Решать эту проблему можно разными способами — вопрос в том, какая задача перед вами стоит. Если вы начнете измерять периметр этого участка, огибать каждую песчинку, то длина будет другой. В какой-то момент возник вопрос: какой периметр границы Великобритании? Если поставить точки на границе Великобритании и соединить их прямыми линиями, то периметр получается один. А если точек поставить больше, то периметр вырастет. Если добавить реперные точки и увеличивать число звеньев, то периметр продолжит расти. Определяя границу Великобритании, можно двигаться вдоль каждой песчинки на границе, и периметр будет расти неограниченно — это явление фрактала. Вопрос в том, для каких целей нужно измерение. Чтобы посчитать количество урожая, который вы на данном участке можете собрать, вам достаточно поставить две точки, соединить прямыми линиями и помножить одну длину на другую. То есть вопрос определяется постановкой задачи.
В реальном мире мы не имеем дела с идеальными точками и линиями. Линия — это объект, который не имеет толщины, а имеет только длину. Точка — объект, который не имеет ничего, кроме своего положения. Плоскость — двумерная поверхность, не имеющая толщины. В решении физических задач математическим образом мы всегда пользуемся такими идеализациями. Из-за этого возникают различные проблемы. Например, в квантовой теории поля мы имеем дело с полями, которые могут иметь высокую частоту. Грубо говоря, поле можно мять со сколько угодно высокой точностью — это идеализация. Например, в физике твердого тела поле фононов в кристалле не может иметь частоты больше некоторой, иначе длина волны фонона оказывается меньше, чем межатомное расстояние в кристалле.
Когда мы пишем теорию поля для фононов внутри кристалла, мы пренебрегаем мелкой кристаллической структурой, считаем кристалл однородным телом, обсуждая достаточно длинные волны. Как только мы подходим к высоким частотам, нужно учитывать кристаллическую структуру — простую теорию поля для описания фононов в этом случае не написать.
К сожалению, таких упрощений в фундаментальной физике делать нельзя. Она строится не так, как физика элементарных частиц, физика твердого тела. На данный момент мы знаем, какие поля должны участвовать, какие симметрии есть в задаче, после чего у нас достаточно жестко зафиксирована теория поля, которая описывает тот или иной круг явлений. Однако возникает проблема, что это поле вы можете гнуть сколь угодно интенсивно. Простейший пример поля — поверхность моря. Частота дает длину волны у моря. Если я наращиваю частоту, длина волны уменьшается. Если частота оказывается очень высокой, длина волны окажется очень маленькой. Вода в море состоит из молекул, поэтому частота не может быть выше, чем определенное расстояние между молекулами.
В квантовой теории поля мы не можем себе позволить такую идеализацию. Мы не можем предположить, что существует тонкая структура, что поле состоит из атомов. Мы вынуждены ее строить на принципах симметрии и динамики полей, после чего частота может быть любой. Если бы мы сказали, что можно позволить частоту меньше, что на какой-то частоте квантовую теорию обрезает другая теория поля, то возник бы произвол, который нельзя позволять. Но это отдельный разговор.
Наличие бесконечных частот приводит к проблемам в квантовой теории поля, с которыми современная наука пытается бороться. Например, вы пытаетесь посчитать сечение рассеяния частиц на ускорителе: с какой вероятностью тот или иной тип частиц вылетит том или ином направлением в результате столкновения двух потоков. Из-за наличия бесконечных частот у вас возникают бесконечности, то есть сечение оказывается бесконечным, а должно быть ограниченным. Когда эта проблема возникла, оказалось, что с ними можно бороться и, главное, что это приводит к очень красивому физическому явлению. Если вы учтете это явление, то у вас расходимости пропадают — по крайней мере, если нет гравитации. Оказывается, что основное состояние, то есть состояние с наименьшей энергией, в квантовой теории поля это не пустота, а нулевые колебания.
Если к вакууму основного состояния добавить реальную частицу, она будет окружена «супом» из нулевых колебаний. В ее присутствии этот «суп» нулевых колебаний поляризуется. В нулевых колебаниях присутствуют электроны и позитроны. Если вы поместите туда электрон, к нему притягиваются позитроны, от него отталкиваются электроны, и это экранирует заряд. В зависимости от того, насколько близко вы к этому заряду, его величина может поменяться. Если бы у вас был газ из реальных заряженных частиц, помещенный в него заряд был бы заэкранирован полностью — если бы вы удалились на достаточно большое расстояние, заряда было бы не видно. Это называется дебаевское экранирование в физике плазмы.
В квантовой теории поля полной экранировки не происходит, потому что газ состоит из виртуальных частиц. Заряд электрона экранируется не до нуля, а до его значения, с которым мы имеем дело в повседневной жизни. Когда вы подходите к нему достаточно близко, на расстояние, меньше определенного, то он начинает меняться. Это явление связано с так называемыми перенормировками, с ренормализационной группой. Оказывается, что если вы учтете, что, начиная с каких-то расстояний, заряды частиц, участвующих в различных процессах, меняются, то расходимости, о которых я сказал, пропадут.
