Вместе со Сколковским институтом науки и технологий мы сняли курс «Современная математическая физика», посвященный актуальным физическим теориям и их объяснению при помощи математических методов. В этой лекции преподаватель магистерской программы «Математическая физика» Сколтеха Михаил Берштейн рассказывает о фазовых переходах и модели Изинга.

Я расскажу о двумерной конформной теории поля и ее связях с другими областями. Поскольку у нас нет формул и картинок, я буду концентрироваться на ключевых словах и взаимоотношениях между этими ключевыми понятиями. Этих связей довольно много, я постараюсь упомянуть значительную их часть. Но хорошая новость в том, что они в некотором смысле относятся к разным направлениям, и поэтому, если какая-то нить осталась непонятной, это не беда. Это не помешает понять следующую связь.

Двумерная конформная теория поля возникла в 1970-е годы. Стоит начать с двух физических причин, физических теорий, из которых она произошла. Первая из них ― это фазовые переходы в двумерных статистических моделях. Здесь архетипический пример ― это так называемая модель Изинга. Представим, что у нас есть двумерная решетка, то есть просто точки с целыми координатами. И в каждой точке у нас есть спин, вверх или вниз ― можно ставить +1 и -1, и такая расстановка называется конфигурацией. Энергия конфигурации ― это сумма произведений по всем парам соседей этих +1 и -1. Можно умножить еще на какую-то константу связи. Статсумма ― это сумма по всем возможным конфигурациям, то есть по всем возможным расстановкам +1 и -1, экспонента минус β умножить на энергию этой конфигурации; β ― это параметр, который имеет следующий смысл: 1 разделить на температуру системы. Это константа связи, параметр системы. Необязательно брать двухмерную решетку, можно и трехмерную, чтобы это было больше похоже на наш мир. Но и двухмерная тоже неплоха, бывают такие пленчатые поверхности,

Оказывается, что в этой двумерной модели Изинга есть фазовый переход. Иными словами, есть такое специальное значение β или температуры, при котором поведение системы меняется. До этого мы находимся в одной фазе, в которой всем этим спинам выгодно быть в одном и том же направлении ― всем вверх или всем вниз. А после этого они как бы уже случайно распределены ― вверх и вниз. То есть если вы возьмете большую область, там будет поровну спинов, направленных вверх и вниз. И смена фазы ― переход от антиферромагнитной фазы ― происходит при некоторой зафиксированной температуре ― критической температуре. Это такое замечательное явление, фазовый переход, которое нужно изучать аналитически: точно найти температуру и так далее. Можно еще сказать, что основные физические величины системы, как функция от этого параметра T в точке T = Ткр, перестают быть гладкими функциями, они становятся недифференцируемыми. Это математическое выражение фазового перехода.

Рекомендуем по этой теме:
10681
Калибровочные поля и теория струн

Оказывается, что критическая точка этой статистической системы является конформно инвариантной. В физике это гипотеза, принадлежащая Полякову, а в математике — теорема Станислава Смирнова. Конформные преобразования ― это такие преобразования (в данном случае двумерные), которые сохраняют углы между прямыми в точках пересечения. Все мы знаем обычные преобразования: растяжения, сдвиги, повороты, вращения. А здесь мы имеем больший класс преобразований. К ним добавляется, например, инверсия, которая неформально определяется как симметрия относительно окружности. Кроме того, в двумерии есть гораздо больше конформных преобразований ― имеются в виду локальные, а не глобальные преобразования. И это эффект именно двумерии, что получается бесконечномерная группа конформных преобразований.

Об этом удобно думать, если сказать, что наша двумерная вещественная картинка ― это одномерная комплексная картинка. Тогда можно говорить, что у нас есть комплексная координата z и сопряженная z|. И это бесконечная группа. Это просто голоморфные преобразования этой комплексной структуры. То есть функция, выражающаяся чисто от z и не зависящая от z|. Эта группа может делать очень много. Например, любую связную область на плоскости без дырок (из одного куска) она может превратить в круг. Благодаря наличию этой бесконечномерной группы (правильно говорить ― алгебры) удается очень много в этой теории найти ― в частности, в этой теории, связанной с моделью Изинга.

Я сразу сказал, что есть несколько физических источников для конформной теории поля. Я уже сказал про статистические модели. Другой источник, который я кратко упомянул, ― это теория струн. Обычно в физике мы рассматриваем какие-то частицы, которые двигаются в нашем пространстве или в пространстве-времени. В зависимости от времени точка приобретает какую-то кривую. Струны ― это когда фундаментальный объект в нашем пространстве-времени не частица, а одномерные объекты, то есть отображение чего-то одномерного. Бывают замкнутые струны, когда это отображение окружности, бывают открытые струны, когда это отображение отрезка, и это сейчас нам неважно. Это отображение чего-то одномерного. И когда у нас происходит эволюция по времени, то это одномерное уже «заметает» что-то двумерное. То есть можно говорить, что у нас получается отображение какого-то двумерного пространства ― сферы, тора или какого-то другого двумерного многообразия ― в наше пространство-время.

Рекомендуем по этой теме:
21998
Теория струн

Или можно переиначить: можно встать на точку зрения этого двумерного многообразия и сказать, что у нас на нем возникают какие-то поля со значением нашего пространства-времени. В квантовой теории дальше берется функциональный интеграл по всем возможным таким отображениям и по всем возможным таким поверхностям с метриками. Если убрать так называемые конформные калибровки, возникает конформная теория ― теория Лиувилля.

