Rating@Mail.ru

Математические прогулки: Александр Бернштейн

Математические прогулки: Александр Бернштейн

Механико-математический факультет МГУ им. М. В. Ломоносова был выделен из состава физико-математического факультета в 1934 году. Расположен в Главном здании МГУ им. М. В. Ломоносова

О мехмате

Я учился на механико-математическом факультете МГУ и окончил его в 1969 году. У меня был путь, наверное, довольно стандартный: был школьник, которому понравилась математика, понравилось решать задачи, дальше — участие в олимпиадах. Я жил тогда в городе Баку, был победителем городских и республиканских олимпиад и даже один раз поучаствовал во Всесоюзной олимпиаде в Москве, заняв призовое — не первое — место. И для меня стать математиком было довольно естественным решением. А лучшим местом тогда считался мехмат МГУ. Вот я и стал туда поступать — и поступил. Большинство людей, которые меня там окружали, пришли в математику похожим образом, так что ничего специфического со мной не произошло. И конечно, я хотел заниматься математикой. Но что такое «заниматься математикой», мне было тогда не очень понятно. Казалось, что почти все задачи уже решены. Но назывались новые слова, говорили, что есть какие-то новые проблемы. А что за новые проблемы? Читал, что их очень много, они очень важны. А на самом деле было просто желание заниматься тем, что нравится, что интересно.

В семье у меня математиков не было. Мой папа был инженер, а мама — химик, но они с большим уважением и даже с пиететом относились к науке. Надо еще помнить, что это было начало 1960-х годов — всеобщая эйфория, полет Гагарина, наука… Поэтому учиться на физика или математика — это то, о чем можно было только мечтать. Поэтому семья меня в этом поддерживала.

Изображение: //

О задачах со звездочкой

В школе, в седьмом классе, к нам пришел новый учитель математики — Моисей Львович Галицкий, который только что окончил физико-математический факультет Азербайджанского государственного университета. Он был очень увлекающимся человеком, хотел заниматься математикой, и школа для него была в каком-то смысле промежуточным шагом. Он стал давать нам задачи повышенной сложности, у меня они стали хорошо получаться, он меня выделил, и мы с ним, насколько это можно так назвать, подружились. Я стал решать задачи из задачников для поступающих в престижные вузы, олимпиадные задачи, читать популярные книжки по физике и математике. В Баку в то время не было каких-либо кружков, на которых школьникам рассказывали про математику как науку, даже в самом лучшем общегородском математическом кружке просто решали сложные школьные задачи. Вели эти кружки лучшие школьные учителя города, они прививали нам любовь к математике, которую сами очень любили, и они вызывали и вызывают у меня огромное чувство благодарности.

Моисей Львович рассказывал мне, насколько интересно заниматься математикой, какая это интересная вещь, и это был (к сожалению, несколько лет назад он ушел из жизни) человек, который меня, можно сказать, увлек и направил. Для меня не было тогда большой разницы — математика или физика. Это все было одно физико-математическое направление, хотя интуитивно меня тянуло именно к математике. Но Моисей Львович говорил, что именно математика — царица наук (это общеизвестное выражение я услышал именно от него, поэтому выбрал мехмат).

Об экзамене по политэкономии

Если говорить об университетских преподавателях, то здесь мне, наверное, трудно сказать, что кто-то оказал большое влияние на мою судьбу. В целом это был сам дух мехмата. В университете я учился легко, окончил с тремя четверками, но диплома с отличием, для которого нужно было иметь не более шести четверок, я не получил, так как у меня была тройка по политэкономии социализма. Эта тройка была связана с тем, что на занятиях в эти годы мы словесно хулиганили — вопросами, замечаниями и всем таким. И на экзамене с нами сочлись. Я к экзамену выучил все, ничего сложного там не было, но тем не менее выше тройки мне не поставили. А пересдавать эту тройку на пятом курсе, как сделали многие, я почему-то не стал.

image
//

Яков Григорьевич Синай, российский и американский математик, действительный член РАН, лауреат ряда престижных премий, в том числе премии Абеля (2014)

О выборе задач

На мехмате мне действительно было все интересно, я ходил на семинары, но нельзя сказать, что я чем-то серьезно увлекся или что-то меня зацепило, хотя желание заниматься именно математикой было, ничего другого я не хотел. Но ничем конкретно я не увлекся, хотя учили нас замечательные математики, творцы, и я с огромной благодарностью вспоминаю годы учебы. Моим руководителем в университете был выдающийся математик Яков Григорьевич Синай, с которым мы видимся во время его приездов в Москву и очень тепло разговариваем. Но тогда он уехал на год за границу, я продолжал взаимодействовать с его учениками, но ничем особенно не заинтересовался. Успешно решал какие-то поставленные мне простенькие задачи, но ничего интересного не сделал. Не подумайте, что кто-то чего-то не сделал, — дело было, конечно, только во мне.

Моя жизненная история будет примером того, что большое желание заниматься математикой осуществимо, а в прикладной деятельности успех достигается, как правило, только там, где в реальных проблемах была увидена «математическая сущность», а некоторый новый взгляд на эту сущность и был часто залогом успеха.

