Совместно с издательством «Манн, Иванов и Фербер» мы публикуем главу из книги «Как не ошибаться. Сила математического мышления» профессора математики Университета Висконсин Джордана Элленберга, посвященной прикладному применению математики.

Линейность

В рабочем докладе, который не так давно составили экономисты Майкл Спенс и Сендиле Хлатшвайо, представлена поразительная картина роста занятости в Соединенных Штатах Америки []A. Michael Spence, Sandile Hlatshwayo. The Evolving Structure of the American Economy and the Employment Challenge. Council on Foreign Relations, 2011, Mar».

Америку принято считать (и это очень радует) промышленным гигантом, заводы которого день и ночь неустанно производят необходимые миру товары. Однако современная реальность существенно отличается от такого представления. В период с 1990 по 2008 год численность рабочей силы в США увеличилась в целом на 27,3 миллиона рабочих мест. Из этого количества 26,7 миллиона рабочих мест (или 98%) были созданы в так называемом неэкспортном секторе, другими словами, в том секторе экономики, в котором нельзя привлекать сторонние ресурсы и который не выпускает продукцию для экспорта (органы государственного управления, здравоохранение, розничная торговля, общественное питание).

Рекомендуем по этой теме:
15239
Неевклидова геометрия в природе

Эта цифра может рассказать о многом в новейшей истории американской промышленности, и прежде всего — как именно она развивалась за последний период. Более того, этот показатель широко эксплуатируется в самых разных источниках: от журнала The Economist []Move Over. Falling labour mobility in America may reflect a more efficient market // Economist, 2012, July 7.» до последней книги Билла Клинтона []William J. Clinton. Back to Work: Why We Need Smart Government for a Strong Economy. New York: Random House, 2011, p. 167.».

Однако необходимо тщательно проанализировать, что означает данная цифра; ведь 98% — совсем недалеко от 100%. Утверждают ли результаты исследования, что рост занятости максимально сосредоточен в неэкспортном секторе экономики? Именно так оно и выглядит — однако здесь не все верно. За период с 1990 по 2008 год уровень занятости в экспортном секторе повысился всего на 620 тысяч рабочих мест — что соответствует действительности. Но ситуация грозила быть еще хуже, поскольку количество рабочих мест в этом секторе могло сократиться! Именно это произошло в период с 2000 по 2008 год: экспортный сектор потерял около 3 миллионов рабочих мест, тогда как в неэкспортном секторе этот показатель возрос на 7 миллионов рабочих мест. Таким образом, на неэкспортный сектор пришлось 7 миллионов рабочих мест из общего прироста в размере 4 миллионов, или 175%!

Лозунг, который следует взять на вооружение, выглядит так: не говорите о процентах от величин, если эти величины могут быть отрицательными.

Такой подход кому-то покажется чрезмерно осторожным. Отрицательные величины — это числа, а значит, их можно умножать и делить, как и всякие другие числа. Но даже здесь не все так просто, как кажется. Для наших математических предшественников было далеко не очевидно, что отрицательные величины — это тоже числа, ведь по большому счету они не передают количество так, как это делают положительные числа. У меня в руках может быть семь яблок, но не минус семь[]Вспомним старый студенческий анекдот: «На лекцию собралось трое студентов, вдруг пятеро встают и уходят. Профессор бурчит себе под нос: «Ну вот, еще двое придут, и совсем никого не останется»». Прим. М.Г.».

Великие алгебраисты XVI столетия, такие как Джироламо Кардано и Франсуа Виет, ожесточенно спорили по поводу того, является ли произведение двух отрицательных чисел положительным числом. Точнее говоря, они понимали, что принцип непротиворечивости требует, чтобы это было так, но расходились во мнениях, является ли это доказанным фактом или только удобным элементом системы обозначения. Когда среди решений уравнений, которые изучал Кардано, появлялись отрицательные решения, он имел обыкновение называть их ficta[]Ficta — мн. ч. лат. слова fictus «ложный, выдуманный». Прим. ред.», или пустышками []См.: Jacqueline A. Stedall. From Cardano’s Great Art to Lagrange’s Reflections: Fillinga Gap in the History of Algebra. Zurich: European Mathematical Society, 2011, p. 14.».

