Оптимальный дизайн серий пенальти в футболе

Обычно серия пенальти устроена следующим образом: первый удар пробивают представители команды А, второй удар — представители команды Б, третий удар пробивают снова представители команды А, четвертый — команды Б и так далее. Такая последовательность пробития пенальти называется АБ-АБ-АБ-АБ. Однако есть проблема: оказывается, статистически около 60% всех серий пенальти выигрываются командой А, то есть командой, которая бьет эту серию первой. Разумеется, каждая команда, узнав или эмпирически почувствовав, что есть такое статистическое преимущество, будет хотеть выбирать бить пенальти первой.

Раньше это было устроено так: судья подбрасывает монетку перед пробитием серии пенальти, выигравшая это подбрасывание команда начинает первой. Недавно правила изменили, и теперь команда, которая выигрывает подбрасывание монетки, имеет право выбирать, какой начинать бить серию пенальти — первой или второй. Подавляющее большинство команд выбирают бить серию пенальти первыми. Например, опросы, проведенные среди испанских профессиональных футболистов, показали, что 96% всех футболистов предпочли бы начинать бить серию пенальти именно первыми. Возможно, опрошенные подозревают о статистическом преимуществе.

В чем состоит суть преимущества? Скорее всего, играют роль психологические эффекты. Пенальти чаще забиваются, чем нет: около 75% пенальти обычно успешны. Тогда команда, которая начинает бить серию пенальти первой, скорее всего, забивает, поэтому на вторую команду начинает действовать эффект того, что она находится в догоняющем положении. Бить пенальти в этой ситуации оказывается чуть сложнее.

Как бороться с психологическими эффектами и нужно ли вообще бороться с ними? Ex ante, то есть перед подбрасыванием монетки, шансы обеих команд равны: каждая может выиграть подбрасывание с 50-процентной вероятностью. Однако ex post, после того как подбрасывание монетки произошло, команды определили очередность пробития пенальти, шансы команд уже становятся неравными. И разумеется, организаторы турниров хотели бы эту ex post несправедливость по возможности устранить.

Давайте зададимся вопросом: как можно было бы сделать шансы команд равными, даже после того, как порядок пробития серии пенальти определен? В 2012 году Игнасио Паласиос-Уэрта предложил следующий подход: бить пенальти не в порядке АБ-АБ-АБ-АБ, а в порядке АБ-БА-БА-АБ и так далее.

Предположим, у команды, которая бьет пенальти первой, есть какое-то преимущество. После двух ударов, то есть когда команда А и команда Б пробили по одному пенальти, произошла пара АБ. Что нужно сделать, чтобы компенсировать это преимущество? Нужно в следующей серии из двух пенальти дать возможность команде Б пробить пенальти первой, и, таким образом, после двух серий ударов у нас будет порядок АБ-БА. Разумеется, такой порядок тоже может содержать различие для команды А и команды Б. Возможно, есть какие-то психологические эффекты, связанные с неравноценностью очередности пробития пенальти даже в таком порядке. Чтобы устранить эту несправедливость, давайте попробуем следующую серию пенальти тоже инвертировать. И начиная с третьего раунда команды будут бить так: БА-АБ. Тогда если есть какое-то преимущество у одной из команд в серии АБ-БА, то оно будет устранено в серии БА-АБ.

Подход, предложенный Игнасио Паласиос-Уэртой, казалось бы, решает проблему несправедливости. Однако есть два контраргумента против внедрения такой серии пенальти. Первый состоит в том, что необходимо, чтобы было 2n ударов для реализации этой идеи. Однако в футболе существует 10 ударов, это число не является степенью двойки, поэтому напрямую имплементировать такой подход не получится. Вторая проблема связана с тем, что может иметь место дисконтирование и преимущество, которое команда А получает после пробития первого раунда ударов АБ, не компенсируется преимуществом команды Б после пробития второго раунда ударов БА. Тогда можно имплементировать другие подходы.

Например, в теннисе на тай-брейках традиционно используется следующая система. Первый игрок подает удар, затем две подачи делает второй игрок, потом две подачи делает первый игрок: А-ББ-АА-ББ и так далее. Будет ли такая система более честной для игроков А и Б? Здесь мы опять опираемся на результаты исследований. Дани Коэн-Зада, Алекс Крюмер и Моше Шапир, проанализировав более двух тысяч тай-брейков в теннисе, показали, что игроки А и Б в существующей в теннисе последовательности подач на тай-брейках находятся в равных условиях. Статистически они имеют примерно одинаковые шансы на победу после учета поправок на силу соперников. То есть такая система оказывается более честной. Можно ли ее попробовать перенести на другие виды спорта?

В шахматах на чемпионате мира используется немного другая система. И Магнус Карлсен, и Сергей Карякин в 2016 году начинали белыми и черными в таком порядке: АБ-АБ-АБ-БА-БА-БА. После того как половина партий была сыграна, порядок, в котором игроки играют белыми, менялся на противоположный. Это было сделано, чтобы попытаться исключить потенциальный эффект отставания из-за того, что белые в шахматах имеют статистически чуть лучшие шансы на победу, чем черные.

Когда-то давно в футболе вместо пробития серий пенальти просто подбрасывали монетку. Однако при всей критике, которая существует по отношению к пенальти, о том, что это упражнение имеет мало отношения к самому футболу, подбрасывание монетки выглядит еще более случайным событием, поэтому ФИФА от этого подхода отказалось. Есть более революционные предложения. Например, можно бить серию пенальти в начале матча. Тогда психологическое давление на игроков будет ниже, потому что неизвестно, дойдет ли дело до учета этой серии пенальти. Если одна из команд выиграет в основное время, то необходимости учитывать серию пенальти уже не будет. Кроме того, такое нововведение могло бы повысить интерес болельщиков. Очевидно, что серия пенальти — это зрелище, которое болельщикам интересно. Пока это предложение не имплементировано.

С 2017 года ФИФА в качестве эксперимента использует на юношеских чемпионатах мира среди юношей, среди девушек серию пробития пенальти: АБ-БА-АБ-БА. Это частично напоминает последовательность, предложенную Паласиос-Уэртой, но не происходит инвертирования после четырех ударов. ФИФА таким способом борется только с потенциальным преимуществом, которое есть после серии из двух ударов. Преимущество, которое команда А получает в результате пробития первого пенальти, компенсируется дальше в следующем ударе преимуществом, которое получает команда Б.

Завершая обсуждение этого сюжета, хочу сказать, что эффект преимущества первого удара на разных соревнованиях может различаться. Например, на прошедшем в 2018 году чемпионате мира в России команды, которые наносили удары вторыми, выигрывали чаще, чем команды, которые наносили удары первыми. Конечно, было мало наблюдений. Но тем не менее мастерство при пробитии серий пенальти тоже может играть большую роль.