Группы и алгебры Ли симметрий

Понятие симметрии встречается в самых разных областях математики, физики, химии. Идея заключается в том, что при изучении того или иного объекта вы интересуетесь не только им самим, не только его отдельными элементами, его точками, его подмножествами, но и тем, как он преобразуется при каких-то движениях, вращениях, отражениях. Это значит, что вы смотрите, куда эти точки переходят, что с ними происходит и можно ли как-то описать те преобразования, относительно которых данный объект неподвижен. Собственно, давайте я приведу несколько примеров, чтобы было понятно, о чем идет речь. Я буду говорить в основном про математику, немного про физику. Скажем, если у вас есть прямая (множество действительных чисел), то у нее есть точка 0. Вы можете взять число и поставить к нему знак минус. Оно, соответственно, отразится от нуля, и у вас возникнет симметрия этой вещественной прямой, которая просто схлопывает точку X и точку −X.

С одной стороны, ничего серьезного не сказано. Однако, например, понятие четных или нечетных функций основано именно на этом свойстве вещественной прямой. Например, функция называется четной, если значения ее в точке Х и −Х одинаковы ― другими словами, если при этой симметрии функция не чувствует никакой разницы между точками, лежащими в одной орбите. Другой пример ― это окружность. С одной стороны, мы привыкли в школе, что окружность ― это множество точек, равноудаленных от центра. Однако, если вы, например, держите в руках штурвал или руль, важно, что, когда вы вращаете, руль остается рулем, он не превращается во что-нибудь другое. И ответственность за это несет группа симметрий, а именно группа поворотов.

Если вы повернете окружность на какой-нибудь угол, окружность останется окружностью, с ней ничего не произойдет. Наконец, еще один всем известный пример ― это просто множество целых чисел. Понятно, что если вы возьмете целые числа и к каждому целому числу прибавите единичку, то целое число останется целым, и из любого целого вычитанием единички опять же получите некое целое. Таким образом, этот сдвиг на целых числах тоже не несет сам по себе большой информации, но показывает, что у вас есть симметрии целочисленной решетки, и это несет в себе массу приложений.

Что это все означает? Идея заключается в том, что если вы хотите узнать свойства, узнать какие-нибудь тайные или скрытые понятия в математике или в какой-нибудь науке, то вам очень важно узнать, что происходит с данным объектом, которым вы интересуетесь, при его изменениях или преобразованиях. На самом деле это понятно любому человеку. Например, если вы рассматриваете какой-нибудь предмет, то вы попробуйте посмотреть на него с разных углов ― сверху, снизу ― или повращать его в руках, перевернуть, отразить. И смотрите, что с ним происходит: остается ли он самим собой или происходит что-то другое?

Таким образом, слоган всего этого ― «Чтобы узнать объект, нужно узнать его симметрии». Во многих примерах, которые я приводил, симметрии были дискретными, иногда даже конечными, например при отражении вещественной прямой. Давайте я приведу еще один пример такой дискретной группы. Это группа перестановок или взаимно-однозначных отображений из конечного множества в себя. К примеру, опять же очень стандартно, если у вас есть пять человек и вы интересуетесь цветом их волос, то вам неважно, кто из них первый, второй, четвертый или пятый. Если вы их переставите, у них по-прежнему у всех будут волосы, допустим, одного цвета. Но тем не менее вас интересуют не люди по порядку, а набор людей или набор цвета их волос.

Однако в конце XIX века оказалось, что есть масса объектов из алгебраической геометрии, топологии, дифференциальной геометрии и в ряде других областей математики и матфизики, в которых таких симметрий недостаточно. Это значит, что для их описания, их изучения нужны симметрии, которые обладают сами структурой того или иного свойства, например топологии, сами являются многообразиями, сами обладают касательными пространствами, какие-то свойства, которые мы ожидаем от изучаемых объектов.

Стоит упомянуть, что если у вас есть две симметрии, то есть два преобразования, которые сохраняют тот или иной объект, то вы можете их выполнить по очереди. Понятно, что если после каждого из них объект никуда не ушел, не изменился, то и при их композиции он тоже не изменится. Таким образом, симметрия образует то, что называется группой. Это некий алгебраический объект, на котором есть операция умножения или композиции, и он замкнут относительно этой операции. Так вот, если возвращаться к группам Ли (а это название групп, которые содержат дополнительную структуру, а именно являются многообразиями), то их придумал Софус Ли. Это норвежский математик, живший в XIX веке. И его идея была именно в том, что есть огромное количество примеров в геометрии, топологии, дифференциальных уравнениях, математической физике, комбинаторике и так далее, в которых естественно возникающие симметрии несут на себе дополнительную структуру.

Идея, с одной стороны, кажется довольно прямой, довольно напрашивающейся. Однако она оказалась очень мощной и повлекла за собой массу разнообразных последствий. Давайте я приведу несколько примеров, которые показывают, насколько разнообразные приложения и насколько существенным оказался вклад этой идеи в дальнейшее развитие.

Если взять квантовую механику и электрон, где квантовая механика заключается в том, что вы рассматриваете операторов, действующих в пространстве состояний той или иной системы. Скажем, если вы хотите описать электрон, то это некие специальные операторы, специальные пространства. Но, что важно, вы можете описать физические явления с помощью симметрий, с помощью действий в фиксированном пространстве. При этом операторы, которые описывают импульсы, образуют нечто, что называется алгеброй Ли. Это очень связанные с группами Ли объекты. Я об этом расскажу чуть позже.

