Комбинаторная эргодическая теория

Какие системы называются динамическими? Как рассматривает множество натуральных чисел теорема Семереди? И как развивалась комбинаторная эргодическая теория? Об этом рассказывает доктор физико-математических наук Илья Шкредов.

Эргодическая теория (теория динамических систем) возникла из задач механики, теории дифференциальных уравнений. Рассматриваются механические системы, в которых выполнен закон сохранения энергии. Например, можно взять Солнечную систему. Если отбросить все прилетающие в нее объекты и рассматривать ее как замкнутую систему планет и Солнца, то она будет являться динамической системой. Мы можем взять сосуд с водой, размешивать воду сколь угодно сложным миксером. Главное — действовать по одному и тому же закону. И это тоже динамическая система. Динамические системы занимаются областями, которые состоят из точек или молекул, планет, на которые действует один и тот же закон. Надо сказать, что в теории динамических систем есть не только механические задачи, что обеспечило ее популярность в математике.

Комбинаторика — это наука, которая занимается дискретными объектами. В каком-то смысле это антоним теории динамических систем, ее противоположность. Все началось с теоремы Семереди, которую Эндре Семереди доказал в 1969 году (в 1974 году — вторую версию). Он доказал красивый, понятный комбинаторный факт. Предположим, что у нас есть бесконечное множество натуральных чисел, и определим плотность этого множества. Возьмем отрезок натурального ряда от единицы до N. Посчитаем, сколько точек множества попало в этот отрезок. Потом поделим на число всех точек, то есть на N, рассмотрим такое отношение и возьмем предел при N при длине отрезка, стремящийся к бесконечности. Необходимо взять и верхний предел, но это уже техническая сложность. Тогда теорема Семереди утверждает, что, какое бы множество у меня ни было, лишь бы у него была положительная плотность, пусть даже очень маленькая — одна миллиардная или десятимиллиардная, — неминуемо это множество содержит арифметические прогрессии сколь угодно большой длины.

Последним достижением комбинаторной эргодической теории была теорема Грина — Тао — Циглер о том, что простые числа (множество чисел, которое обладает тривиальными делителями — только единицей и самим числом) содержат не только арифметические прогрессии (это предмет знаменитой теоремы Грина — Тао), но также полиномиальные арифметические прогрессии. Обычная арифметическая прогрессия — это последовательность, которая определяется начальной точкой, а также шагом; отложим шаг несколько раз — мы получим всю арифметическую прогрессию. Другими словами, арифметическая прогрессия — это множество значений некой линейной функции, которая имеет начальную точку и шаг. Оказалось, что можно брать не линейные функции, а произвольные многочлены с какими-то условиями и даже более серьезные и непонятные объекты. Этот факт позволяет доказать комбинаторная эргодическая теория.