Главы | Шварцшильдовская черная дыра

Сохранить в закладки
3187
12
Сохранить в закладки

Отрывок из книги Стивена Габсера, посвященный черной дыре Шварцшильда

Совместно с издательским домом «Питер» мы публикуем главу из книги физика Стивена Габсера «Маленькая книга о черных дырах», посвященной теории относительности, черным дырам и их свойствам.

Теперь, когда мы овладели основными положениями специальной и общей теории относительности, мы готовы начать разговор о черных дырах. Начнем его с черной дыры Шварцшильда. Если говорить совсем кратко, то шварцшильдовская черная дыра — это описание ответа пространства-времени на присутствие точечной массы. Используя выражение «ответ», мы тем самым возвращаемся к идее о том, что вещество управляет искривлением пространства-времени и что оно делает это посредством уравнений поля Эйнштейна Gµν = 8πGNT µν/c4. Искривленное пространство-время математически описывается десятью функциями метрического тензора. Уравнения Эйнштейна говорят о том, что ни один прежний набор этих десяти функций нас не устроит; требуются функции, меняющиеся в пространстве и времени единственно возможным образом, а именно образующие решение уравнений поля. Немецкий астроном и физик Карл Шварцшильд нашел такое решение. Он опубликовал свою знаменитую работу в 1916 году, хотя из его письма Эйнштейну, написанного в декабре 1915 года, ясно, что в это время, то есть очень скоро после того, как Эйнштейн полностью сформулировал свои уравнения поля, решение уже было им найдено.

Понять решение Шварцшильда оказалось очень трудно. Даже Эйнштейну, по-видимому, остались непонятны некоторые из его основных моментов, в частности гладкость горизонта. Что же представляет собой эта черная жемчужина теории тяготения, которая упала Шварцшильду прямо в руки, но которую даже Эйнштейн не смог полностью оценить?

Прошло около 50 лет после того, как Шварцшильд нашел свое решение, прежде чем физическое значение его открытия начало проясняться. Мы уже отметили некоторые стороны новой физической картины: в частности, идею горизонта событий, из-под которого не может выйти ни один сигнал, и свойства недр черной дыры, внутри которой время направлено радиально к ее центру. Для нужд астрофизики очень важно понимать, как вычислить орбиты массивных объектов, захваченных гравитационным притяжением шварцшильдовской черной дыры, и поэтому мы посвятим значительную часть этой главы описанию таких орбит и тому, как они выглядят с точки зрения удаленного наблюдателя. Мы также приложим все силы, чтобы объяснить (при отсутствии каких-либо экспериментальных подтверждений!), что, как нам кажется, должно произойти с объектом, который падает в шварцшильдовскую черную дыру. Наконец, мы обсудим два неожиданных следствия существования шварцшильдовских черных дыр — белые дыры и кротовые норы, которые, вероятно, не имеют отношения к черным дырам, образованным в результате гравитационного коллапса старых звезд, но тем не менее являются частью современного понимания решения Шварцшильда. Но прежде чем мы всем этим займемся, попробуем сначала прямо ответить на вопрос: что представляет собой метрика Шварцшильда?

Вдали от горизонта она очень близка метрике Минковского, которую мы описали в главе 1. Другими словами, вдали от масс вещества пространство-время почти плоское и наблюдатели, находящиеся в нем, могут адекватно описать свои движения, а также эффекты относительного движения,  такие как замедление времени и сокращение длины,  с помощью одной лишь специальной теории относительности. С приближением к горизонту начинает действовать гравитационное замедление времени, о котором мы говорили в главе 2. Как отмечалось в предисловии, на горизонте событий характер хода времени полностью меняется, но, так как это очень сложная история, мы пока ограничимся областью пространства-времени вне горизонта. Здесь замедление времени полностью описывается функцией хода, которая является одним из компонентов метрики Шварцшильда. Остальная часть метрики Шварцшильда описывает трехмерное искривленное пространство вокруг черной дыры, которое находится под действием ее тяготения. Мы можем представить эти три пространственных измерения как радиус плюс два угловых измерения. Тогда двигаться в радиальном направлении означает двигаться либо прямо вверх, от черной дыры, либо вниз, в направлении ее центра. Движение по одному из угловых измерений означает, что мы обращаемся вокруг черной дыры на одном и том же радиальном расстоянии от нее.

