— Когда у математиков появился интерес к социальным наукам?
— Этот интерес серьезно начался с работ Кондорсе, в период Великой французской революции. В 29 лет он стал членом Академии наук. В 34 он был уже главным ученым секретарем академии. Потом стал членом Конвента, голосовал за смерть короля. Когда пришли якобинцы, они объявили его вне закона. Есть разные версии, что с ним произошло потом. По одной из версий, он уехал из Парижа и скитался в полях, где замерз и умер. Некоторые источники говорят, что его все-таки поймали и казнили.
Кондорсе сделал несколько работ, связанных с задачей коллективного выбора. Модели выбора применялись и раньше — скажем, в ходе голосования в Древней Греции, однако старт теории дал Кондорсе. Он показал, что правило простого большинства может приводить к неразрешимым ситуациям. В древние времена была идея: vox populi vox Dei, то есть глас народа — глас Божий. Глас народа высказывается волеизъявлением большинства. И оказывается, что большинство может не прийти ни к какому решению. В этом заключается парадокс Кондорсе, или, как его еще называют, парадокс голосования.
Представим трех избирателей. У нас есть три альтернативы: A, B и C, причем для первого человека A лучше B и лучше C (А>B>C), то есть голосующий предпочитает кандидата A кандидату B, а кандидата B — кандидату С. Для другого C лучше A и лучше B (С>A>B), а для третьего В лучше С и лучше А (B>C>A).
Если считать по простому большинству (двое объектов из трех должны сказать, что объект A лучше, чем объект B), то мы получаем цикл: A лучше B, B лучше C, C лучше A.
Полтора века люди пытались придумать процедуры, которые в каком-то смысле свободны от этого парадокса. В 1951 году вышла книга Кеннета Эрроу. Он сформулировал аксиомы, которым должна удовлетворять хорошая система голосования.
Другая аксиома заключается в следующем. Предположим, часть людей решает, что A лучше, чем B, часть — наоборот, однако впоследствии они поменяли свое мнение. Если коллективное мнение решило, что A лучше, чем B, то менять его уже нельзя. Иными словами, это независимость от посторонних альтернатив.
Другая аксиома — независимость от посторонних альтернатив. Но мы с учителем назвали это локальностью. Это означает, что если мы хотим принять решение, что A лучше B или В лучше А, то нам не нужны мнения всех остальных. Вот я собираю от вас всех мнение относительно «A лучше, чем B» или «B лучше, чем A», отношу в компьютер, компьютер говорит, что A лучше, чем B.
Есть теорема Кондорсе о присяжных. Когда я первый раз прочитал ее, то пришел в восторг. В XVIII веке человек доказал следующее. Представим, что есть группа присяжных и вероятность правильного решения каждого присяжного. Образно говоря, мы знаем, насколько каждый присяжный компетентен. При этом у Кондорсе это была у всех одна и та же вероятность. Он говорит: если эта вероятность больше 0,5, а мы увеличиваем коллектив и используем правило простого большинства, то с вероятностью 1, то есть почти наверняка, мы примем правильное решение.
Существует также диктаторское правило. Эрроу показал, что если мы хотим удовлетворить тем аксиомам, то единственная подходящая процедура — диктаторская, когда один человек принимает все решения. Однако парадокс Эрроу не о том, что демократия невозможна, а о том, что она сложнее и глубже идеальных правил.
— Из закона Эрроу следует, что не бывает совершенной с математической точки зрения демократии. А какие есть математические доказательства частной теории выбора?
— Одно из направлений теории выбора — это манипулирование. Представьте, что относительное большинство голосует за кого-то, чьей победы мне совсем не хочется. Тогда я меняю свое мнение и голосую за второго по предпочтительности кандидата. И тогда он получает относительное большинство голосов. Второе направление, за которое получили Нобелевскую премию, заключается в создании таких механизмов выявления предпочтений, что каждому выгодно говорить правду. Такая стратегия может быть выгодна на аукционах.
Очень часто в этой науке манипулирование расценивают как компромисс: люди идут заведомо на искажение предпочтений, чтобы получить компромиссное решение, приемлемое для всех. Однако надо понимать, что любая недиктаторская процедура манипулируемая. Одна из попыток избежать манипулирования — назначить кого-то диктатором по жребию. Однако человеческой точки зрения это сложно принять.
— Чем занимается теория выбора, помимо коллективного выбора?
— Одно направление исследований — попытка описать, как совершается индивидуальный выбор. Впервые об этом задумались очень давно. Некоторые утверждали: человек выбирает так, чтобы максимизировать свое влияние. Потом стали говорить о полезности, и так появилась теория полезности в экономике.
Другое направление, придуманное Джоном фон Нейманом и Оскаром Моргенштерном, — это теория ожидаемой полезности. Например, когда мы смотрим, какой исход может быть у лотереи. В классическом понимании мы сравниваем все альтернативы между собой и выбираем лучшую.
В 1956 году Герберт Саймон выступил с довольно сильной критикой такого подхода. Он утверждал, что человек так не выбирает, и предложил другую модель выбора: у каждого человека есть уровень удовлетворенности (satisficing level). И все, что выше этого уровня удовлетворенности, он может принять, а все, что ниже, — нет. На основе этого сейчас осуществляется фильтрация на больших данных. Изучая людей, которые по-разному выбирают, мы можем прийти к пониманию модели, по которой совершается выбор.
— В последнее время у вас есть публикации из совсем, казалось бы, не связанных с политэкономией и экономикой, например про дифференциацию клеток.
— Да. Я не просто меняю область научных интересов, а делаю что-то новое. На конференции в Финляндии мой старый приятель Джон Веймарк рассказывал о попытке описать, аксиоматизировать в терминах коллективного выбора поведение клеток. Скажем, в колониальных организмах клетки неспециализированны изначально, они потом начинают специализироваться.
Существует модель, которую придумали Ричард Мишо и его коллеги. Согласно ей в клетках с одинаковой силой проявляется и функция размножения, и функция жизнеобеспечения. И если число клеток нечетное, то одна может остаться неспециализированной. Очевидно, что в биологических системах в силу их неустойчивости клетки не могут поделиться ровно пополам на соматические и репродуктивные, то есть существует множество альтернатив, как произойдет распределение. Поэтому мы с аспирантом Денисом Тверским сделали модель, где существуют внешние ресурсные ограничения на деление — например, количество света.
— А есть неожиданные, удивительные порождения математической теории, которыми вы бы хотели заниматься или занимаетесь?
— Безусловно, есть. Например, я сделал работы, связанные с влиянием в выборных органах. Предположим, есть три партии: у одной 50 голосов, у другой 49, у третьей 1 голос, то есть всего 100. Если правило принятия решений — это простое большинство, то партия с одним голосом оказывается очень влиятельной, потому что ее присоединение к 50 дает 51 необходимый голос. Присоединение к 49 ничего не дает. Но самая удивительная вещь в том, что, когда мы делали эту работу, анализируя выборы в российской Думе, оказалось, что влияние Компартии, допустим, очень низкое, несмотря на то что они имели почти четверть мест в парламенте. У них не было естественных партнеров по коалиции. Существует целое направление работ, изучающих вероятности исходов в разных выборных органах.