Елена Сергеевна Вентцель (литературный псевдоним И. Грекова), советский математик, автор учебников по теории вероятностей и исследованию операций, русский прозаик, доктор технических наук, профессор

В общем, к окончанию мехмата остро встал вопрос, что делать дальше. Так как у меня были хорошие отметки, то можно было пытаться пойти в аспирантуру или в какое-то математикоемкое место, как сделали некоторые мои однокурсники, и так, наверное, и надо было сделать. Но у меня было тогда ложное представление, что есть очень интересные прикладные задачи, в которых очень нужна математика и которые решаются в прикладных исследовательских институтах. Тогда выходили книжки известного математика Елены Сергеевны Вентцель (И. Грековой), выпускника мехмата Маканина — «Испытания», «За проходной» и другие, где и была описана такая романтика. И мне думалось, что я пойду в прикладной институт и займусь «мотивированной» математикой. Тогда рядом со мной не оказалось взрослого человека, который бы мне что-нибудь объяснил и посоветовал, и я сделал то, что сделал, но в итоге все оказалось совсем неплохо для меня с точки зрения занятия математикой, хотя это и было связано с чередой случайных обстоятельств.

Когда мне предложили поучаствовать в «Математических прогулках», то я очень сомневался, так как моя фигура не кажется мне значащей в настоящем математическом мире, но потом мне показалось, что моя жизненная история просто будет примером того, что большое желание заниматься математикой осуществимо, а в прикладной деятельности успех достигается, как правило, только там, где в реальных проблемах была увидена «математическая сущность», а некоторый новый взгляд на эту сущность и был часто залогом успеха.

Николай Пантелеймонович Бусленко, советский учёный-математик, доктор технических наук, профессор, член-корреспондент АН СССР. Известен работами по моделированию на ЭВМ сложных систем, функционирующих в условиях воздействия большого количества взаимозависимых случайных факторов

О случайностях

На пятом курсе на мехмат приезжали представители различных институтов и приглашали к себе на работу. И приехал представитель одного из НИИ — НИИ автоматической аппаратуры, куда я и пошел работать, — член-корреспондент отделения математики Академии наук Николай Пантелеймонович Бусленко. Подчеркну: отделения математики. Это был талантливый инженер, причем из военных, до этого он возглавлял один из центральных институтов Министерства обороны и занимался в том числе монте-карловским моделированием сложных систем на электронно-вычислительных машинах. Тогда это была вещь достаточно новая, в которой он что-то и сам придумал. И он рассказывал, как им нужны математики, какие для них есть важные и интересные задачи. Я напросился к нему на разговор, приехал, он ко мне вышел, мы довольно долго посидели в садике. Слова говорились правильные, хотя теперь я, конечно, прекрасно осознаю разницу между математикой и ее видимостью. Но, главное, он сказал, что мне обязательно для работы за лето нужно изучить теорию полугрупп, и это меня подкупило.

Я разыскал «Полугруппы» — единственную книгу Ляпина по этой теме на русском языке — и все лето ее читал. Как потом мне рассказали его сотрудники, утром в день нашей встречи к Бусленко пришел какой-то человек и стал говорить ему, что полугруппы — это самый адекватный математический аппарат для моделирования систем. На самом деле ничего здесь более глубокого, кроме понятных слов (последовательное применение операций можно назвать их умножением, единичная операция — это «ничего не делать», а обратной операции нет), в этом аппарате, конечно, не было, но на Бусленко этот математический язык произвел в тот момент некоторое впечатление, под которое я и попал. Безусловно, Бусленко был умный и серьезный человек, потом он никогда про полугруппы не вспоминал, но этот смешной факт имел место.

Изображение: //

НИИ автоматической аппаратуры имени академика В. С. Семенихина

предприятие, осуществляющее разработку автоматизированных систем управления военного и гражданского назначения

Но когда в августе я пришел на работу, в отделе кадров мне сказали, что я нужнее в некотором другом подразделении. Я позвонил Бусленко, и он сказал, что это очень интересное и хорошее место, пообещал меня опекать и посоветовал идти туда, и на этом мой «несостоявшийся роман» с Бусленко закончился, что, как я теперь понимаю, было очень хорошо для меня, так как тогда разницу между математикой и ее видимостью я осознать вряд ли бы смог.

Но мне хватило буквально одного-двух дней работы в «назначенном» подразделении, чтобы понять, что никаких математических задач там нет и мое математическое образование там совсем не нужно. Уже сейчас я понимаю, что этот институт одним из первых начал заниматься созданием больших информационно-управляющих систем. Дело было новое, инженерно сложное, никакие вузы еще не готовили таких специалистов, поэтому они брали на работу всех, кого можно, и в особенности выпускников мехмата МГУ или Физтеха, исходя из общих соображений, что раз люди окончили эти сложные вузы, то они, наверное, умные, а умные всегда пригодятся. В общем, путь, который меня ожидал, — это переквалифицироваться в специалиста в какой-то прикладной области, где, быть может, и пригодились бы немного мои математические знания. Но я хотел заниматься математикой и совершенно не хотел менять род деятельности.