Может показаться немного непонятным, чтó в решении Шварцшильда означает слово «радиус», так как вы не можете аккуратно измерять расстояния от центра черной дыры: под горизонтом событий находится сингулярность, которая разрушает все, что с ней соприкасается. Правильнее будет представлять себе радиус, измеряя длину окружности, в центре которой расположена сингулярность. Эта окружность может целиком лежать вне горизонта событий, на самом горизонте или даже внутри него. Если она лежит вне горизонта, то можно представить себе мысленный эксперимент, который позволил бы нам измерить длину окружности. Для этого потребовалось бы очень много наблюдателей: назовем их Алиса, Боб, Билл, Брюс, Барни и так далее, заканчивая Бушем. У каждого из них есть ракета, на которой можно добраться до любой точки на окружности. Дадим каждому наблюдателю по лазеру, а Алисе еще и секундомер. В соответствии с нашей инструкцией, Алиса должна послать лазерный импульс одному из своих соседей (скажем, Бобу) и в тот же момент запустить секундомер. Как только Боб получит от Алисы лазерный импульс, он тут же посылает из своего лазера импульс Биллу, Билл — Брюсу и так далее по кругу. В конце концов Буш посылает сигнал Алисе, и, получив его, она останавливает секундомер. Умножив общее время, записанное секундомером Алисы, на скорость света, мы получим длину, которую можно с полным основанием назвать длиной окружности, а ее радиус легко вычислить, разделив длину окружности на 2π.

Определив радиус именно таким образом, мы можем теперь вернуться к явлению, которое было описано в главе 2: к тому, что пространство немного «раскрывается» в тех областях, где время замедляется. Допустим, у нас есть черная дыра, содержащая ровно одну солнечную массу, так что ее горизонт имеет радиус 3 километра. Теперь рассмотрим две окружности с центром в точке сингулярности: одну радиусом 10 километров, а другую радиусом 10 километров плюс 1 метр. Как должно быть ясно из предыдущего абзаца, когда мы говорим, что радиус первой окружности равен 10 километрам, мы имеем в виду, что ее длина равна 2π, умноженным на 10 километров; те же рассуждения можно повторить и для второй, чуть большей окружности. В плоском пространстве эти две окружности отстояли бы друг от друга ровно на 1 метр, то есть если бы вам надо было перейти с первой окружности на вторую в радиальном направлении, вам просто пришлось бы пройти 1 метр по направлению от центра.

В решении Шварцшильда вам придется отойти от первого круга чуть дальше, чем на 1 метр, — примерно на 1,2 метра. Это просто голый факт. В решении Шварцшильда гравитационное красное смещение замедляет время ровно во столько же раз, во сколько растягивается радиус. Другими словами, функция хода, описывающая скорость течения времени, идеально коррелирует с другой метрической функцией, определяющей дополнительное расстояние, которое вам придется пройти в радиальном направлении от центра по сравнению с расстоянием, соответствующим плоскому пространству.

В нескольких предыдущих абзацах мы уже рассказали почти обо всех аспектах исходного решения, полученного Шварцшильдом. Осталось поговорить только об одном: о точном выражении для функции хода. Вдали от горизонта она равна единице — это означает, что время идет с той же стандартной скоростью, что и в плоском пространстве-времени. На горизонте функция хода равна нулю: обычное время здесь останавливается. Фактически это один из способов понять, что собой представляет горизонт. Между этими двумя положениями функция хода плавно меняется от нуля до единицы. Как именно это происходит? Функция хода равна квадратному корню из единицы минус некоторая постоянная, деленная на радиус. Эта формула немного трудна для произнесения, поэтому запишем ее: N=√(1-rs/r), где N — функция хода, r — радиус, а rs  — радиус горизонта, называемый радиусом Шварцшильда. С точностью до некоторых множителей шварцшильдовский радиус равен массе черной дыры. Все эти подробности Шварцшильд сумел извлечь из решения уравнений Эйнштейна.

