Теория фазовых переходов

Ландау понял, что существует общее явление, которое лежит в основе всех таких фазовых переходов. Он сформулировал свой подход так: при всяком фазовом переходе второго рода происходит нарушение какой-то симметрии, которая существовала у системы в неупорядоченном состоянии и нарушилась в упорядоченном. Простейший пример: у вас есть жидкость, которая совершенно симметрична в том смысле, что каждая точка жидкости эквивалентна другой. Жидкость может кристаллизоваться, и в кристалле мы можем переместить нашу кристаллическую решетку на одну ячейку. Это по-прежнему симметрия, но если мы будем сдвигать на половину или на какую-то долю кристаллической решетки, то увидим, что есть отличие. И в этом смысле исходная полная симметрия нарушилась.

Другой пример — обыкновенный ферромагнетик, железо. У него есть магнитные моменты, которые при высоких температурах направлены в совершенно произвольных направлениях в разных точках. В этом смысле имеется симметрия: любое направление магнитных моментов равноправно. При более низких температурах, когда возникает намагниченность, она имеет какое-то направление. И если мы повернем кусок железа, то и направление этой намагниченности тоже повернется. То есть состояние, которое возникло, более упорядочено, оно нарушило исходную симметрию, которая была присуща системе.

Оказалось, что идею, которая на первый взгляд выглядит довольно философской, можно сформулировать количественно. Можно ввести величину, которая для каждой системы своя. Например, намагниченность для ферромагнетика, а для куска сверхпроводника это будет совсем другая величина. Но в любом случае есть такая величина, которую Ландау назвал параметром порядка, и при фазовом переходе второго рода, обычно при понижении температуры, появляется какое-то ненулевое значение этого параметра порядка. Почему же оно появилось, ведь мы не имеем никаких сведений о том, куда вектор намагниченности, например, должен быть направлен? Исходно все направления равновероятны, однако выбирается какое-то одно. Почему это происходит? Объяснение: это тоже очень простая и красивая идея.

Дело в том, что можно вести описание термодинамического состояния системы при помощи свободной энергии, но только при этом сказать: давайте мы посчитаем эту энергию при каком-то значении величины, которую мы называем параметром порядка, например при какой-то намагниченности. Давайте посмотрим, как устроена зависимость энергии от этой величины. При этом состояние с нулевой намагниченностью всегда возможно, но иногда оказывается неустойчивым. Как бы это состояние отвечает верхушке горки — локальному максимуму энергии. Если так получается, то вероятно, что система выберет состояние с более низкой энергией. И оно будет отвечать не максимуму этой горки, а одной из возможных долин с энергией ниже, чем этот максимум. Это будет означать, что у нас внезапно возникло некоторое значение вектора намагниченности.

Впоследствии выяснилось, что не все переходы второго рода подчиняются количественно выводам теории Ландау. И впервые это стало ясно через несколько лет, когда в 1944 году появилась теория Ларса Онзагера, который математически строго решил задачу о том, как упорядочиваются двоичные переменные, расположенные на двумерной решетке, — так называемую двумерную модель Изинга.

Оказалось, что зависимость поведения намагниченности в такой решетке, как функция от температуры, не такая, как получалось из теории Ландау. Эти два подхода были абсолютно разными: Онзагер решал задачу, начиная с отдельных стрелочек, математически точно, в то время как Ландау строил общую и макроскопическую теорию, и в этом месте они друг другу противоречили. А каким образом одно с другим совмещать, можно ли их вообще совместить и как все в природе устроено — это было предметом заботы многочисленных теоретиков вплоть до середины 1970-х годов, когда удалось понять, как построить более общую теорию фазовых переходов, имеющую черты и теории Ландау, и теории Онзагера.

Идея о том, какая именно симметрия нарушается при этом фазовом переходе, во всей этой теории центральная. Например, она предсказывает, какие кристаллические решетки могут возникать в результате перехода второго рода, непрерывного перехода, а какие этого сделать не могут, какие возникают исключительно путем жесткого перехода первого рода. Оказывается, что это есть следствие именно симметрии параметра, упорядочение которого такой решетке соответствует.

Первый пример применения идеи фазовых переходов к описанию упорядоченной фазы можно отнести к работе Ландау и Евгения Лифшица, сделанной в 1935 году, еще до создания теории фазовых переходов. Но если посмотреть работы Ландау тех лет, видно, что часть идей, которые уже были полностью сформулированы в его работе 1937 года, уже существовали к тому времени. И эта работа с Лифшицем была посвящена теории магнитной восприимчивости ферромагнетиков: железа, никеля и тому подобных важных веществ. Это тоже была макроскопическая теория, то есть они описывали макросвойства такого магнитного вещества, исходя из того, как оно характеризуется средней плотностью намагниченности, которая может как-то меняться в пространстве и времени. И ключевая идея была в том, как написать уравнения движения для этой величины. Уравнение описывает изменение во времени намагниченности в зависимости от того, как эта намагниченность распределена в пространстве, и называется уравнением Ландау — Лифшица. Оно имеет гигантскую область применимости.

Второй пример совсем другой, но тоже основан на глобальной идее о макроскопическом описании при помощи параметра порядка. Это теория сверхпроводимости, созданная Ландау вместе с Гинзбургом в 1950 году. Ландау и Гинзбург не обсуждали вопрос о том, почему микроскопически возникает явление сверхпроводимости. Но они описали большинство наблюдаемых свойств сверхпроводников путем написания свободной энергии сверхпроводника как функции параметра порядка, который они придумали. Параметр порядка — это просто некоторое комплексное число, зависящее от координат. И было сказано, что это что-то вроде коллективной волновой функции электронов. Впоследствии было понято, что это скорее волновая функция пар электронов.

Хотя они в первой своей работе про пары ничего не писали и даже, может быть, в тот момент и не думали, но все остальное было абсолютно правильно. Они предсказали при помощи этой теории практически все макроскопические свойства сверхпроводников первого рода — это такие сверхпроводники, в которые магнитное поле внутрь вообще проникать не может.

Правда, у этой теории было следствие, на которое они тогда не обратили внимания, о том, что могут существовать и другие сверхпроводники, которые были впоследствии названы сверхпроводниками второго рода. Это развитие теории Гинзбурга и Ландау сделал Алексей Абрикосов несколькими годами позже. Именно он обнаружил, что возможны другие сверхпроводники, в которые магнитное поле может проникать в виде квантованных вихрей, которые стали называть вихрями Абрикосова. За это он и получил Нобелевскую премию. Это прямо следовало из исходных уравнений Гинзбурга и Ландау, просто даже гениальные люди не всегда замечают все, что следует из их теории.

Впоследствии именно эта теория сверхпроводимости Гинзбурга — Ландау оказала колоссальное воздействие на вообще всю физику макромира, и не только. Например, стандартная теория электрослабых взаимодействий создавалась под большим влиянием идеи Гинзбурга и Ландау, развитой для сверхпроводимости, да и теории сильных взаимодействий в значительной степени тоже. То, что сейчас уже лет тридцать люди понимают под теорией кварков и их взаимодействий, в идейном смысле следует этой же конструкции.