Но за эти же несколько дней я также узнал, что в НИИ есть теоретический отдел, в котором три лаборатории. Одну возглавлял тот же Бусленко, вторую — талантливый инженер со склонностью к математике Игорь Алексеевич Ушаков, который занимался теорией надежности, где было много математики, и он активно взаимодействовал с университетскими профессорами Гнеденко, Соловьевым и другими. Может быть, попросившись к нему, я бы был взят и занялся прикладными задачами теории массового обслуживания, но сложилось по-другому — наверное, к счастью для меня.

МИАН

Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, российский научно-исследовательский институт в области математики, один из ведущих мировых научных математических центров

Мне хватило буквально одного-двух дней работы в «назначенном» подразделении, чтобы понять, что никаких математических задач там нет и мое математическое образование там совсем не нужно. Уже сейчас я понимаю, что этот институт одним из первых начал заниматься созданием больших информационно-управляющих систем.

Дело в том, что третьей лабораторией руководил Алексей Александрович Сидоров, выпускник Физтеха, и там я встретил действительно интересные новые математические задачи. Это было связано с тем, что раньше тематика института была связана с тематикой ПВО, а это достаточно математикоемкая область, в которой решаются статистические задачи оценивания параметров траекторий, экстраполяции и другие. И там Сидоров заинтересовался одной популярной задачей, для решения которой он предложил достаточно оригинальное решение. Представьте себе, что на плоскости есть несколько точек, представленных как точки комплексной плоскости, которые неоднократно фотографируются с ошибками. При этом на двух точках из разных фотографий нам неизвестно, являются ли они результатом фотографирования одной и той же точки или разных, и нам нужно оценить истинные точки.

Логин Николаевич Большев, советский математик, специалист в области математической статистики и теории вероятностей.

Идея Сидорова состояла в том, чтобы по каждой фотографии построить полином, корнями которого были бы комплексные точки с фотографии, затем усреднить все полученные полиномы, корни чего и будут оценками неизвестных истинных точек. Особенного математического продвижения эта красивая идея на тот момент еще не получила, поэтому, когда я, выпускник кафедры теории вероятностей и математической статистики, попросился в эту лабораторию, меня готовы были взять. Тем не менее через несколько дней я из своего «назначенного» подразделения улетел на полигон и еще раз убедился, что в нем искать математику бессмысленно, но тогдашние мои начальники оказались неплохими людьми и после пары просьб и разговоров отпустили меня к Сидорову. Да и вообще, проработав в этом НИИ 20 лет, я встречал в основном только хороших людей.

В общем, я стал заниматься решением этой задачи и одновременно посещать московские семинары по математической статистике, в том числе семинар в Математическом институте — формально им руководил Юрий Васильевич Прохоров, а реально — Логин Николаевич Большев, заведующий отделом математической статистики, который на мехмате читал нам курс математической статистики. Оба этих прекрасных ученых и замечательных человека оказали большое влияние на мою дальнейшую судьбу.

Достаточно быстро я получил какие-то математические результаты в этой нестандартной задаче, рассматриваемой, конечно, в большей общности — в многомерной и регрессионной постановках, доказал какие-то теоремы об асимптотическом поведении оценок, рассказал о них на семинарах и опубликовал в журнале «Теория вероятностей и ее применения» — тогда ведущем советском журнале в этой области.

ВМК

Факультет вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М. В. Ломоносова. Был организован в 1970 году на основе кафедры вычислительной математики мехмата МГУ и вычислительного центра МГУ

О защите диссертации и дальнейшем пути

Естественно было защищаться, но был 1972 год, а моя фамилия была Бернштейн. Должен сказать, что моя еврейская фамилия мало мне мешала в жизни, хотя сказать, что совсем никак, не могу, просто в жизни мне в основном везло на порядочных людей в своем окружении. Но с защитой диссертации возникли проблемы: я нигде не был ни аспирантом, ни соискателем, кто-то пробовал помочь мне, а кто-то даже не пытался, но ничего не получалось. И тогда я сделал нечто, что в более зрелом возрасте не стал бы делать, понимая, что ничего не получится. Я пришел к Логину Николаевичу, который хорошо знал мою работу по выступлениям на семинаре, со словами: «Я выпускник кафедры теории вероятностей и математической статистики, кафедра сейчас разделилась, и кафедра математической статистики теперь на факультете ВМК МГУ. Могу ли я как выпускник представить свою диссертацию на свою родную кафедру?» И Логин Николаевич мне сразу ответил, что моя работа ему нравится, но он должен обратиться к Юрию Васильевичу Прохорову, который сейчас возглавляет кафедру, и сразу пошел к нему. Вернувшись, он сказал, что Юрий Васильевич мою работу представляет по публикациям в журнале, готов поддержать ее, но должен обратиться к Андрею Николаевичу Тихонову, который тогда возглавлял факультет.

