Вместе со Сколковским институтом науки и технологий мы сняли курс «Современная математическая физика», посвященный актуальным физическим теориям и их объяснению при помощи математических методов. В этой лекции преподаватель магистерской программы «Математическая физика» Сколтеха Александра Скрипченко рассказывает о биллиарде как динамической системе.

Если мы посмотрим в «Википедии», что такое динамические системы, то найдем там очень расплывчатое определение. Речь идет о том, что у нас есть некоторый объект, который живет в каком-нибудь понятном геометрическом пространстве (можете себе представлять, например, обычное наше пространство ― трехмерное евклидово). И про этот объект мы знаем, что с ним происходит с течением времени. То есть мы знаем закон изменения, движения каждой его точки. На самом деле с таким определением очень неудобно работать: оно на редкость ненаглядное и при этом не дает нам представления о том, что динамические системы ― это очень естественная вещь. Например, когда вы открываете воду из крана, смотрите, как она льется, это как раз классическая динамическая система. У вас вода состоит из какого-то огромного количества точек, и вы про каждую точку хотите знать, где она будет в момент времени t1, в момент времени t2 и так далее.

Итак, с таким определением работать очень трудно. C другой стороны, вопросы, над которыми люди, занимающиеся динамикой, крайне естественны. Что нас интересует? Очень часто нам не хочется знать именно закон движения каждой конкретной точки. Нам бы хотелось в принципе представлять, что может быть, какая у точки может быть траектория. Вернется ли она, скорее всего, ровно в ту же точку, с которой мы начинали? Разойдутся ли две соседние точки очень далеко с течением времени или так и будут путешествовать вместе?

Вопросы такого типа удобнее рассматривать на примере конкретных классов динамических систем. И у каждого математика есть своя любимая динамическая система или целый класс. И мне, например, очень нравятся биллиарды. Что такое математический биллиард? Как любой нормальный бильярд, он состоит из стола. То есть у нас есть какая-то область ― обычно в R3, и эта область ограничена какой-нибудь кривой. И у нас есть шар ― это такая точечная масса, которая движется по нашему столу. Каждый раз, когда этот шар ударяется о границу стола, наш удар является абсолютно упругим и подчиняется закону геометрической оптики, то есть угол падения равен углу отражения. Когда я говорю «угол падения», если у нас, вообще говоря, граница стола не прямоугольная или не задана какой-то ломаной, а речь идет о кривой, я, естественно, имею в виду угол между касательной к этой кривой и, соответственно, направлением нашей траектории.

Рекомендуем по этой теме:
15627
Топология как геометрия XX века

Почему биллиард ― это моя любимая динамическая система? Во-первых, потому, что это очень наглядно. Каждый видел хотя бы один раз какой-нибудь бильярдный стол, почти все пробовали играть в пул. Во-вторых, биллиарды в принципе позволяют смоделировать практически любую динамическую систему из тех, с которыми люди работают (чуть позже я это проиллюстрирую). Почти все вопросы, над которыми думают ученые, занимающиеся динамическими системами, можно сформулировать на языке биллиардов: если мы правильно выберем границу нашего стола, можно построить биллиард с заданными свойствами и дальше играть на этом биллиарде, а не где-то в вакууме с совершенно непонятной системой. И третья причина сугубо индивидуальная: биллиарды очень активно изучаются в современной математике. В книге Сергея Табачникова, которая вышла в 2005 году, говорится, что на MathSciNet за последние, кажется, 5 лет на тот момент более тысячи публикаций содержат в себе слово «биллиард». Но если вы включите туда и физические работы, то их будет даже больше. И опять же, конечно, практическая польза налицо: научимся хорошо играть в биллиард и будем выступать на соревнованиях.

Но в чем принципиальное отличие подхода математиков от людей, которые вживую играют в бильярд? Во-первых, нам достаточно одного шара, а во-вторых, мы постоянно варьируем форму стола. Какая возможна динамика? Самое простое, что может быть, ― это посмотреть на стол, который ограничен какой-нибудь ломаной. Собственно, стандартный бильярд ограничен, как вы понимаете, прямоугольником, но можно поступить даже проще и начать играть в треугольнике. Люди делали это очень давно. И самая известная теорема, которая касается наличия периодической траектории, то есть такой траектории, которая стартовала где-то на границе и в нее же вернулась спустя несколько отражений, ― это теорема Фаньяно, которой уже несколько веков. И она утверждает, что если у нас биллиард был остроугольный, то есть треугольник, в котором мы играем, имел только острые углы, то такая траектория обязательно есть. И ее доказательство очень простое и конструктивное: просто опустите три высоты в треугольнике и соедините основания этих высот ломаной. Окажется, что это такая траектория, которая имеет три звена. И она обязательно будет периодической.

Казалось бы, после такого успеха людям было бы очень легко доказать что-то подобное и для оставшихся видов треугольников. Но не тут-то было. Для тупоугольного треугольника это открытый вопрос. А для треугольника с прямым углом есть утверждение о наличии периодической траектории, но доказательства там гораздо менее конструктивные, уже используют более серьезную машинерию динамических систем. Единственный вид треугольников и вообще многоугольников, с которыми люди научились обращаться в этом контексте, в частности доказывать теорему о наличии периодической траектории, исследовать вопрос, много ли периодических траекторий среди всех, ― это так называемые биллиарды в рациональных многоугольниках. Под рациональными мы понимаем такие многоугольники, у которых углы имеют вид «рациональное число умножить на пи». В частности, квадрат или прямоугольник нам вполне подойдет. И для таких утверждается, что есть обязательная периодическая траектория. Но большая часть траекторий всюду плотны ― в том смысле, что если мы начали с какой-то точки, то в окрестности любой другой точки найдется точка нашей траектории.

