Математику делает успешной сочетание двух вещей. Совершенная конкретика — не просто конкретность, а некая конкретика: если A равно нулю, то A равно нулю, A не может быть что-нибудь, или я думаю, что, наверное, оно равно нулю. Так — так, не так — так не так. С другой стороны, высокая степень абстрактности. Как только вы начинаете говорить с математиком, рассказывать ему вашу конкретную задачу и просите помочь — его страшно раздражают ваши упоминания реалий, будь то белки в вашей клетке, или какие-нибудь электрические потенциалы, или что-то еще, — ему хочется освободиться от тех терминов, в которых вы мыслите, и оставить логическую схему того, что вы пытаетесь до него донести.
Когда математик функционирует внутри математики, его часто интересуют вещи в наиболее общем виде: можем мы это сделать не для чисел 2, 3, 4, 5, а для всех чисел, не для пространств размерностей 3 и 4, а для пространств любой размерности. Другое дело, что иногда получается, иногда нет, иногда для четных размерностей или для больших размерностей можно применить одни методы, а для других — другие методы, и вещи могут различаться в пространствах разной размерности. Не всегда все удается обобщить, но стремление к этому есть всегда. Почему? С одной стороны, для человека, смотрящего со стороны, это, казалось бы, несколько иссушает, потому что вроде бы лишает содержания, лишает конкретики то, с чем математик имеет дело. С другой стороны, именно потому, что удается освободиться от всех ненужных деталей, удается разглядеть общую логическую структуру, удается двигаться вперед.
Важную роль в описании различных свойств, явлений природы, нашего мира играют симметри́и явлений (обычно говорят «симме́трии», а математики говорят «симметри́и», так же как физики говорят «ато́мный»). Если Солнце круглое, то это означает, что оно излучает одинаково по всем направлениям, более-менее неважно, как оно повернуто. Если Земля вращается вокруг своей оси, то есть выделенное направление, но север и юг — эти два направления — более-менее равноценны и так далее. Наличие симметрий позволяет задать себе вопрос о том, какие вообще бывают симметрии, можно ли их классифицировать. И тут возникает удивительная вещь. В первой половине XX века люди задались системой аксиом, которым должны удовлетворять симметрии определенного класса. Это так называемая теория Ли норвежского математика Софуса Ли (создавал не только Софус Ли, но и другие люди), которая за несколько десятилетий была сильно продвинута и на некотором своем участке даже закончена.
Что удалось сделать? Удалось сказать, что если мы считаем, что есть такие-то симметрии, неважно у чего: у текущей воды, у летящей звезды, у какой-нибудь системы, — то эта симметрия непременно лежит в каком-то классе. Удалось перечислить все, что может происходить, — не все вообще, а в пределах некоторых ограничений, которые казались и кажутся разумными. Другое дело — по тому же самому тренду искать максимальную общность, ведь математики все время пытаются ослабить ограничение, посмотреть, что лежит рядом с этим, и продвинуться дальше.
Некое чудо состоит в том, что вся эта история началась в конце XIX века и развилась в начале XX века, до появления квантовой механики, физики элементарных частиц, возникли учебники, в которых были написаны, расклассифицированы эти симметрии, и так далее. Но это была внутренняя потребность развития математики, потому что среди этих симметрий были странные, исключительные — были типические, а были исключительные, — это так называемая классификация полупростых групп Ли, выражаясь техническим языком, это некоторая классификация класса симметрий.
Классификация — это великая вещь, которая говорит о том, что других в этом классе быть не может, и это некое чудо — то, что это вообще возникло. Это мощная сторона математики, когда вы задаете систему аксиом — то есть из опыта, очищая опыт, берете систему аксиом, свойств, которые вы хотите, чтобы были, — и задаетесь вопросом: а за этими свойствами огромное количество вещей может им удовлетворять или, может быть, этим свойствам довольно трудно удовлетворить, и вещей и систем, которые их реализуют и выражают, может быть не так много?
Наступила вторая половина XX века, и люди стали открывать все большее и большее количество элементарных частиц. Сначала их было 2, 3, потом 10, потом 15, и среди людей, этим занимающихся, физиков, которые ничего не знали про ту математику, о которой я только что говорил, возникало легкое раздражение, носящее эстетический характер.
Когда мы проникаем вглубь, нам хочется, чтобы структурных элементов было меньше.
Например, химических соединений вокруг нас бесконечное количество, а элементов, того, что в таблице, в Периодической системе Менделеева, перечислено, из чего все состоит, весьма конечное число — порядка сотни, а реально в ходу примерно полсотни, потому что часть из них нестабильные, немножко ненастоящие.
Точно так же, когда мы проникаем вглубь структуры материи, скажем, в элементарную частицу, нам почему-то хочется чисто эстетически — это ни на чем не основано, — чтобы структурных элементов было поменьше. И эта идея абсолютно разбилась о реальность, эта мечта. Потому что выяснилось, что, как только строили ускоритель чуть-чуть посильнее — чепуховые энергии по сравнению с энергией Большого адронного коллайдера, но в свое время строился такой ускоритель, — возникали новые частицы, потом еще новые, потом еще новые, их скоро стало 50, 100, 150, потом 200, потом стало ясно, что, если у вас будет ускоритель еще, вы «нарожаете» еще других элементарных частиц. Они ни из чего не состоят, они все превращаются друг в друга, частица A превращается в частицу B, а частица B при определенных условиях может превратиться в частицу A. Такой там «зоопарк».
