про так называемое статическое, не меняющееся во времени поле. Закон Кулона описывает статическое поле: есть источник, который находится в покое, не движется, не ускоряется, и такой источник создает поле, называемое полем Кулона. Свойства поля меняются в зависимости от того, в какой размерности мы живем, какую размерность мы считаем и вычисляем. Если этот источник заставить двигаться, то корреляция будет выглядеть немного по-другому. Необязательно заставлять его двигаться с постоянной скоростью ― можно с ускорением. Под воздействием какой-то силы поле может двигаться сложным образом.
Поле, которое движется сложным образом, описывает так называемая корреляционная функция ― функция от двух точек: в одной точке источник, в другой мы наблюдаем. Мы можем менять положение источника, можем менять положение точки наблюдения. Это корреляция. Мы можем заставить двигаться точку источника и с разных точек наблюдать, как он откликается на это движение. Это открывает много важных свойств.
Как уже упоминалось, в двух измерениях корреляционная функция ведет себя странным образом. Если в трех пространственных измерениях она падает с расстоянием как единица на R, в четырех как единица на R в квадрате, то в двух измерениях она растет как логарифм R. Это приводит к некоторым важным последствиям. Например, представьте себе, что вы имеете дело с одномерной струной, которая движется в пространстве, заметая двумерную поверхность (1+1-мерную). Значит, корреляция на поверхности, которую заметает струна, устроена аналогичным образом, она в некотором смысле не падает с расстоянием, как в двумерном пространстве, без времени. А тут у нас одно пространственное, одно временное.
Мы говорили про корреляцию в двумерном пространстве, в котором два пространственных направления. Одно с другим можно связать математически. Важно, что в двух измерениях корреляция не падает, она падает в большем числе измерений. Представьте себе, что у вас есть точечная частица, струна и мембрана. Что произойдет, если ткнуть частицу? Она начнет двигаться целиком. Это логически понятно, очевидно. Что произойдет, если ткнуть мембрану? По ней побегут волны, и если она достаточно большая, то она не начнет двигаться целиком. Тот факт, что ее ткнули, просто уйдет в ее колебания. А что произойдет со струной? По ней побегут волны, но она еще начнет двигаться целиком. Таким образом, теория струн может описывать частицы. В том смысле, что вы можете рассмотреть, что каждая из частиц является струной и что она, в отличие от мембраны, может пропагировать (бегать). Это очень грубое объяснение, но это один из важных фактов, лежащих в основе теории струн, в основе того, почему мы описываем частицы при помощи струн, а не при помощи более высокой размерности объектов.
Теперь перейдем к другому свойству, которое следует из корреляций и, казалось бы, совсем не имеет отношения к предыдущим сюжетам. Многие, наверное, слышали про графен. И многие, наверное, слышали, что графен ― это двумерная кристаллическая решетка. Об этом пишут даже в газетах, в интернете. Свойства графена и свойства его образования связаны с корреляциями. Как образуется кристалл? Кристалл образуется в результате выкристаллизовывания из однородной среды. Свойства однородной среды не меняются при поворотах и сдвигах координатной сетки. А когда образуется кристалл, он, очевидно, не переходит сам в себя при произвольном повороте и при трансляции. Значит, у кристалла меньше симметрий, чем у однородной среды. Образование кристалла приводит к нарушению какой-то симметрии. В результате нарушения этой симметрии законы квантовой теории поля говорят, что должны появляться так называемые голдстоуновские моды, голдстоуновские бозоны, которые представляют собой динамические поля.
Корреляция голдстоуновских бозонов не падает с расстоянием. Это приводит к тому, что вы не можете образовать двумерный кристалл произвольно большого размера. Вы можете образовать трехмерный кристалл произвольно большого размера, потому что там корреляционные функции устроены так, что они падают с расстоянием. А двумерные корреляционные функции обладают тем свойством, что они не падают с расстоянием, вы не можете образовать двумерный кристалл достаточно большого размера.
Это приводит к технологическим последствиям. Например, вы хотите использовать графен для создания, скажем, экрана телевизора достаточно большого размера. Это, конечно, фантазия. В идеале вы хотите создать кристаллическую решетку огромного размера. Для графена поверхность размером с телевизор огромная. Вы не можете этого сделать. Вы можете ее создать из маленьких крупинок, каждая из которых очень маленького размера. Размер определяется свойствами корреляционных функций и свойствами тех частиц, которые в графен входят. Поэтому весь экран будет состоять из маленьких кусочков. Не нужно быть специалистом в области графена или физики твердого тела ― достаточно знать свойства корреляционных функций, чтобы понять и предположить, какие сложности могут возникнуть у инженеров при попытке создания технологических материалов из графена.