Рекомендуем по этой теме:
5052
Проблема Римана — Гильберта

Скажу пару слов о доказательствах, чтобы не было ощущения, что это какая-то совершенно недостижимая сфера. Идея очень простая. Почему для нас важна рациональность? Представьте, что мы стартовали с какой-то точки и начинаем отражать. Давайте вместо того, чтобы отражать, чтобы это было более наглядно, мы будем использовать идею развертки: мы будем отражать весь стол, а не только саму траекторию. А траектория будет продолжаться прямолинейно. И мы будем измерять, под каким углом наша траектория пересеклась с нашей границей.

Если наш изначальный треугольник имел рациональные углы, то таких углов у нас только конечное число. Можно аккуратно посчитать, сколько их. Это будет регулироваться наименьшим общим кратным знаменателем наших углов ― вот этих рациональных чисел, которые при умножении на пи давали нам наши рациональные углы. И возникнет так называемая группа диэдра. Но суть в том, что это просто конечно. Это поддается нашему контролю. И это значит, что, когда мы сделаем некоторое количество шагов, мы рано или поздно наткнемся на тот угол, который у нас уже был.

В частности, можно показать, что если мы стартуем с какой-то стороны и отражаем несколько раз (скажем, мы стартовали под прямым углом к этой стороне), то рано или поздно мы вернемся снова на ту же самую сторону с той же стороны под прямым углом. А так как мы договорились, что мы умеем делать развертку, то это значит, что если мы пройдем теперь всю эту траекторию в обратном направлении (а именно это нам предписывает делать развертка), то мы просто получим периодическую траекторию.

В этот момент ― хотя, на первый взгляд, рассуждение выглядит уж совсем элементарным ― я вас немного обманываю, потому что использую очень сильную теорему из теории динамических систем ― теорему Пуанкаре о возвращении, которая как раз и утверждает, что мы в эту сторону непременно должны будем вернуться. Вы могли убедиться, что доказательство, с одной стороны, очень простое, а с другой стороны, по сравнению с теоремой Фаньяно оно уже использует гораздо больше наукообразной техники.

Чем замечательны биллиарды в многоугольниках, даже если мы забудем про рациональность? Давайте посмотрим на две соседние точки, которые, например, расположены на стороне близко друг от друга, и мы выпускаем из них параллельные траектории. Если наши точки, когда они двигались, не встретили на своем пути вершину нашего многоугольника, то они так и будут продолжать соседствовать. Если же где-то вершина попала между ними, то их дороги разойдутся, так как они ударятся о две разные стороны, и в дальнейшем траектории могут вести себя по-разному.

Оказывается, что это такое промежуточное поведение биллиарда. В частности, если мы сравним это, скажем, с биллиардом в окружности или эллипсе, то наша ситуация радикально отличается, потому что в эллипсе нам вообще неважно, с какой точки стартовать. Или в окружности (это немного проще себе представить). Как только мы задали угол, под которым мы стартуем, нам совершенно все равно. Мы могли бы стол перекрутить и получить ту же самую траекторию. Там все точки абсолютно равнозначны. Поэтому вы можете просто писать уравнения для одной траектории. Такая ситуация называется интегрируемой — биллиарды в кониках вообще интегрируемы. В этом смысле биллиарды в многоугольниках отличаются другими свойствами. Но возникает вопрос: а можно ли с помощью биллиардов смоделировать полностью хаотическое поведение, то есть такую ситуацию, когда мы стартовали с двух очень близких точек, но могли получить вообще принципиально разное поведение и очень сильно зависим при определении поведения нашей траектории от начальных условий.

Оказывается, что и такие биллиарды есть, хотя граница, которую мы должны выбрать для нашего стола, выглядит уже гораздо хитрее. Их впервые нашел Яков Григорьевич Синай. Но самый известный биллиард принадлежит его ученику Бунимовичу, который заметил, что очень интересно играть в биллиард не на какой-нибудь окружности или столе, а прямо на стадионе. Давайте возьмем две полуокружности и соединим их прямолинейными отрезками, которые являются общими касательными к этим двум полуокружностям. У нас получается форма, сильно напоминающая форму стадиона. И такой биллиард будет вообще полностью хаотическим. Таким образом, мы видим, что любые вопросы теории динамических систем, будь то вопросы существования траектории, идущей из точки А в точку Б, вопрос о наличии периодических траекторий, вопросы о типичном поведении траекторий, на примере биллиардов иллюстрируются легко и ярко. И при этом в этой деятельности есть много открытых задач.

В теории биллиардов, несмотря на то что эта наука довольно старая, есть очень много открытых вопросов. Возвращаясь к тому, с чего мы начали, к самой простой модели биллиарда в треугольнике. Люди умеют доказывать теорему о наличии периодической траектории для тупоугольного треугольника, только если угол не превышает 100 градусов. Это результат Ричарда Шварца, который был достигнут с помощью компьютерной программы Пата Хупера «Macbilliards» — это где-то начало 2000-х годов. В частности, если вам интересно попробовать свои силы в этой деятельности, просто возьмите нерациональный угол больше 100 градусов, и математическое сообщество будет очень заинтересовано услышать о ваших результатах.