Споры итальянских математиков эпохи Возрождения порой могут показаться такими же непонятными и не имеющими отношения к нам, как и их теологические воззрения. Но они не ошибались в одном: в сочетании отрицательных величин и в таких арифметических операциях, как вычисление процента, есть нечто такое, что противоречит интуиции. В случае несоблюдения предложенного выше принципа начнут всплывать самые разные абсурдные ситуации.

Предположим, я управляю работой кафе. К сожалению, люди ко мне не заходят, и торговля кофе идет плохо; в прошлом месяце на этом бизнесе я потерял 
500 долларов. К счастью, я проявил себя как вполне дальновидный предприниматель и установил в своем кафе не только кондитерскую витрину, но и стойку для CD-дисков — эти два направления принесли мне по 750 долларов прибыли каждое.

Всего я заработал в этом месяце 1000 долларов, и 75% от этой суммы были получены за счет кондитерской витрины. Создается впечатление, что кондитерская витрина продвигает почти весь мой бизнес, а моя прибыль зависит от круассанов. Однако было бы столь же корректно утверждать, что 75% моей прибыли получено за счет CD-дисков. Но представьте, что я теряю на кофе еще 1000 долларов — тогда моя совокупная прибыль равнялась бы нулю, бесконечный процент от которой поступал бы от кондитерских изделий! []Предостережение: никогда не делите на ноль, если рядом нет дипломированного математика.» На первый взгляд может показаться, что «семьдесят пять процентов» означает «почти все», но, когда вы имеете дело с числами, которые могут быть либо положительными, либо отрицательными (как данные о прибыли), это может означать нечто совсем иное.

 и Джону.

Такой же феномен можно увидеть и в данных об уровне занятости. Майкл Спенс и Сендиле Хлатшвайо имели возможность отметить в своем докладе, что в сфере финансов и страхования возникло 600 тысяч новых рабочих мест — почти 100% общего количества рабочих мест, созданных в экспортном секторе в целом. Но они не упомянули об этом, поскольку не пытались обманным путем заставить нас поверить, что за тот период не было роста больше ни одном секторе экономики страны. Возможно, вы помните, что в экономике США был как минимум еще один сектор, в котором за период с 1990 года до настоящего времени создали множество рабочих мест, — сектор, классифицирующийся как «проектирование компьютерных систем и сопутствующие услуги». В нем в три раза увеличилась численность рабочей силы и было создано более миллиона рабочих мест. Общее количество рабочих мест, созданных в области финансов и вычислительной техники, существенно превышало 620 тысяч рабочих мест, появившихся в экспортном секторе экономики, однако эффект такого прироста нейтрализовали огромные потери в производственной сфере. Сочетание положительных и отрицательных величин приводит (в случае невнимательного отношения) к созданию фиктивной картины происходящего, согласно которой вся работа по созданию рабочих мест в экспортном секторе была выполнена в финансовой отрасли.

***

Не все, о чем писали Спенс и Хлатшвайо, вызывает серьезные возражения. Действительно, общий уровень роста занятости в сотнях отраслей в целом может быть отрицательным, однако в обычном экономическом контексте за умеренно продолжительный период этот показатель с высокой вероятностью является положительным. Не стоит забывать, что численность населения постоянно растет, поэтому при отсутствии серьезных катастроф количество рабочих мест также увеличивается.

Однако другие любители процентов не столь внимательны. В июне 2011 года Республиканская партия штата Висконсин выпустила пресс-релиз, в котором превозносились рекордные достижения губернатора Скотта Уокера в сфере создания рабочих мест. Это был еще один плохой месяц для экономики США в целом, за который по всей стране было создано всего 18 тысяч рабочих мест. Однако данные об уровне занятости в штате Висконсин выглядели гораздо лучше: чистый прирост количества рабочих мест составил 9,5 тысяч. «Сегодня мы узнали, что более 50% роста численности рабочих мест в США в июне обеспечено в нашем штате», — было сказано в заявлении []Milwaukee Journal Sentinel, PolitiFact (www.politifact.com/wisconsin/statements/2011/ jul/28/republican-party-wisconsin/wisconsin-republican-party-says-more-than-half-nat — просмотрено 13.01.2014).». Этот тезис подхватили и начали распространять политики из Республиканской партии, например член Палаты представителей Джим Сенсенбреннер, выступивший перед жителями пригорода Милуоки со следующим заявлением: «По данным отчета о численности рабочей силы, опубликованном на прошлой неделе, в нашей стране создано ничтожных восемнадцать тысяч рабочих мест, но половина из них созданы у нас в Висконсине. Мы здесь делаем нечто такое, что наверняка дает результаты»[10 ]Радиотрансляция «Sensenbrenner, Voters Take Part in Contentious Town Hall Meeting over Federal Debt» на WTMJ News (Милуоки) от 25 июля 2011 года (www.todaystmj4.com/news/local/126122793.html — просмотрено 13.01.2014).».

