Что такое монодромия? Как продолжаются функции в комплексном мире? Каково пространство решений в комплексной плоскости? На эти и другие вопросы ответил кандидат физико-математических наук Владимир Побережный.

Комплексные дифференциальные уравнения — это дифференциальные уравнения, у которых независимая и зависимая переменные принимают комплексные значения. Наше время T не становится вещественным, как у нас на часах, а живет на комплексной плоскости или на сфере Римана. Это не умозрительный объект, а живой, существующий. В современной физике такие уравнения описывают наш мир, а не математическую абстракцию.

Главная специфика комплексного мира и комплексного анализа и отличие от вещественного анализа — это феномен аналитического продолжения. Если у вас есть график функции y=f (x) и он задан не на всей плоскости, а только на каком-то отрезке (например, от 0 до 1 у вас задана функция), а дальше вы говорите, что хотите продолжить эту функцию влево или вправо так, чтобы она осталась непрерывной или дифференцируемой, то слово «гладкость» вполне соответствует житейскому понятию гладкости. Если кривая нарисована плавно, то это и есть гладкая функция. Мы можем многими способами эту функцию продолжить направо или налево, чтобы она оставалась гладкой. В комплексном мире это оказывается не так. Если функция задана на маленьком кусочке, то налево и направо она продолжается четко и жестко.

Рекомендуем по этой теме:
10872
Дифференциальные уравнения
Если у вас уравнение с мероморфными коэффициентами, то есть с достаточно разумными коэффициентами, вы в какой-то точке изучили решения, а потом пошли путешествовать по комплексной плоскости, тогда то, что у вас будет получаться, будет оставаться решением. Если вы обойдете вокруг особенностей в нуле, вы вернетесь и получите другое значение. В формальном смысле это может быть другое решение. Но пространство решений — линейное конечномерное векторное пространство. В нем есть базис. Оно превратилось в комбинацию других решений. Этот эффект называется монодромией.