Суперсимметрия и суперкоординаты

Я расскажу, что такое суперсимметрия. Суперсимметрия — это пока экспериментально не обнаруженное явление, но на нее возлагались, во-первых, большие надежды в момент, когда она зародилась, а во-вторых, она является важной частью математической физики и математики. Несмотря на то что ее экспериментально не обнаружили на данный момент, никто не сказал, что в дальнейшем не обнаружат, она является важной частью современной науки. Значит, для того, чтобы рассказать, что такое суперсимметрия, мне нужно сказать, что такое суперсимметричные координаты или вообще что такое координаты.

В пространстве можно задать координатную сетку. В простейшем случае, когда пространство двумерное, можно задать координатную сетку в двух измерениях (например, декартовы координаты — две перпендикулярно направленные оси), а в каждой точке этой координатной сетки можно задать поле, и это значение какой-то функции в точке с данными координатами. Примером поля является поверхность моря. В идеальный штиль эта поверхность плоская абсолютно, и можно считать, что поле равно нулю. А когда штиль отсутствует, начинаются волны — где-то поднимается уровень моря, где-то опускается, это уже ненулевое значение поля.

То есть мы можем в каждой точке поверхности задать, чтобы поле отклонилось наверх или вниз и так далее. Значит, у функции есть важное свойство, связанное с тем, что вы можете, зная значение функции в одной точке, найти значение функции в близлежащей точке, используя так называемое разложение в ряд Тейлора. Что это такое, я сейчас попробую объяснить на пальцах.

Грубо говоря, если вы знаете значение функции, значение поля в этой точке, вы можете найти значение поля близлежащей точки следующим образом. В простейшем случае, в простейшем приближении, в лидирующем приближении вы как бы добавляете к значению функции в этой точке ее скорость изменения в этом направлении и умножаете на длину этого отрезка. И вы находите значение функции приблизительно, значение поля в этой точке. А значит, если вы хотите улучшить приближение, можно добавить не линейную функцию, а квадратичную или кубическую и так далее, и это будет разложение по приближениям — это называется ряд Тейлора.

Важно следующее, что в этом разложении используется свойство координат. То есть вы используете то, что у вас есть координаты — координата X и координата Y. Эти координаты обладают следующим свойством: вы можете переставлять два значения X друг с другом, значение X со значением Y, два значения Y можно переставлять.

А теперь представьте, что у вас координаты обладают новым свойством. То есть у вас, грубо говоря, X*Y–Y*X=0. Это значит, что вы их можете переставлять. А представьте себе, что у вас такие координаты θ1 и θ2, что θ1*θ2+θ2*θ1=0. Эти координаты антиперестановочны. Значит, если это свойство верно, то тогда удивительным образом θ1*θ1=0, и это легко проверить, потому что θ1*θ1=-(θ1*θ1), а единственный, кто обладает таким свойством, — это ноль. Такие координаты называются суперсимметричными, или березиновскими.

Представьте себе, что у нас теперь поле зависит от обычных координат и от так называемых некоммутирующих (антикоммутирующих) координат — я объясню, что подразумевается под этими простыми словами.

Теперь разложение поля по обычным координатам будет устроено так, как я объяснил, — в ряд Тейлора, а разложение по новым координатам будет обрываться. Значит, у поля будут возникать партнеры. То есть у вас есть поле, которое зависит только от старых координат, а будут поля, возникающие в разложении по этим координатам θ, которые тоже от старых координат зависят, но обладают несколько иными свойствами.

Сейчас я расскажу, казалось бы, про не связанное с тем, что я до сих пор рассказывал, но потом объясню связь. Представьте, что у вас есть точка. Если вы сделаете поворот координатной сетки, то эта точка никак не преобразуется, она не меняется — в том смысле, что это точка, у нее структуры никакой нет. В качестве альтернативы представьте себе, что у вас есть отрезок. Если есть отрезок, то при повороте координат он поворачивается, у него его проекции на оси координат меняются. Если есть два отрезка, то это еще более сложная структура, она сложнее меняется. Если три отрезка — еще сложнее и так далее.

Это все неслучайные слова. Эти свойства преобразования различных объектов, например полей, относительно координатных преобразований, то есть замен, поворотов координатной сетки, можно классифицировать таким образом. Есть поля, которые не преобразуются при координатных преобразованиях. Есть такие поля, которые преобразуются так, как отрезок. Примером такого поля является поле фотонов. Примером поля, которое не преобразуется вообще при координатных преобразованиях, является поле Хиггса. Примером поля, которое преобразуется как два отрезка, является поле гравитона. В принципе можно построить и другие поля, которые преобразуются более сложным образом. Это называется тензор. Простейшим случаем тензора является вектор.

Оказывается, что если вы начнете разлагать по березиновским координатам — θ1, θ2 и так далее — вашу функцию, то в этом разложении наряду с полями, которые никак не преобразуются при координатных преобразованиях, будут возникать поля, которые преобразуются при координатных преобразованиях как отрезки. Могут образовываться и преобразовываться как два отрезка, одновременно присутствующих, — такая из двух линеек составленная вещь, — как три и так далее. Оказывается, наряду с этим могут появляться еще и новые поля, которые обладают еще и новым свойством.

