Всем хорошо известна теория Максвелла, описывающая электромагнитное взаимодействие, квант электромагнитного взаимодействия и фотон. Калибровочные теории — это фактически обобщение теории Максвелла, обобщение квантовой механики фотонов в случае, когда их несколько типов, несколько разновидностей фотонов.
Как теория она оказывается похожа на теорию Максвелла, но в некотором смысле более сложная и содержит нелинейные взаимодействия. Ее математическое описание гораздо сложнее, чем теория Максвелла. Электромагнитные взаимодействия, как известно, описывают все явления, связанные с электронами, их взаимодействия с фотонами, все макроскопические явления, связанные с электромагнитными полями. А калибровочные теории, или теории Янга — Миллса, как они называются, связаны с фундаментальными взаимодействиями: слабыми и сильными. И гравитационные взаимодействия в некотором смысле тоже описываются калибровочными полями.
Современное состояние теории элементарных частиц суммируется Стандартной моделью. Это модель, описывающая слабые и сильные электромагнитные взаимодействия. В Стандартной модели центральную роль играют, с одной стороны, силы, которые описывают взаимодействие между материальными частицами: электронами, нейтрино, кварками, — и переносчики взаимодействия, калибровочные поля: глюоны, фотоны и W- и Z-бозоны, которые описывают слабые взаимодействия.
Калибровочные поля — это центральный элемент материи, который описывает взаимодействие между частицами. Теоретическая проблема состоит в том, как понять динамику калибровочных теорий. Например, почему кварки, которые взаимодействуют посредством обмена глюонов, легко не наблюдаются в свободном состоянии. То, что мы наблюдаем, — это адроны, мезоны, нейтроны, протоны, связанные с состоянием кварков. Это связано с тем, что калибровочные взаимодействия нелинейные, это теория, содержащая несколько типов частиц со спином 1, аналогов фотонов, которые взаимодействуют друг с другом, но взаимодействие сложное, нелинейное, и оно растет с расстоянием. Если мы пытаемся удалить друг от друга два кварка, которые обмениваются глюонами, калибровочными квантами, то это взаимодействие растет с расстоянием.
Как это описать математически — одна из центральных проблем современной теоретической физики. Например, как посчитать математически массы мезонов и других адронов, состоящих из двух или трех кварков? Как, имея перед глазами квантовую теорию калибровочных полей, получить из нее числа, которые наблюдаются при эксперименте? Например, массы пи-мезона или массы нейтрона.
Есть разные теоретические подходы, и абсолютно новая идея возникла в контексте теории струн. Теория струн сама по себе возникла из попытки понять, как устроена теория сильных взаимодействий. В конце 60-х годов прошлого века было замечено, что адронов очень много, то есть адроны, как мы сейчас понимаем, — связанные состояния кварков, сильновзаимодействующие частицы. Таких частиц с различными массами, с различными спинами в процессе сильных взаимодействий возникает очень много. Например, при рассеянии двух протонов рождается масса разнообразных частиц.
Это многообразие приводит к очень специальным свойствам взаимодействия или к амплитудам рассеяния адронов. В конце 60-х годов была предложена феноменологическая картина описания воздействия адронов, основанная на том, что, может быть, обмен в процессе рассеяния адронов осуществляется не одной частицей, а бесконечным числом частиц, и это бесконечное число частиц можно эффективно описать как струну.
Почему струна — это то же самое, что бесконечное число частиц?
Если представить себе обыкновенную механическую струну, гитарную струну, то на ней, если приложить колебание, организовать его вдоль струны, есть много разных мод возбуждения, и их на самом деле бесконечно много. В зависимости от того, какую частоту вы хотите получить, вы получите соответствующий возможный спектр амплитуд колебания и, соответственно, частот.
В квантовой механике каждое такое колебание, каждая волна ассоциируется с частицей, с определенной связанной энергией — постоянная Планка на частоту, — и в этом смысле квантовая струна описывает бесконечное число частиц, колебаний струны, и они имеют различную массу и спин, связанный с этой массой. Для простейшей ведущей траектории Редже в спектре этих возбуждений струны можно их организовать в зависимости от того, как энергия зависит от спина. Ключевой момент состоит в том, что квантово-механическая струна описывает бесконечное число частиц, классическая описывает бесконечное число колебаний классических волн.
Почему это важно? Оказывается, что струна хорошо описывает взаимодействие, рассеяние адронов в некотором режиме как обмен не одной частицей, а обмен одной струной или бесконечным набором частиц. Это было замечено в 60-х годах, и в результате возникла математическая конструкция, которая называется теория струн. Эта математическая конструкция весьма эффективно применялась в теории сильных взаимодействий, но феноменологически, без понимания, что есть эта струна и откуда она берется. Это было просто эффективное описание взаимодействия адронов — не на основе калибровочных теорий, которых не было в 60-х годах, а феноменологическое описание, где ключевую роль играли сами адроны.