Неудобство решения Шварцшильда заключается в том, что функция хода на горизонте обращается в ноль, а радиальное растяжение, соответственно, становится бесконечным. В течение долгого времени считалось, что это, казалось бы, сингулярное поведение указывает на какую-то неправильность в метрике Шварцшильда. На самом деле неправильность заключается в координатах, которые мы выбрали для описания времени и радиуса: эти координаты лучше всего приспособлены для описания наблюдателей, парящих в фиксированных точках вне горизонта. Функция хода, которую мы обсуждали, тоже описывает гравитационное красное смещение именно для таких наблюдателей. То, что функция хода обращается в ноль на горизонте, просто означает, что парить, находясь на горизонте черной дыры, невозможно! Неудивительно, что метрика выглядит сингулярной с невозможной точки зрения! Вот если бы кто-нибудь описывал метрику Шварцшильда с точки зрения наблюдателя, свободно падающего в черную дыру, в положении горизонта не было бы ничего сингулярного или просто необычного. Различие между парящим и свободно падающим наблюдателями можно отразить преобразованием координат, несколько напоминающим преобразования Лоренца, но более сложным. После такой замены координат, в которых смешаны время и радиус, решение Шварцшильда на горизонте становится идеально гладким. Остается только сингулярность в центре черной дыры.

В природе решение Шварцшильда встречается нам буквально на каждом шагу. Гравитационное поле Земли можно очень хорошо приблизить простой шварцшильдовской метрикой искривленного пространства-времени. По сути дела, метрика пространства-времени в окрестности любого идеального сферическогo распределения масс должна точно совпадать с метрикой Шварцшильда. Отклонения от шварцшильдовской метрики на Земле (точнее, непосредственно над ее поверхностью) возникают потому, что Земля не идеально круглая, она вращается, и мы немного ощущаем гравитационное притяжение других массивных тел (в особенности Луны).

Но если мы живем в метрике Шварцшильда, не означает ли это, что горизонт черной дыры притаился гдето под нами, вблизи центра Земли? К счастью, нет! Решение Шварцшильда описывает только геометрию пространства-времени вне земной поверхности. Внутри Земли действует другое решение уравнений поля Эйнштейна, и оно не имеет никаких сингулярностей (фактически до самого центра Земли геометрия пространства-времени остается почти плоской). Так как все планеты и звезды, известные во времена, когда Шварцшильд сделал свое открытие, далеко превосходят по размерам свои шварцшильдовские радиусы, было очень заманчиво постулировать, что свойства реальной материи никогда не позволят звездам сконцентрироваться в такой маленький объем, что их радиус окажется хоть сколько-нибудь близок к шварцшильдовскому. И хотя за последующие годы было собрано много доказательств неверности этого постулата, только в 1960-х идея черных дыр по-настоящему вошла в обиход теоретической физики.

Парадоксальное свойство решения Шварцшильда состоит в том, что оно призвано описать отклик пространства-времени на присутствие в нем точечной массы, но сама эта масса не является частью уравнений, которые решаются при помощи метрики Шварцшильда. Точнее, метрика Шварцшильда является решением уравнения поля Эйнштейна! в вакууме! , Gµν = 0, согласно которому материи нигде нет, или, по крайней мере, ее нет вне горизонта. Внутри горизонта формулы Шварцшильда все еще работают, и по-прежнему верно, что они являются решением уравнений поля Эйнштейна в вакууме вплоть до нулевого значения радиуса. Но на нулевом радиусе метрика Шварцшильда пренеприятнейшим образом обращается в бесконечность. Причем это происходит с точки зрения любого наблюдателя. Проблема оказывается гораздо серьезнее кажущейся сингулярности на горизонте, о которой мы только что говорили. Можно было бы представить себе эту центральную сингулярность как место, в котором сосредоточена вся масса черной дыры. Но только стоит помнить, что «место» здесь будет совершенно неподходящим словом; уж лучше тогда было бы сказать «время», потому что внутри горизонта, о чем мы еще поговорим ниже более подробно, радиус есть время. Скорее всего, общая теория относительности и даже сама геометрия не способны обеспечить адекватное описание тяготения в непосредственной близости к этой центральной сингулярности. Здесь нужна какая-то другая теория, например квантовая теория тяготения или теория струн.

Над материалом работали

Читайте также

Внеси свой вклад в дело просвещения!
visa
master-card
illustration