Дифференциальные уравнения — это следующий шаг. Уравнения, которые мы сейчас перечислили, задают в пространстве какие-то точки, подмножества точек. Уравнение y=k*x+b задает множество точек на плоскости, и мы знаем, что эти точки выглядят как прямая. Это и есть график. Дифференциальные уравнения тоже задают какие-то подмножества, но они заданы уже в пространстве функций, то есть это соотношения, которым удовлетворяют функции. Решение дифференциального уравнения — это какой-то набор подмножества точек в пространстве функций. Пространство функций является бесконечномерным.
Возникает нужда в анализе: как это все устроено и почему мы вообще на это так смотрим? Такой взгляд действительно имеет вполне разумное содержание и смысл. Если мы рассматриваем линейные дифференциальные уравнения, то у нас возникает аналогия с обычными линейными уравнениями. Например, мы знаем, что линейные уравнения на плоскости — это прямая, в пространстве — какая-то гиперплоскость. То есть это какой-то плоский объект. Оказывается, что множество функций, удовлетворяющих линейному дифференциальному уравнению, устроено примерно так же, это в каком-то смысле плоскость, или прямая, или плоскость какой-то размерности, но уже в бесконечномерном пространстве функций (официально это называется векторным пространством). Множество решений линейного дифференциального уравнения образует векторное пространство во множестве всех функций.
Откуда берутся дифференциальные уравнения? Конечно, основной поставщик дифференциальных уравнений (это мы тоже со школы знаем) — это физика и механика. Законы Ньютона, например, ускорение материальной точки m*a=F (силе, которая на нее действует). Но ускорение — это вторая производная. Вот у вас получилось дифференциальное уравнение ẍ (вторая производная координаты) равна какой-то силе F. Свойство классической механики состоит в том, что, как правило, уравнения там второго порядка. Видимо, оттуда это возникло, причем, как принято у физиков (это не редкость), дифференциальные уравнения возникли чуть ли не раньше дифференциального исчисления, и решать их тоже (конечно, без построения общей теории) люди начали раньше, чем все эти понятия вообще были определены, и добивались каких-то успехов. Мы знаем, что введение основ дифференциального исчисления произошло как раз во времена Ньютона и Лейбница, то есть практически одновременно с законом Ньютона, в котором уже есть дифференцирование.
Физика не единственный источник этих уравнений. Практически любая околоестественная наука является таким источником. Например, в химии происходят какие-то реакции, скорость реакций зависит от количества и пропорций компонентов. Два вещества смешиваются и как-то превращаются в третье с какой-то скоростью, пропорциональной чему-то. Это дифференциальные уравнения. В биологии тоже есть дифференциальные уравнения.
Конечно, это не биология, а какой-то детский пример. Есть стандартная задача о размножении кроликов. У вас есть парочка кроликов, они с какой-то периодичностью рожают еще пару. У вас была пара кроликов, она родила — стало две пары. Каждая пара еще родила — стало четыре и так далее. Как устроен закон? Видно, что число растет очень быстро, это экспоненциальный рост. Здесь возникает очень интересный, но уже не совсем математический вопрос моделестроительства или адекватного построения модели. Вот мы хотим описать размножение кроликов. Если мы его описываем таким образом, то легко подсчитать, что если уравнение устроено так, что ẏ (это из физики идет такое стандартное обозначение; вообще производные функций обычно обозначаются ỳ, но если производная по времени, то ее удобно обозначать ẏ) равняется y, то есть скорость роста равна числу уже имеющихся пар. Такие уравнения мы умеем решать, это экспонента.
Эта модель, очевидно, не дает нам правильного приближения к жизни, на маленьких порядках немножко дает. С другой стороны, если бы все было в жизни устроено так, то кролики очень быстро бы захватили всю землю во много слоев, некуда было бы между ними наступить. Значит, надо как-то менять наше уравнение, подстраивать свойства модели под картинку, которую мы наблюдаем в жизни, и то, чему хотим быть адекватными. Например, чем больше кроликов, чем чаще они встречаются, тем больше вероятность, что у них возникнет какая-нибудь болезнь, которая будет заразной и будет передаваться от одного к другому, то есть надо вычесть какое-то слагаемое, пропорциональное частоте встреч. А как устроена частота встреч? Если кролики живут в каком-то лесу, каждый кролик занимает какое-то место, надо поделить площадь леса на площадь кроликов и так далее.