Что делает в таких случаях феноменолог? Феноменолог начинает пытаться классифицировать этот «зоопарк», составляет списки. И выясняется, что по некоторым свойствам открытые в природе частицы группируются в некоторые семейства. В одном семействе 8 частиц, в следующем — 15, в следующем еще сколько-то. И семейств бесконечно много. И если строить все новые ускорители, будут открываться все новые семейства с все большим числом частиц.
Выясняется, что нужно протянуть руку, снять с полки учебник математики, той самой классификации полупростых групп Ли, о которой я только что рассказал, которая к тому времени была закончена, где ровно тот же самый список: семейства из 8, потом из 15, потом из чего-то еще и так далее. И возникает мысль, что в природе каким-то непостижимым образом реализован один из списков из этого учебника математики. Другое дело, что в учебнике математики таких списков много. Природа выбрала один.
История на этом не закончилась. Достаточно было предположить, что природа действительно выбрала этот список, чтобы увидеть, что соответствие между списком в учебнике математики и тем, что видно на ускорителях, неполное. В учебнике математики присутствует первый элемент списка, которого нет в том, что мы видим на ускорителях. Есть самое маленькое семейство, которое на языке ускорителя означало бы, что в нем всего три частицы из чего-то трех, у которого очень странные свойства, если перевести их на физический язык. Если предположить, что такие частицы существуют — то есть мы видим соответствие между существующими частицами и тем, что написано в учебнике математики (это уже стало учебником к этому моменту), — у них были бы странные свойства. Например, дробный электрический заряд. Никогда до этого дробный электрический заряд не наблюдался.
Логический скачок, который сделали люди и который заслуженно принес им Нобелевскую премию, состоял в том, что давайте предположим, что в природе есть частицы, соответствующие этому семейству тоже, что список из учебника математики — классификация конечномерных представлений группы SU (3) — реализован в природе целиком, не без первого своего члена, а целиком, полностью. Тогда в природе существуют очень странные частицы. Но в математике написано у них еще одно свойство. Взяв это самое маленькое семейство из трех и делая с ним некоторую операцию, нечто типа умножения, которое технически называется тензорным произведением, вы можете получать все остальные семейства. Умножьте 3 на 3 — получится 9. Но там это не совсем числа вы умножаете: семейство из восьми — это почти девятка (единицу нужно вычислить по некоторым правилам), потом возникает семейство из 15 после следующего умножения на 3 и так далее и так далее.
То есть математически имелось такое свойство. В той самой классификации, полученной без всякой мысли о физике, было получено свойство, которое говорит, что самое маленькое семейство воспроизводит все остальные. И это положили в основу следующей гипотезы. Соответствующие частички, эти три частички, обладают таким свойством: из них сложено все остальное. Так и есть. Это кварки, из которых сложена добрая половина окружающего нас мира, — речь не идет о темной материи, — обычных окружающих нас частиц. Для меня мир состоит из кварков потому, что имеется математическая теорема, которая говорит о том, что тензорными произведениями трехмерных представлений можно породить все остальные представления. Если бы это было не так, то какой-то из частиц, найденных на ускорителях или адронах, не складывалось бы из кварков. Но математика говорит о том, что такого не случается. Это прекрасная иллюстрация того, как, с одной стороны, сначала мы абстрагируемся из некоторой области реальности, из некоторого опыта и начинаем изучать структуры, которые мы оттуда считываем, забыв про все, и развиваемся в рамках абстрактных рассуждений, занимаясь только этими структурами.
Казалось бы, сидим в башне из слоновой кости — в чем обвиняют математиков, — не смотрим в окно, не выглядываем наружу и занимаемся своим делом.
А потом выясняется, что прошло, может быть, мало, может быть, много лет, и какой-то кусок природы просто описывается, у нас есть готовая теория для этого. Почему-то где-то в природе часть того, что мы построили внутри математики, оказывается реализована — только не сразу, а скрытым образом. И это большая помощь — знать, что есть, взять с полки этот учебник математики. Иногда учебник еще не написан, иногда это какие-то наброски, заметки. Физики и математики ходят и разговаривают друг с другом, пытаясь угадать, каким образом математическое знание может, каким образом ему удается идти параллельно физическому, иногда и часто его даже опережать — это большая-большая загадка.
Самый интересный вопрос такой: все ли, что есть в математике, реализовано во Вселенной? С первого взгляда, конечно, нет. Список полупростых алгебр Ли бесконечный, а в Стандартной модели элементарных частиц какая-то вполне конкретная. Но кто знает? Может быть, либо в других уголках Вселенной, либо в том, что сейчас называют мультивселенной, попробовано все остальное. Меня это не очень бы удивило. Меня бы это удивило не сильнее, чем я уже удивился от того, что есть хоть какое-то соответствие между одним куском из чистой математики и тем, что находится в физике.
Одна из интриг того, как люди сейчас изучают мир, один из способов этого изучения — это попытка ответить на вопрос «Что еще из известных хороших и красивых математических структур реализовано где-то в мире, в каких-то модельных системах, в каких-то кусках этого мира, при каких-то определенных условиях?». Вопрос оказывается удивительно неглупым. Некоторое чудо состоит в том, что это осмысленный вопрос, он приносит осмысленные ответы. Неизвестно, почему так происходит, но это и радостно, и очень интригующе.