Идеальный пример той мутной воды, куда вы погружаетесь, когда начинаете подсчитывать относительные показатели (такие как чистый прирост занятости), которые могут быть либо положительными, либо отрицательными.

. 
В штатах Техас, Калифорния, Мичиган и Массачусетс рост занятости так же был выше, чем в Висконсине. Да, в Висконсине действительно был хороший месяц, но этот штат не создал столько же дополнительных рабочих мест, сколько все остальные штаты страны, вместе взятые, как вытекало из заявления республиканцев. В действительности произошло вот что: сокращение рабочих мест в других штатах почти свело на нет рост занятости в таких штатах, как Висконсин, Массачусетс и Техас. Вот почему губернатор Висконсина смог заявить, что на его штат приходится половина роста численности рабочих мест во всей стране. При этом губернатор штата Миннесота при желании мог бы заявить, что его штат обеспечил 70% роста занятости по стране. Согласно этому технически корректному, но по существу ложному подходу оба губернатора были бы правы.

Рекомендуем по этой теме:
61397
Простые числа

Рассмотрим еще один пример: Стивен Рэттнер, чтобы обосновать идею о неравном распределении текущего оздоровления экономики среди американцев, в своей публицистической статье 2012 года использовал работу экономистов Томá Пикетти и Эммануэля Саеза.

Новые статистические данные иллюстрируют все более ужасающее[12 ]немного математического буквоедства: для утверждения, что-то или иное явление становится «все более ужасающим», необходимо не просто засвидетельствовать, будто оно ужасающее, но еще и показать, что это качество усиливается. В статье Рэттнера данное условие не соблюдается.» расхождение между уровнем благосостояния богачей и всех остальных, а также говорят об отчаянной необходимости решить эту наболевшую проблему. Даже в стране, в которой, как порой кажется, все привыкли к неравенству в распределении доходов, эти выводы кажутся поистине поразительными.

Когда страна в 2010 году продолжала восстанавливаться после экономического спада, целых 93% дополнительного дохода, созданного в стране в том году по сравнению с показателем 2009 года (288 миллиардов долларов), перешли в руки 1% самых богатых налогоплательщиков, доход которых составляет минимум 352 000 долларов. …Оставшиеся 99% получили в 2010 году микроскопическое повышение оплаты труда в размере 80 долларов на человека с учетом инфляции. У верхнего 1% налогоплательщиков, средний доход которых составил 1019089 долларов, доходы возросли на 11,6%[13 ]Steven Rattner.The Rich Get Even Richer // New York Times, 2012, Mar. 26.».

В статье содержится красивая инфографика, которая разбивает прирост дохода еще дальше: 37% прироста дохода приходится на сверхбогатых людей, составляющих 0,01% самых богатых людей, 56% дохода получает оставшаяся часть 1% богачей, и мизерных 7% приходится на остальные 99% населения. Можно сделать небольшую круговую диаграмму, отображающую это распределение дохода.

Стоит разрезать этот пирог еще раз и выяснить, что происходит не с одним процентом населения, а с верхними десятью. К этим 10% относятся семейные врачи, не самые престижные адвокаты, инженеры и управляющие, принадлежащие к верхушке среднего класса. Насколько велика их доля в нашем пироге, можно вычислить по данным Пикетти и Саеза, которые они весьма любезно выложили в интернете. И здесь обнаруживается нечто интересное. Средний доход этой категории американцев в 2009 году равнялся 159 тысячам долларов, в 2010 году их доход увеличился незначительно и составил 161 тысячу долларов. Это довольно скромный прирост по сравнению с увеличением дохода у 1% самых богатых людей, однако он составляет 17% от общего прироста дохода за период с 2010 по 2011 год.