В середине 70-х годов возникла теория «квантовая хромодинамика» — это калибровочная теория сильных взаимодействий, в которой глюон — это переносчик взаимодействий между кварками, кварки — основа, составные частицы, из которых строятся адроны как связанные состояния кварков. В контексте квантовой электродинамики стало более очевидно, что такое струна. Струна в теории сильных взаимодействий — это трубка магнитных линий, или трубка электрических линий, или трубка потока калибровочного поля. Так же, как можем представить в сверхпроводнике локализацию магнитного поля или линии магнитного поля (как в учебнике рисуют), которые можно сфокусировать в цилиндр, — таким же образом можно мыслить, что поле глюонов можно сфокусировать в трубку. Например, будет кварк-антикварк, связанный этой трубкой. Эту трубку глюонного поля можно описывать эффективно как струну. То есть та струна, которая возникает в теории сильных взаимодействий, — это струна, состоящая из глюонного поля, из калибровочного поля, описывающая сильные взаимодействия между кварками.
Концепция струны как объекта эффективного описания сильного взаимодействия возникла в середине 70-х годов. Теперь возникает вопрос: какое это имеет отношение к связи калибровочных теорий со струнами? Это один аспект, который я пытался объяснить. Можно себе мыслить, что такое струна и как она связана с адронами. Но на самом деле современное развитие этой области фактически не связано с идеей, что есть глюонная трубка, которая связывает два кварка, или можем себе мыслить нейтрон как три кварка, связанный такой y-образной формой струны: три струны соединены в крест, и каждая прикреплена к кварку.
На самом деле современная концепция взаимосвязи калибровочной теории и струн еще более абстрактна и оторвана от буквальной картины, основанной на глюонном поле. Она связана с предположением о том, что математическая конструкция, описывающая сильные взаимодействия, — это калибровочная теория. Она включает струны, но в одном дополнительном числе измерения, не в четырех измерениях, как мы мыслим, — одно время и три пространства, — а еще в одном измерении, в искусственном пятом.
Это пятое измерение не имеет отношения к нашему реальному миру, это чисто математическая конструкция.
В 1998 году возникла идея, предложенная Малдасеной, аргентинско-американским физиком, что на самом деле может быть более тесная прямая связь между калибровочной теорией и теорией струн, если мы предположим, что струны распространяются или живут не в четырехмерном пространстве, а в искусственном пятимерном пространстве, искривленном пятимерном пространстве, называемом пространством анти-де Ситтера.
Пространство анти-де Ситтера — это вообще не в двумерной плоскости Лобачевского. Оно устроено очень похожим на наше четырехмерное пространство образом. Это четырехмерное пространство можно себе мыслить как границу пятимерного пространства. А еще есть одно вертикальное направление, и все в целом — это пятимерное пространство. Как мы можем мыслить трехмерное пространство как плоскость плюс еще одно измерение. Это лишнее измерение играет очень важную роль: оно связано с масштабом энергии в четырехмерном пространстве. То есть можно физически понять, какую роль играет удаление по этому пятому измерению от границы.
Это чисто математическая конструкция. Пятое измерение не имеет буквального отношения к нашему миру. Хотя есть такие предположения, что наша Вселенная — это граница какого-то пятимерного пространства.
Современное развитие исходной идеи о связи струн с калибровочными полями или о связи с адронами превратилось в математически строгое утверждение, гипотезу о дуальности, о связи калибровочных полей в четырехмерном пространстве с теорией струн в пятимерном пространстве. Струны в пятимерном пространстве распространяются, они могут заканчиваться на четырехмерной границе. Если на четырехмерной границе есть два кварка, то струна протягивается в пяти измерениях. И есть математически строго сформулированная гипотеза, что есть точное соответствие между этими пятимерными струнами и четырехмерной калибровочной теорией.
То, чем я занимаюсь, фактически связано с попытками понять, как попытаться доказать это соответствие, как установить его более точно математически. И ключевое слово, которое играет важную роль в последнее время в этом развитии, — «интегрируемость». Интегрируемость — это аналог решаемости задачи. Когда у вас есть какая-то механическая задача — обычная классическая механика — не все задачи имеют аналитическое решение, на компьютере можно решить многие задачи, но аналитически обычно решаются простейшие задачи — одна переменная зависит от времени. Или, положим, те задачи, которые возникают в классической механике Солнечной системы, планет. Естественно, задачи многих тел не имеют аналитического решения.
Интегрируемые системы — те, которые имеют аналитическое решение благодаря скрытым симметриям. И эти скрытые симметрии играют важную роль в дуальности между калибровочными полями и струнами.
То, чем я занимаюсь, — попытка понять, попытка применить свойство интегрируемости в контексте струн в пятимерном пространстве и калибровочных теорий в четырехмерном пространстве. На будущее есть масса связанных задач, что сейчас активно изучается, как эта концепция дуальности или эквивалентности калибровочных теорий в четырехмерном пространстве со струнами в пятимерном связана, например, с черными дырами. Возможно ли приложение к математическому описанию черных дыр, к тому, что с ними происходит квантово-механически, используя идеи связи калибровочных полей. Это большая область, ее очень сложно описать за короткий промежуток времени, но это одно из активно развиваемых направлений.