Чтобы привести еще один пример, давайте рассмотрим комплексную проективную прямую, она же двумерная сфера. Это геометрический объект, который уже более сложный, чем просто окружность, но его важность трудно недооценить, поскольку это первый пример комплексных пространств, играющих основополагающую роль в проективной геометрии. С одной стороны, объект несложный. С другой стороны, у него есть масса свойств: векторные поля, расслоения, клеточные разбиения, которые, как оказывается, описываются в терминах группы. Группы, которые здесь участвуют, ― это группы невырожденных матриц 2×2. Если быть еще более точным, то достаточно брать матрицы со следом 1. У этой группы есть разные алгебраические структуры, разные алгебраические свойства, изучение которых позволяет делать массу выводов о структуре многообразия комплексной прямой. И наоборот, структура многообразия позволяет, в свою очередь, описывать свойства этой группы.

Дополнительный бонус, о котором я уже упомянул, ― это наличие алгебры Ли. Когда мы изучаем многообразие в топологии, в дифференциальной геометрии, то первым делом мы интересуемся его касательным пространством. Естественно, если это гладкое многообразие, если оно особое, то ситуация более сложная. Почему? Потому что многообразие ― это существенно сложная вещь. У нее нетривиальная геометрия, и описать ее так просто, как мы привыкли, затруднительно.

Однако касательное пространство ― это в некотором смысле линейное приближение этого многообразия. Это означает, что вы можете взять окрестность многообразия. Это нечто, что, конечно, не дает вам всей информации. Но тем не менее, если вы знаете про все окрестности, вы знаете почти все. Вы можете взять касательное пространство и отождествить окрестность многообразия с окрестностью в этом касательном пространстве. Касательное пространство ― это векторное пространство. Это одно из базовых понятий как в геометрии, так и в алгебре ― более-менее везде. И вы можете какие-то структуры на этом касательном пространстве изучать, сравнивать и потом с их помощью получать какие-то данные о самом многообразии.

В частности, если ваше многообразие обладало структурой группы, то есть это та самая группа Ли, о которой шла речь, то на касательном пространстве возникает тот самый бонус, а именно структура алгебры Ли. Это значит, что у вас есть не просто векторное пространство, но и структура, которая называется скобка Ли, он же коммутатор, который наделяет это векторное пространство дополнительными алгебраическими свойствами. Что в этом хорошего? Как я уже говорил, структура многообразия, тем более многообразия с наличием умножения, сложная. И не всегда его действие на тех или иных пространствах может быть легко описано, изучено, использовано. Однако, если вы используете процедуру линеаризации, а именно структуру алгебры Ли, это позволяет вам в гораздо большей степени использовать алгебраические свойства, алгебраические конструкции для изучения абсолютно нетривиальных вопросов.

Давайте я приведу еще один пример, на этот раз из дифференциальной геометрии. Предположим, что вы решаете дифференциальное уравнение или систему дифференциальных уравнений. Если вам очень повезло, вы ее решите, то есть найдете все решения. Однако в подавляющем большинстве случаев вам это не удастся. С другой стороны, может так случиться, что по каким-то причинам вы знаете, что у этих уравнений есть симметрии. Это означает, что на пространстве решений есть набор операторов или набор групповых элементов, которые из одного решения позволяют вам порождать другие. Таким образом, если вы каким-то образом сможете построить одно решение, то вы сможете построить и большое семейство решений. Если вам повезет ― все. Не повезет ― хотя бы большую их часть. Или решения, удовлетворяющие каким-то свойствам. И это в большом количестве случаев дает огромное количество новых результатов, которые не могли быть получены другим путем.

Еще один пример такого же свойства ― это комбинаторные задачи. Казалось бы, если вы хотите что-нибудь посчитать, то ситуация дискретная ― вы там перечисляете какие-то объекты. Но опять же, если приводить какой-то глупый пример. Допустим, вы хотите проверить, что 99 делится на 3, и вы, конечно, можете поделить, тут проблемы нет. С другой стороны, возможно, по каким-то причинам вы знаете, что имеется 99-мерное векторное пространство, которое разбито с помощью какого-то оператора на три части. Более того, по какой-то причине вы знаете, что эти три части имеют одинаковые размерности, и тогда вы с легкостью заключаете, что число 99 делится на 3. Опять же, повторюсь, в этой ситуации это можно было сделать и без этого, но тем не менее.

Однако есть и масса примеров, когда комбинаторные задачи оказываются чрезвычайно сложными и не поддаются решению таким простым способом. Скажем, в качестве примера можно привести многочлены Шура ― это симметрические многочлены, которые известны очень давно, важны и применяются в разных задачах. В этой ситуации теория групп и алгебр Ли позволяет получать массу сведений, массу результатов об их структуре. Если быть более точным, то эти многочлены могут быть реализованы как характеры некоторых пространств (слово «характер» означает, что у нас имеется большое пространство, которое разбито на несколько частей, и каждая часть и размерность отвечают за коэффициент при каком-то мономе в этом многочлене).

Таким образом, идея симметрий, идея привлечения групп и алгебр Ли для решения тех или иных совершенно несвязанных априори задач с теорией Ли оказывается очень плодотворной и позволяет получать новые результаты и разрабатывать новые идеи.