Попытайтесь поместить 17%-ный кусок пирога с долей 93%, которая приходится на 1% налогоплательщиков, — и получится, что пирог у вас больше тарелки. Если сложить 93% и 17%, то сумма получится более 100% — как такое может быть? И все-таки может, поскольку у населения, составлявшего 90%, действительно был более низкий средний доход в 2011 году по сравнению 
с 2010 годом, независимо от того, происходило ли оздоровление экономики или 
нет. Отрицательные числа в данной ситуации делают проценты ненадежным показателем.

Рекомендуем по этой теме:
8740
Страх безработицы

Анализ данных Пикетти и Саеза за разные годы обнаруживает такую закономерность снова и снова. В 1992 году 131% прироста дохода в стране пришелся на 1% получателей дохода. Безусловно, эта цифра впечатляет, но она явно указывает на то, что процент не всегда означает то, к чему вы привыкли. Вы не можете отобразить 131% на круговой диаграмме. В период еще одного памятного экономического спада, в 1982–1983 годы, 91% прироста национального дохода пришелся на 10% населения, а не на 1%. Означает ли это, что результатами экономического подъема завладели умеренно богатые профессионалы, оставив средний класс и очень богатых людей позади? Ни в коем случае. У 1% также случилось существенное увеличение дохода, составившее 63% от прироста национального дохода. Тогда, как и сейчас, на самом деле происходило вот что: нижние 90% населения по-прежнему теряли почву под ногами, тогда как положение всех остальных улучшалось.

Все это не опровергает того факта, что для самых богатых людей солнце в Америке светит немного ярче, чем для представителей среднего класса, но позволяет немного по-другому интерпретировать сложившуюся ситуацию. Дело не в том, что 1% населения оказывается в выигрыше, тогда как остальные американцы прозябают. Люди, которые относятся к верхним 10%, а не к 1% (категория населения, к которой, скажем прямо, относятся многие из тех, кто читает страницу New York Times с редакционной статьей и письмами читателей), также преуспевают. На их долю приходится более чем в два раза больше прироста дохода, чем 7%, доступные им согласно круговой диаграмме. Все дело в том, что остальным 90% населения страны все еще ничего не светит в конце тоннеля.

Даже если все показатели случайно оказываются положительными, любители рассказывать интригующие истории все равно находят возможность создать обманчивую картину процентов. В апреле 2012 года в ходе президентской избирательной кампании команда Митта Ромни, получив плохие результаты опросов среди избирателей женского пола, обнародовала такое заявление: «Администрация Обамы привела к тому, что для американских женщин наступили трудные времена. В период правления президента Обамы большому количеству женщин было крайне трудно найти работу — намного труднее, чем когда-либо за всю историю американского государства. На женщин приходится 92,3% от всех рабочих мест, потерянных при Обаме»[14 ]Mitt Romney. Women and the Obama Economy, 2012, Apr. 10 (www.scribd.com/ doc/88740691/ Women-And-The-Obama-Economy-Infographic).».

В каком-то смысле это заявление можно считать правильным. По данным Бюро трудовой статистики, в январе 2009 года общая численность работающих составляла 133561000 человек, а в марте 2012 года — 132821000 человек: на 740 тысяч рабочих мест меньше. Среди женщин были такие показатели: 66122000 и 65439000, а значит, в марте 2012 года работающих женщин было на 683 тысячи меньше, чем в январе 2009 года, когда Обама занял пост президента США. Разделите второе число на первое — и получите 92%. Создается впечатление, будто Обама ездил по стране и приказывал компаниям увольнять подряд всех женщин. Но все не так. Эти числа представляют собой чистое сокращение рабочих мест. Мы не знаем, сколько рабочих мест было создано и сколько сокращено за эти три года; нам известно только то, что разность между двумя показателями составляет 740 тысяч. Показатель чистого сокращения занятости в одних случаях бывает положительным, в других отрицательным, поэтому брать от него процент — слишком опасное дело. Только представьте себе, если команда Ромни начала бы свои подсчеты на месяц позже, в феврале 2009 года[15 ]Представленные здесь расчеты и доводы взяты из статьи Гленн Кесслер, написавшей в Washington Post об этой политической рекламе Ромни; на ее же материалах основан и наш анализ, см.: Glenn Kessler. Are Obama’s Job Policies Hurting Women? // Washington Post, 2012, Apr. 10». В тот период (еще один трудный месяц экономического спада) общая численность работающих составляла 132837000 человек. С февраля 2009-го до марта 2012 года экономика США потеряла еще 16 тысяч рабочих мест. Среди женщин потеря рабочих мест составила 484 тысячи (что, разумеется, уравновешивалось соответствующим увеличением количества рабочих мест среди мужчин). Какая упущенная возможность для кампании Ромни! Если члены его команды начали бы свои подсчеты с февраля, первого полного месяца президентства Обамы, они имели бы полное право заявить, что при этом президенте на женщин приходится 3000% от общей численности потерянных рабочих мест!

