Многомерные массивы

Что такое тензоры? В каких случаях возникают многомерные массивы? Как создать устойчивый аппарат приближения многомерных массивов? Как применяются математические методы приближения тензоров в биологии и физике? Об этом рассказывает доктор физико-математических наук Иван Оселедец.

Интерес к многомерным массивам возник давно. В вычислительной науке, в мультилинейной алгебре «тензор» — устоявшийся термин, который используется во многих статьях. Говоря «тензор», я имею при этом в уме не некоторый объект, у которого есть верхние и нижние индексы, правила, как нужно менять верхний индекс на нижний и так далее, а просто многомерный массив, то есть двумерный массив — это матрица; одномерный массив — это вектор; трехмерный массив — кубик. Это мы представить себе можем, это уже тензор. Четырехмерный, пятимерный и так далее, многомерный массив — это тензор. Многомерные массивы возникают в тех случаях, когда нужно представлять функцию многих переменных. У вас есть функция, которая зависит, например, от десяти переменных, и вы хотите ее приблизить на некоторой сетке, на тензорном произведении сеток. Получается такой многомерный кубик.

Сейчас методы приближения многомерных массивов, методы приближения тензоров активно применяются, например, в биологии. У вас возникает так называемая «chemical master equation», когда у вас есть динамика популяции каких-нибудь вирусов. Обычно они описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями, но здесь описывается не концентрация этих вирусов, их так мало, что нужно писать уравнение на вероятность нахождения системы в некотором состоянии, и вместо пяти переменных, которые меняются с концентрацией, у вас возникает функция, которая зависит от этих пяти переменных.

А если у вас сто вирусов, или сто различных типов этих вирусов, то у вас получается стомерная задача, и здесь такие методы работают прекрасно. На самом деле, это пример того, когда математическая мотивация —не связанная с каким-то конкретным приложением, мотивация при анализе многомерных массивов была связана исключительно с вопросом «А можем ли мы обобщить двумерный результат?». Я считаю, что решение многомерных задач — это интересная, перспективная тема. Вычислительная математика становится все более и более многомерной, и необходима разработка именно таких новых методов.