Война «Судного дня»

Четвертая арабо-израильская война (Октябрьская война), военный конфликт между коалицией арабских стран с одной стороны и Израилем с другой. Началась 6 октября 1973 года с нападения Египта и Сирии и завершилась через 18 дней. Обе стороны понесли значительные потери

Из этого ничего не получилось, и тогда Юрий Васильевич предложил защищаться в Ленинградском отделении Математического института им. В. А. Стеклова. Логин Николаевич сказал, что на днях будет в Ленинграде и поговорит обо мне. Там попросили меня приехать и сделать доклад, после чего согласились принять диссертацию к защите. Правда, попросили, чтобы Логин Николаевич приехал в качестве оппонента, и он согласился. Алексей Александрович Сидоров на самой защите выступил как мой научный руководитель. Тогда я шутил, что только война с Израилем теперь может остановить мою защиту: защита была назначена на 11 октября 1973 года, а 6 октября началась «война Судного дня», и в кулуарах защиты члены совета активно обсуждали эту тему. Но все прошло благополучно, голосование было единогласным, а уже 27 ноября ВАК утвердил решение совета.

Мне вся эта история с защитой дала много больше, чем ее содержательный результат, — огромный нравственный урок. Я много думал, чем могу отблагодарить Логина Николаевича и Юрия Васильевича, которые в непростой и достаточно неблагоприятной ситуации поддержали без всяких видимых причин совершенно чужого им человека. И решил, что только тем, что буду стараться в подобных ситуациях поступать так же, чему и старался следовать

Тогда я шутил, что только война с Израилем теперь может остановить мою защиту: защита была назначена на 11 октября 1973 года, а 6 октября началась «война Судного дня», и в кулуарах защиты члены совета активно обсуждали эту тему.

Григорий Анатольевич Кабатянский, доктор физико-математических наук, член Ученого совета Сколтеха, главный научный сотрудник ИППИ РАН, профессор Факультета компьютерных наук НИУ ВШЭ

Итак, я защитился — и что дальше? А дальше произошло некоторое раздвоение. Дело в том, что к моменту моей защиты теоретический отдел ликвидировали, а лабораторию Сидорова перевели в подразделение, которое занималось наиболее наукоемким направлением в деятельности института — созданием сетей передачи данных (как удачно сказал мой друг и математик Гриша Кабатянский, который после окончания мехмата тоже там работал, «созданием военного интернета»). Замечу, что это было в середине 1970-х годов, когда интернета и подобных сетей не было еще и в Америке. Возникали новые задачи маршрутизации и управления потоками, я стал заниматься именно ими и работал в этом направлении на протяжении 15 лет. Вначале главным разработчиком этого направления был Александр Петрович Кулешов — выпускник мехмата и мой однокашник. Разработанные им методы и алгоритмы до сих пор работают в реальной действующей сети, но далее он стал заниматься более масштабными задачами создания крупномасштабных телекоммуникационных систем, и успех их создания, конечно, связан с именами Игоря Александровича Мизина, главного конструктора, и Александра Петровича как его первого заместителя. В дальнейшем оба заслуженно стали академиками.

Я же продолжал заниматься подобными алгоритмическими задачами довольно серьезно, дошел до заместителя главного конструктора по алгоритмическим вопросам, отвечая в том числе за математическое моделирование сетей. А Гриша Кабатянский активно участвовал в создании алгоритмов помехоустойчивого кодирования в каналах связи. Там действительно возникали интересные востребованные математизированные задачи.

Александр Петрович Кулешов, доктор технических наук, специалист в области информационных технологий и математического моделирования. Академик РАН, ректор Сколковского института науки и технологий (Сколтех)

Но математику я не бросил. Логика развития задач оценивания, решаемых в кандидатской диссертации, привела меня к решению новых статистических задач уже в области проверки статистических гипотез, и я уже в качестве хобби продолжал ими заниматься во внерабочее время: решал возникающие задачи, выступал на семинарах, публиковался и даже участвовал в качестве приглашенного докладчика в I Всемирном бернуллиевском конгрессе. На мои научные интересы в этот период оказал большое влияние Дмитрий Михайлович Чибисов, который до сих пор является лучшим, по моему мнению, математическим статистиком в России. В итоге мне предложили оформить мои результаты в виде докторской диссертации, которую я успешно защитил на ВМК МГУ в 1987 году.

О переменах

В конце 1980-х годов все поменялось. С одной стороны, стал разваливаться военно-промышленный комплекс, исчезла та внутренняя мотивированность (я сейчас ни в коем случае не говорю о деньгах — с ними все было еще в порядке), в силу которой я занимался прикладными задачами. И поэтому из НИИ ушли Кулешов, Кабатянский, я и другие мои коллеги и друзья, причем в разные стороны. С другой стороны, прекратились научные математические семинары: их просто перестали посещать. Многие уехали, а у оставшихся людей просто пропал стимул встречаться и что-то обсуждать. А так как мои занятия математикой подогревались именно моей вовлеченностью в статистическое комьюнити, в котором я ощущал себя его частью, и именно это было морально очень значимо для меня, то и я, по сути, прекратил заниматься теоретической математикой, перестал доказывать теоремы.