Представьте себе, что вы делаете полный поворот координатной сетки. При полном повороте координатной сетки вектор у вас возвращается в собственное положение, то есть как он выглядел при начальном положении координатной сетки, при полном повороте вокруг своей оси он вернется в то же самое положение. А представьте себе, что у вас есть такое поле, которое при полном повороте координатной сетки изменяет знак. Я не знаю какого-нибудь простейшего, доступного примера, который можно на этом месте привести. Но таким свойством обладает, например, поле электронов, и это свойство называется фермионами. Поля фермионов обладают таким свойством. Простейшим таким объектом является поле электронов.

В разложении по некоммутирующим березиновским координатам могут присутствовать поля, которые не преобразуются при координатных преобразованиях. Могут присутствовать поля, которые преобразуются таким странным образом, как только что я объяснил, и менее странным — как отрезки или несколько отрезков.

К чему все это приводит? Значит, если у вас нет никаких некоммутирующих березиновских координат, а есть только обычные координаты, то у вас в принципе есть симметрии. Естественно ожидать, что любая фундаментальная теория поля должна быть инвариантна, то есть не менять свои свойства от того, как вы нарисовали координатную сетку. Представьте себе, что у вас есть плоскость, на ней что-то происходит, например бегут какие-то волны. Свойства этих волн не должны зависеть от того, как вы нарисовали координатную сетку на этой плоскости. И это называется симметрией относительно замены координат — обычная симметрия.

А теперь у вас появились новые координаты, некоммутирующие. Это приводит к тому, что число симметрий возрастает. Симметрия становится более серьезной, и получается суперсимметрия. Она шире относительно смены координатной сетки в обычном пространстве. Тут уже замена координатной сетки в этом суперпространстве. Удивительным образом при преобразованиях координат в суперпространстве у вас начинают перемешиваться между собой поля, которые никак не преобразуются при координатных преобразованиях. Это скалярные поля, которые преобразуются странным образом — умножением на знак минус при полном повороте, — и те, которые преобразуются как отрезки. Это называется суперсимметрия, она определяет свойства той теории поля, в которой эта симметрия присутствует.

Давайте отступим в сторону и посмотрим, для чего вообще нужны симметрии. Простейшие свойства симметрии видны на многоугольниках. Представьте себе, у вас есть правильный многоугольник. Если вы знаете, что это правильный многоугольник, то эта фигура обладает определенными свойствами. Например, шестиугольник переходит сам в себя при повороте на одну шестую полного поворота, семиугольник переходит сам в себя при повороте на одну седьмую полного круга.

Дан отрезок, и вам известно, что это кусок какой-то фигуры, обладающей, например, свойством, что она переходит в себя при повороте на одну шестую полного круга, и вы сразу угадываете, что это шестиугольник. Вы ее мгновенно можете восстановить. А если у вас симметрия больше, например, если фигура переходит в себя при повороте на одну сотую полного круга, это в некотором смысле большая симметрия. В идеале окружность переходит в себя на любой сколь угодно малый угол. Это высокосимметричная фигура при поворотах, самая симметричная фигура, симметричнее, чем любой многоугольник.

Чем больше у вас симметрии, тем по меньшему количеству информации вы можете восстановить свойства фигуры. Нетрудно догадаться, что таким же свойством обладает и теория. Если вы знаете, что у вас есть какие-то поля, присутствующие в этой теории, например фотоны, электроны и тому подобное, но если вы знаете, что эта теория обладает какими-то симметриями, то чем больше симметрия, тем большее количество свойств этой теории вы можете восстановить, просто пользуясь свойствами симметрии. Чем больше симметрии, тем проще восстановить все свойства, а чем меньше симметрии, тем тяжелее.

Суперсимметрия — это очень высокая степень симметрии. Она так называется не случайно и позволяет восстановить свойства теории по очень малому количеству данных. Чтобы сформулировать эту теорию, мне потребовался более сложный математический аппарат. Но после того, как я, изучив эту сложную математику, сформулировал более, казалось бы, сложную теорию, из-за высокой степени симметричности я могу установить больше ее свойств. Сложнее формулируется, проще выглядит, более простыми свойствами обладает.

Важным проявлением свойств суперсимметрии является то, что вы очень много свойств можете восстановить. Если рассмотреть квантовую электродинамику, то это теория с не очень большим, по сравнению с суперсимметрией, количеством симметрий. И поэтому ее свойства в меньшей степени известны. А если ее суперсимметризовать, то большее количество свойств можно установить, — например, амплитуды рассеяния или сечение рассеяния: побежала частица, рассеялось что-то, родилось и так далее. Я могу посчитать эти величины. И в суперсимметричных теориях большее количество таких величин я могу посчитать из первых принципов, а иногда точно восстановить, просто пользуясь свойствами симметрии.