Обычно, когда говорят про физику, то пишут какой-то лагранжиан или гамильтониан. В конформной теории в некоторых случаях так можно сделать, но часто ― нет. И обычно, когда про нее говорят, говорят, что мы работаем в негамильтоновом подходе, идущем опять же от Полякова, Вильсона, Каданова. В этом негамильтоновом подходе фундаментальным объектом являются поля нашей теории, и на них дополнительная структура ― структура слияния. Когда два поля сливаются, подходят в одну точку, то они как бы перерождаются в какую-то комбинацию других полей, и это — структура слияния (как еще можно говорить, структура операторного разложения). И все это пространство полей является представлением некоторой бесконечномерной алгебры ― алгебры, о которой я говорил, алгебры, которая происходит из группы конформных преобразований, алгебры Вирасоро.

Основное средство ― это теория представлений этой алгебры. Если говорить аккуратнее, то возникающая алгебра, происходящая из голоморфных преобразований в окрестности точки, ― это алгебра голоморфных векторных полей в окрестности точки, когда мы рассматриваем поля в окрестности точки. Если еще аккуратнее, то это голоморфные векторные поля на проколотой окрестности точки. То есть координатные можно описать в виде zn*d/dz, где n ― это целое число. То есть мы разрешили быть отрицательным, разрешили особенность в этой точке.

По некоторым причинам коммутатор этих векторных полей немного меняется, совсем чуть-чуть, но это важно. Добавляется один комплексный параметр, который называется центральным зарядом. И алгебра после этого начинает называться не алгеброй векторных полей, а алгеброй Вирасоро. Алгебра Вирасоро ― это симметрия конформной теории поля. В таком виде это было сформулировано в 1970-е годы, а уж совсем сформулировано было в работе Белавина, Полякова, Замолодчикова в начале 1980-х годов, где, помимо этого, был предложен некоторый класс этих конформных теорий симметрии алгебры Вирасоро, так называемых минимальных моделей. Этот класс замечателен тем, что при помощи просто этой симметрии и теории представлений алгебры Вирасоро, которая как раз к тому моменту была развита (сейчас я это прокомментирую), удалось эту теорию в принципе решить, то есть найти все возможные корреляционные функции в них, основываясь просто на симметрии алгебры Вирасоро. В частности, модель Изинга является простейшим, можно сказать, самым первым нетривиальным примером этих минимальных моделей.

Я сказал про теорию представлений. Здесь мы переходим к связям с математикой. Первое ― это теория представлений бесконечномерных алгебр Ли. Я упомянул алгебру Вирасоро. Бывают, конечно, и другие алгебры симметрии конформной теории, например так называемая аффинная алгебра Каца ― Муди. Полная математическая структура, которая стоит за этой симметрией, называется вертексная алгебра. Это даже не алгебра Ли, а нечто такое, что возникает из конформной теории. Так получилось, что эта наука тоже развивалась в то же самое время ― с конца 1970-х годов. В начале 1980-х был большой подъем этой науки, и сначала она называлась независимо. А потом люди поняли, что это связано с конформной теорией поля, и в этой науке прошел большой бум. Каждый год писались сотни работ на эту тему, и было открыто много разных связей. В математике это оказалось связано с квантовыми группами, а через них ― с инвариантами узлов. Еще я хочу упомянуть группу-монстр ― самую большую конечную простую группу, для доказательства свойств которой тоже понадобились эти вертексные алгебры.

Хочется упомянуть про теорию представлений: одной из причин, по которой люди начали ее активно изучать, была ее связь с комбинаторикой. При помощи теории представлений удавалось доказывать комбинаторные тождества, так называемые тождества Макдональда. А корреляционные функции, наоборот, оказались замечательными специальными функциями. Они имеют модулярные свойства в силу того, что конформная теория может жить на торе, на котором действует группа SL (2,Z). Можно сказать, что получился новый класс специальных функций.

Рекомендуем по этой теме:
5052
Проблема Римана — Гильберта

Как я сказал, был большой бум с конца 1980-х — в самом начале 1990-х годов. Сейчас этот бум уже прошел, основы конформной теории поля уже устоялись, и сейчас это скорее элемент общего образования. Это такая немного алгебраически ориентированная математическая физика, которая применяется в разных других сферах. По части связей я упомяну два относительно свежих результата. В 2009 году было предложено так называемое AGT-соответствие (название по первым буквам имен предложивших физиков ― Алди, Гайотто и Тачикава), которое говорило, что эти корреляционные функции к этой конформной теории поля равны статсуммам уже не в двумерной, а в четырехмерных теориях ― калибровочных суперсимметричных теориях, основанных еще на результатах Некрасова. Математически это связано с тем, что эта бесконечномерная алгебра каким-то хитрым образом возникает в этих четырехмерных теориях, действует на каких-то расслоениях в этих четырехмерных теориях.

И еще я, пожалуй, упомяну, что недавно обнаружена связь этих корреляционных функций конформной теории поля с задачей изомонодромной деформации ― проблемы Римана ― Гильберта. Это, может, не так широко, но ближе к тому, чем лично я занимаюсь, поэтому хочу упомянуть. В целом я пытался сказать, что это богатая область современной математической физики с очень большим числом связей с разными областями. И лично для меня самым интересным представляется то, что мы можем об одних и тех же объектах говорить на разных языках, смотреть на них с разных сторон.