Изображение: //

Не знаю, как бы развивалась моя дальнейшая жизнь. Я работал в довольно бессмысленном месте, где не было ни математических, ни мотивированных прикладных задач, но произошла очередная случайность, хотя и имеющая совершенно неслучайное происхождение, и я оказался вовлеченным в некоторую прикладную деятельность, в которой были востребованы и мои старые результаты из кандидатской диссертации. Я вернулся к старой задаче, но уже с другими знаниями и умениями, существенно продвинулся в ней и увидел, что в статистической задаче есть более глубокое математическое, алгебро-геометрическое содержание. К сожалению, я переключился на другие задачи, даже полученные новые, еще математические результаты я не опубликовал и тем более не углубился в задачу, хотя ясно увидел ее более глубокий внутренний смысл. В это время я решал и другие мотивированные прикладные задачи, и некоторые решения были связаны только с тем, что мое математическое образование и опыт позволяли по-иному, чем очень квалифицированные инженеры, смотреть на задачу и формулировать ее в математических терминах, и даже их стандартные математические решения давали тогда значимый прикладной эффект.

Я работал в довольно бессмысленном месте, где не было ни математических, ни мотивированных прикладных задач, но произошла очередная случайность, хотя и имеющая совершенно неслучайное происхождение, и я оказался вовлеченным в некоторую прикладную деятельность, в которой были востребованы и мои старые результаты из кандидатской диссертации.

Но потребность в этой деятельности по внешним обстоятельствам пропала, и снова реального дела нет. Но очередной поворот судьбы. Академики Фортов, тогда вице-президент Академии, и Станислав Васильевич Емельянов пригласили Александра Петровича Кулешова в Академию наук, чтобы использовать его богатый научный, инженерный и управленческий опыт для развития инновационных проектов в области информационно-телекоммуникационных технологий. А он пригласил меня. И очередная случайность, что в «Аэробусе» презентация Кулешова о возможностях российской науки и, главное, личные разговоры с ним привели к тому, что в «Аэробусе» Кулешову поверили, решили попробовать и заказали некоторую поисковую прикладную работу, в существенной степени основанную на анализе данных. Начинали мы эту работу фактически вдвоем, потом по мере развития проекта к нам приходили молодые талантливые ребята. Одним из первых пришел Женя Бурнаев, с которым мы до сих пор вместе работаем, а в чисто прикладной авиационной части нас консультировал и внес большой вклад талантливый аэродинамик из ЦАГИ Юрий Николаевич Свириденко, и в результате проект успешно состоялся. Но главным результатом проекта стало становление в стране нового прикладного и очень наукоемкого направления предсказательного моделирования по данным, что определило мою жизнь до сегодняшнего дня.

Когда я сейчас читаю книжки, которые написали такие гении, как Владимир Игоревич Арнольд или Сергей Петрович Новиков, слушаю рассказы Синая, то нахожу в них утверждение, что именно задачи, которые возникают в физике и других реальных областях, развивают математику, а математика благодарно возвращает новые методы, которые продвигают, обогащают эти области. Совсем недавно прочитал, что один из величайших математиков всех времен, «король математиков» Гаусс значительную часть своей жизни занимался самыми различными приложениями, используя свои действительно великие разносторонние математические результаты, часть из которых и была мотивирована этими приложениями. Жизнь великого Колмогорова свидетельствует о том же.

Искусственная нейронная сеть

математическая модель, а также ее программное или аппаратное воплощение, построенная по принципу организации и функционирования биологических нейронных сетей

И мой прошлый опыт в математике (или около математики), особенно последнего десятилетия, убедил меня в том, что в реальном мире постоянно возникают новые математические задачи, очень часто прямое использование известных методов невозможно и настоящий успех в прикладных задачах достигается тогда, когда на эти задачи начинают смотреть немного «математически по-другому», нетрадиционно. Те вещи, в которых при мне и иногда с моим участием произошел прорыв, стали возможны именно потому, что кто-то сумел посмотреть на них математически по-новому.

Например, модная сейчас тема — нейронные сети, большие данные. Обработкой и анализом данных занимались всегда, метод наименьших квадратов Гаусс придумал более 200 лет назад. А сейчас появилась возможность сохранять большое количество данных, быстро их обрабатывать, передавать их быстро и на большие расстояния. И стало возможно ставить и решать совершенно новые задачи, например: задачи обработки и понимания изображений, медицинской диагностики, распознавания и другие. Это привело к созданию новой университетской и академической дисциплины науки о данных, в которой стали развиваться совершенно новые математические подходы и методы. Математическая статистика к этому моменту имела дело в основном с задачами, в которых носители данных являются линейными подпространствами. Но в реальном мире эта модель не работает, и для таких данных стали развиваться различные эвристические методы, например нейронные сети, которые иногда прекрасно работали, а иногда давали полную ерунду.

Мой прошлый опыт в математике (или около математики), особенно последнего десятилетия, убедил меня в том, что в реальном мире постоянно возникают новые математические задачи, очень часто прямое использование известных методов невозможно и настоящий успех в прикладных задачах достигается тогда, когда на эти задачи начинают смотреть немного «математически по-другому», нетрадиционно.