Стандартное, вполне обозримое и разумное приближение. Например, добавление в модель волков. У нас есть волки, есть кролики. Кролики как-то размножаются, и волки как-то размножаются. Кроликам для размножения нужен только лес и другие кролики, а волкам нужно что-то есть, им нужны, собственно, кролики. Поэтому скорость роста кроликов (ẏ), с одной стороны, равна числу пар (какому-то слагаемому у). С другой стороны, вычитается какое-то неудобство из-за перенаселенности, из-за ограниченности площади. С третьей стороны, вычитается какая-то пропорциональность числу волков, каждый волк кого-то съедает. А волки, в свою очередь, размножаются пропорционально своему имеющемуся числу (не как кролики, но все-таки), к тому же им надо что-то кушать, к тому же они тоже болеют. У нас получается набор, система уравнений. Y — это наши кролики, а z, допустим, волки. Эти два уравнения должны выполняться одновременно, так модель усложняется и усложняется.
Даже в классической механике мы знаем, что если бросаем камень, то вблизи Земли у него ускорение постоянно m*g. Но мы можем, например, добавлять сопротивление воздуха, оно уже зависит от скорости камня, то есть вторая производная ẍ будет не g, а g минус еще какое-то слагаемое, пропорциональное скорости ẋ. Например, падает дождевая капля. Во-первых, она падает из-за силы тяжести, во-вторых, тормозится воздухом, в-третьих, если воздух влажный, то она еще и конденсируется, растет, вбирает влажность из окружающего воздуха, то есть у нее меняется масса.
Можно строить разные модели, как-то их усложнять, исследовать те интересные вопросы, которые возникают почти в любом приложении, где как-то используется математика. Но математика ради математики здесь тоже имеется: дифференциальные уравнения — это очень большой отдельный разнообразный раздел со множеством вариаций. Он настолько большой, что даже практически не бывает конференций по дифференциальным уравнениям, потому что нужно более тонкое деление: качественная теория, асимптотические методы, интегрируемые системы, уравнения в частных производных и так далее. Это вполне большая развитая наука, продолжающая развиваться.
Какие основные свойства и характеристики есть у дифференциальных уравнений? Что можно о них сказать? Во-первых, краеугольный камень для обыкновенных дифференциальных уравнений для одной переменной (неважно, вещественной или комплексной, комплексной даже лучше, как всегда это устроено в анализе) — это теорема существования и единственности. Если у вас есть дифференциальное уравнение с достаточно разумными коэффициентами (эти слова формализуются разными способами, например гладкие) и есть начальные данные, то всегда есть локальное решение. Например, вы знаете, что ваш камень как-то падает, знаете, где он был в начальный момент времени и какая у него была в начальный момент времени скорость. После этого у него траектория считается по крайней мере локально, в окрестности этого положения.
Это очень сильный результат, опять-таки похожий на то, что у нас было с обычными уравнениями: мы знаем, что алгебраическое уравнение k-того порядка имеет k корней. В школе, конечно, учат, что бывает меньше, а потом если кто доучивается дальше, то учит, что нет, на самом деле столько же. Здесь есть аналогия: если уравнение k-того порядка, то у него не k решений, конечно, их бесконечно много, но множество решений параметризуется параметрами k. Если есть уравнение второго порядка (наш камень), надо задать начальное положение и начальную скорость. И вообще, для уравнения k-того порядка надо задать k начальных данных, и тогда будет всегда существовать решение. Если уравнение линейное, то эти k начальных данных — это просто его координаты в k-мерном конечномерном векторном пространстве решений.
Это специфика обыкновенных уравнений от одной переменной, но при этом все-таки уравнение локально решается, то есть мы знаем, что решение существует, а вот найти его мы в явном виде можем не всегда. Мы можем использовать какие-то приближенные методы, как-то бороться, но гарантий, что мы напишем какое-то конечное выражение и оно будет решать наше уравнение, нет.
Это была деятельность XIX века, когда люди активно занимались этой областью и изучали уравнения математической физики, из этого возникла целая наука про классические многочленные специальные функции Лежандра, Лагерра, Чебышева. Это была попытка как-то решать уравнения, которые возникали при тогдашнем развитии науки. В явном и конечном виде решения не выписывались, но это совершенно не мешало заниматься их анализом: исследовать свойства, связи, асимптотики. Современная наука занимается более сложными уравнениями. Сейчас, например, вполне популярная деятельность — исследование уравнений Пенлеве. Это такие новые специальные функции — решения уравнений Пенлеве, сейчас занимаются их исследованиями, асимптотикой, связями, геометрическим смыслом, содержанием и так далее по аналогии с физикой XIX века.
