Как определял цепные дроби Адольф Гурвиц? В чем смысл гипотезы Зарембы? И какие математические задачи связаны с цепными дробями? Об этом рассказывает доктор физико-математических наук Николай Мощевитин.

Одно из определений цепных дробей принадлежит Гурвицу. Есть другие определения. Классическое определение, которому учат студентов, как правило, связано с алгоритмом Евклида. Есть геометрическое представление о цепной дроби, принадлежащее Феликсу Клейну, так называемые «полигоны Клейна», невероятно красивый объект. Борис Николаевич Делоне называл процедуру получения «полигонов Клейна» алгоритмом «вытягивания носов». Действительно, получается выпуклая фигура, похожая на нос или на клюв птицы.

Рекомендуем по этой теме:
8504
Теория узлов
Гипотеза Зарембы предполагает, что если у нас есть натуральное число, скажем, Q, то для него найдется всегда числитель. Мы ищем такой числитель, что, если мы разложим эту дробь A/Q в цепную дробь, то все неполные частные, элементы из этого разложения, будут ограничены, скажем, пятеркой. Бурген и Канторович доказали, что для почти любого в определенном математическом смысле знаменателя найдется числитель, то есть гипотеза Зарембы верна, как они писали в работе, на 100%.

Пусть у нас есть два вещественных числа. Давайте считать, что они иррациональны и таковы, что ни их сумма, ни их разность не является целым числом. Мы будем рассматривать функцию, которая называется мерой иррациональности этих чисел. Это кусочно-постоянная функция вещественного аргумента, убывающая к нулю, в которой зашита вся информация, касающаяся приближения этих чисел, рациональными числами. Я рассматриваю такую функцию и для числа Альфа, и для числа Бета. Фактически она связана с разложениями чисел Альфа и Бета в цепную дробь. Теорема утверждает, что если мы рассмотрим функцию меры иррациональности для одного числа и функцию меры иррациональности для другого числа, то не может быть того, что, начиная с какого-то места, одна функция будет всегда больше другой. То есть разность этих функций бесконечно много раз меняет знак, когда этот аргумент стремится к бесконечности. Мы имеем общую теорему об осцилляции.