Карл Пирсон, английский математик, статистик, биолог и философ; основатель математической статистики, один из основоположников биометрики

Но когда математики задумались и поняли, чем вызваны частные успехи нейронных сетей, то были предложены совсем другие методы или в нейронные сети было внесено новое содержание, в результате были получены новые, существенно более интересные решения. Например, в задаче снижения размерностей в 2000 году была предложена нелинейная модель многомерных данных (для линейной модели ее решение — метод главных компонент — предложил еще Пирсон в начале прошлого века), в соответствии с которой реальные многомерные данные лежат на многообразии меньшей размерности, вложенном в высокоразмерное пространство наблюдений. И этот появившийся геометрический взгляд на данные сразу породил кучу новых алгоритмов, и репликативные нейронные сети для этой задачи были забыты. И сейчас этот подход, называемый моделированием многообразий (Manifold learning), успешно развивается как в математическом направлении (появился, например, топологический анализ данных), так и в многочисленных приложениях, например в нейроимиджинге.

Но 10 лет назад появился новый класс нейронных сетей — так называемые глубинные сети, и они творят чудеса. Но почему и как работает этот чисто эвристический подход, до сих пор не понимает никто. На самых престижных конференциях по анализу данных организуются круглые столы для обсуждения того, какие fundamentals лежат в их основе, но ответа пока нет. Может быть, этим не заинтересовались действительно великие математики, может быть, чего-то не хватает в самой математике, требуется новый язык, новые постановки и результаты, но я верю, что это обязательно произойдет, а то, что это вызовет, какие новые прикладные задачи будут решены, даже трудно себе представить.

Юлий Анатольевич Шрейдер, советский и российский математик, кибернетик и философ

О любопытстве

Когда я был школьником, на меня большое впечатление произвела книга Шрейдера «Что такое расстояние?». Оказалось, что такое понятие, как расстояние, носит более общий характер и можно вводить разные расстояния. В городе, скажем, расстояние между двумя точками не евклидово, а равно длине кратчайшего пути, которым я могу попасть из точки в точку, не летая, а обходя дома и другие препятствия. И это произвело на меня сильное впечатление. Оказывается, есть математические способы, которые описывают различные ситуации единообразно и применяют к ним общие методы. Поэтому такие вещи, которые наглядно объясняют сложные научные явления, крайне важны. В мое время эту задачу выполняли книги, и лишь в некоторых научных центрах можно было вживую узнавать новое у замечательных ученых или популяризаторов, посещая всякие кружки, лекции.

Сейчас круг возможностей шире: есть телевидение, интернет. Но всегда оставался один вопрос: а как человек вообще этим заинтересуется, почему он начнет об этом читать?

Сейчас математикой можно заинтересовать пониманием того, что в основе различных реальных устройств лежат результаты математических исследований. Но самое главное здесь — живое слово какого-то человека, школьного учителя, который может рассказать людям что-то так, что они заинтересуются. Потому что ни с того ни с сего человек, как правило, не начнет читать популярные книги по той же математике. Сейчас появилось очень много хороших учебников по математике, и даже в обычных учебниках могут писать что-то мелким шрифтом, давать интересные пояснения или примеры, задачи со звездочками. И когда дети учатся, у них хорошо получается простая школьная математика и им интересно, хочется узнать больше, то они начинают двигаться в этом направлении. Но если учитель сам не очень любит математику и не является в душе математиком, то он выберет учебник, где таких вещей просто нет, либо не обратит на них внимания, механически обучая умножать и делить. Так что в преподавании математики роль играют два фактора: учитель, которому это интересно, и хорошие учебные пособия. Какие-то примечания в учебнике кто-то может захотеть прочитать просто из любопытства, а если учебник с самого начала приземленный, то у ребенка даже не будет шанса заинтересоваться. А когда человек захочет выйти на новый уровень знания, ему потребуется вся мощь той самой популяризации — в книгах, телевизоре, интернете.

В преподавании математики роль играют два фактора: учитель, которому это интересно, и хорошие учебные пособия. Какие-то примечания в учебнике кто-то может захотеть прочитать просто из любопытства, а если учебник с самого начала приземленный, то у ребенка даже не будет шанса заинтересоваться.

О системе ценностей

Обучать математике нужно, на мой взгляд, в двух направлениях. Первое — это когда математике учат так, как нас учили на мехмате, — настоящей математике, готовя будущих математиков, но здесь, конечно, нужно ясно осознавать, что далеко не все станут эффективными математиками и эти люди также должны найти свое место в мире. Здесь, мне кажется, большую роль играют преподаватели: когда готовят чистых математиков, то преподавать должны настоящие творцы, и в мое время так и было. Около них возникали семинары, целые научные школы. Но, насколько я могу судить, мехмата в том виде, в котором его знал я, уже нет, хотя там до сих пор работают и хорошие математики. Но массового занятия математикой как такового уже нет.

Несколько лет назад была встреча выпускников мехмата, с которой я пришел очень расстроенным. Выступал декан факультета, и когда он говорил о достижениях факультета, то он даже не назвал тех действительно выдающихся математиков, которые продолжают работать на мехмате. Главным достижением, по его словам, было то, что несколько сотрудников получили премию правительства Москвы. Это, с его точки зрения, наверное, самое большое, чего может добиться математик. А еще команда мехмата на спортивных соревнованиях по какому-то виду спорта заняла второе место по университету. Куда с такой системой ценностей?

null
null

Сейчас возник математический факультет в Высшей школе экономики, где действительно работают люди, которые увлечены математикой, и к ним тянутся. Занятия математикой — это когда люди хотят стать профессиональными математиками, активно преподавать и успешно заниматься любимым делом.

А есть обучение прикладной математике — это как раз то, чем мне много приходилось заниматься. Я учил студентов той математике, с которой они встретятся, придя заниматься этими самыми системами управления, в том числе созданием компьютерных сетей. Там я чувствовал пользу от преподавания, потому что проблемы, которые потом решали наши выпускники, были интересны, важны и актуальны. Люди знали, чем они будут заниматься, и хотели узнать об этом больше. Я получал от этого большое удовлетворение.

Сколковский институт науки и технологий (Сколтех) готовит магистров и аспирантов в области информационных, энергетических, биомедицинских, космических и новых производственных технологий

Потом наступил какой-то провал, когда вообще никого ничего не интересовало. А сейчас снова стали востребованы вещи, связанные с новыми информационными технологиями, в том числе с наукоемкими вещами. И на факультете компьютерных наук в Высшей школе экономики, и на факультете управления и прикладной математики МФТИ чувствуется, что многим студентам это интересно, причем интересно и с прагматической точки зрения: если они хотят добиться успеха, то им нужны математические знания, и они действительно тянутся за ними.

О проблемах преподавания

На мехмате профессора относились к преподаванию очень серьезно и видели в этом какую-то свою миссию, все было очень хорошо продумано. Наряду с обязательными курсами было огромное количество авторских спецкурсов по выбору, где профессор мог рассказать о том, что ему казалось интересным. Сейчас в большинстве вузов системы курсов по выбору почти нет. Это связано, в частности, с оплатой: если человек читает курс, значит, ему нужно платить деньги. В Сколтехе описанная выше система, которая была на мехмате и есть в западных вузах, как раз внедряется.

null
null

Но проблема, мне кажется, сейчас заключается в том, почти отсутствует методическая подготовка к обучению. Студенты приходят в магистратуру — какой математике учить людей, которые займутся ее приложениями? Это проблема очень старая. Я помню, были такие книжечки, например «О том, чему надо учить в математике», которые написал человек по фамилии Кудрявцев, завкафедрой высшей математики в МФТИ. И он говорил, что если мы готовим инженера, то не надо ему рассказывать, скажем, доказательства теорем методом от противного или строго доказывать наглядно очевидные вещи. И есть много людей в том же МФТИ, которые потом на старших курсах будут заниматься приложениями, а им рассказали много лишнего, но при этом не рассказали много очень важных и нужных вещей, например функциональный анализ. И поэтому уже в магистратуре эту необходимую математику им приходится рассказывать в рамках других курсов. В Сколтехе, например, есть специальный адаптационный математический курс, где студентам рассказывают то, что им должны были дать в рамках их специальности в бакалавриате, но не дали.

Нужно понимать, что люди будут использовать знания по-разному и их нужно по-разному учить: чему-то надо научить всех, а других нужно учить немного другому и по-другому. И это важно для всех наук, не только для математики.

Студенты приходят разные: кто-то хочет заниматься только развитием именно научных вещей, а кто-то — только приложениями, а кто-то будет заниматься чем-то промежуточным. Нужно понимать, что люди будут использовать знания по-разному и их нужно по-разному учить: чему-то надо научить всех, а других нужно учить немного другому и по-другому. И это важно для всех наук, не только для математики. У людей разные пристрастия и представления, но главное — идти назад от конечной цели образования, а здесь тоже возможны самые глубокие разночтения. Поэтому важна продуманная методологическая основа: как учить, чему учить, в какой последовательности. Мне кажется, что во многих вузах не смогут дать ответ на вопрос, а кого они готовят, зачем читают тот или иной курс, почему в нем изучают то, а не это.

Процесс действительно очень сложный, и только большими усилиями заинтересованных людей после больших дискуссий в Сколтехе появилась первая сбалансированная программа в области науки о данных.

Российский научный фонд

создан в ноябре 2013 года по инициативе Президента Российской Федерации в целях поддержки фундаментальных и поисковых исследований, развития научных коллективов, занимающих лидирующие позиции в определённой области науки

О востребованности

Общие беды в современной науке в России связывают с невостребованностью, что определяется выбранными в стране приоритетами (или просто их отсутствием) и состоянием экономики. Как следствие — низкое финансирование, отсутствие мотивации и другие очевидные вещи, в том числе общественный статус ученого, упавший ниже плинтуса. Соответственно, молодые люди не видят для себя больших перспектив и не понимают, зачем это надо. Если я пойду в науку, смогу ли я этим заниматься всегда? Смогу ли я при этом жить достойно?

Но сейчас появились и другие каналы финансирования: через Российский научный фонд, научно-технические программы Минобрнауки и другие. Это позволяет, выиграв грант, несколько лет заниматься своими исследованиями, и мне кажется, что небольшое число настоящих работоспособных научных коллективов достаточно хорошо поддерживается. Есть вузы, где и зарплаты на достойном уровне, и гранты, вообще делаются отдельные правильные шаги. Но, конечно, общей востребованности эта вещь не подменяет, и из одного финансирования ничего не возникает, и проблема не только в престиже ученого в целом или в каких-то материальных, общих вещах.

Изображение: //

Но мне кажется, что более глубокая проблема науки в России лежит в другой плоскости. Представим себе умозрительно, что науке дали огромные деньги просто на ее развитие или на воображаемый амбициозный проект вроде заселения Марса. Станет ли от этого наука в России великой? Не уверен, так как все ресурсы будут распределять люди. И где гарантии хоть какого-то честного распределения?

О репутации и цинизме

Когда человек становится перед каким-то выбором, то он руководствуется двумя вещами, правда, разные люди в разной пропорции. Первая вещь — это моральные нормы, воспитание, внутренние ценности и убеждения, определяющие, что можно делать, а что нельзя. А вторая — если я поступлю не очень хорошо, то что мне за это будет, если об этом станет известно? Люди по природе разные: кого-то от совершения дурного поступка остановит воспитание, а кого-то — просто Уголовный кодекс.

В науке дело сложнее: ученые делят деньги научных фондов, голосуют за присуждение ученых степеней, голосуют при выборах в Академию, при избрании на должности, участвуют в экспертизе почти всего. И здесь между порядочностью и уголовно наказуемыми деяниями большая область, где должны соблюдаться явно прописываемые или неявно предполагаемые этические нормы, и только угроза потери научной репутации может стать реальным регулирующим фактором. Если для человека важна его репутация — в данном случае научная репутация, — то это в любом случае заставляет его придерживаться того, что называется научной чистоплотностью.

Изображение: //

На Западе, кроме обычных моральных вещей, ученые, как правило, сильно дорожат своей репутацией, потеря которой может стать причиной ухода из профессии. А в России в целом сейчас есть проблемы с моральными ценностями (я говорю не о пресловутых духовных скрепах), и тот цинизм, который расцвел и в научной среде, принимает запредельный характер. Даже ставшие широко известными очевидные случаи со списанными диссертациями, победившими на конкурсе псевдонаучными проектами, выборами в Академию далеких от науки людей во многих случаях не приводят даже к ожидаемым организационным выводам, а о потере своей научной репутации (или еще раз подтвержденном ее отсутствии) непосредственные организаторы и активные участники таких безобразий совершенно не переживают: ее с них никто не спросит. Люди с безукоризненным моральным и научным авторитетом есть, но их мнение часто мало что значит при принятии научных или научно-организационных решений. А пока это так, то эффект от финансовых вливаний зависит в основном от того, в чьи руки эти деньги попали, и никаких моральных регулирующих механизмов, подкрепленных реальными потерями при нарушении научной этики, нет.

Люди с безукоризненным моральным и научным авторитетом есть, но их мнение часто мало что значит при принятии научных или научно-организационных решений. А пока это так, то эффект от финансовых вливаний зависит в основном от того, в чьи руки эти деньги попали, и никаких моральных регулирующих механизмов, подкрепленных реальными потерями при нарушении научной этики, нет.

Институт проблем передачи информации им. А. А. Харкевича Российской академии наук (ИППИ РАН), основан в декабре 1961 года.

Кроме того, мы потеряли какую-то массовую заинтересованность. На рубеже 1980–1990-х годов я практически перестал заниматься наукой. Для меня математика была как хобби: мне было важно собраться со своими единомышленниками, друзьями, поговорить о том, что нам было интересно. Но это во многом пропало, как и пропали многие стимулы. А как раз тот факт, что кому-то интересен ты и твои занятия наукой, является очень важной мотивацией. И об этом важно не забывать, даже работая над чисто прикладными задачами. Мне, правда, здесь достаточно повезло: работая в Институте системного анализа, Институте проблем передачи информации, Сколтехе, Высшей школе экономики, я ощущал заинтересованность окружающих меня людей, желание общаться, посещать какие-то семинары, но относительно все страны — это очень небольшая часть людей.

Об успехе

Многие годы моя работа не была напрямую связана с математикой, хотя то, чем я занимался, было ново, интересно, востребовано, все вокруг хотели успеха. Под успехом подразумевался успех всего дела, а не только личный. Это было очень сильное чувство, которое заставляло людей заниматься этим, не жалея ни сил, ни времени. То же самое должно быть и в науке. Люди должны гордиться научными прорывами, в которых они приняли участие, ведь без этого ничего не будет развиваться. Создание такого духа, стремления к такому успеху, наверное, является самым главным. И конечно, люди должны жить при этом достойно.

Александр Бернштейн
Александр Бернштейн
профессор, доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник Сколковского института науки и технологий, ведущий научный сотрудник ИППИ РАН, профессор управления и прикладной математики МФТИ, профессор факультета компьютерных наук НИУ ВШЭ