Однако для большинства избирателей — исключение составили бы лишь самые толстокожие — это послужило бы сигналом задуматься: все ли правильно с таким показателем.

Разберемся, что на самом деле случилось с долей мужчин и женщин в общем составе рабочей силе начиная с инаугурации Обамы и заканчивая мартом 2012 года? Произошло два события. С января 2009-го до февраля 2010 года уровень занятости как среди мужчин, так и среди женщин резко упал под воздействием экономического спада и его последствий.

Январь 2009-го — февраль 2010 года:

— чистое сокращение рабочих мест среди мужчин — 2 971 000;

— чистое сокращение рабочих мест среди женщин — 1 546 000.

Затем, после окончания рецессии, картина занятости начала постепенно улучшаться.

Февраль 2010-го — март 2012 года:

— чистый прирост рабочих мест среди мужчин — 2 714 000;

— чистый прирост рабочих мест среди женщин — 863 000.

Во время резкого падения уровня занятости мужчинам пришлось особенно трудно, поскольку они потеряли почти в два раза больше рабочих мест, чем женщины. А в период оздоровления экономики на мужчин пришлось 75% прироста численности рабочих мест. Если сложить показатели за оба периода, данные о занятости среди мужчин почти полностью уравновешивают друг друга; в итоге в конце периода у мужчин остается почти столько же рабочих мест, сколько и в начале. Таким образом, вывод, будто текущий экономический период оказался чрезвычайно трудным только для женщин, совершенно не обоснован.

Интересную оценку показателю в 92,3%, приведенному командой Ромни, дали в Washington Post: «точный, но ложный»[16 ]Glenn Kessler. Are Obama’s Job Policies Hurting Women?..». Такая формулировка вызвала насмешки сторонников Ромни, но я считаю, что в данной ситуации она вполне уместна и несет в себе глубокий смысл, отражающий реальное положение дел с использованием количественных показателей в политике. В точности данного показателя нет никаких сомнений. Разделите чистое количество рабочих мест, потерянных женщинами, на чистое сокращение рабочих мест в целом — и вы получите 92,3%.

Однако наше арифметическое упражнение делает данное заявление «точным» лишь в весьма ограниченном смысле. Представим аналогичную ситуацию, будто команда Обамы обнародовала заявление: «Митт Ромни никогда не отрицал, что на протяжении ряда лет он поддерживал контрабанду наркотиков из Колумбии в Солт-Лейк-Сити».

Рекомендуем по этой теме:
15529
Что такое безусловный доход?

Подобное заявление было бы верным на все сто процентов! Но оно предназначено лишь для того, чтобы создать ложное впечатление. Следовательно, формулировка «точный, но ложный» представляет собой весьма справедливую оценку. Правильный ответ на неправильный вопрос, что в каком-то смысле делает его еще хуже, чем ошибка в расчетах. Легко представить количественный анализ политики как нечто такое, что можно выполнить с помощью калькулятора. Однако калькулятор следует использовать только тогда, когда вы точно знаете, что именно хотите подсчитать.
Я не люблю текстовые задачи. Они создают ложное впечатление о взаимой связи между математикой и реальностью. «У Бобби есть три сотни стеклянных шариков, тридцать процентов шариков он отдает Дженни. Джимми он отдает в два раза меньше, чем отдал Дженни. Сколько шариков осталось у Бобби?» Эта задача выглядит так, будто она описывает реальный мир, но на самом деле это просто арифметическая задача, которая не очень убедительно замаскирована под реальный мир. Такая текстовая задача не имеет никакого отношения к стеклянным шарикам. С таким же успехом можно было бы сформулировать ее так: «введите „300 − (0,30 × 300) − (0,30 × 300)/2 =“ в свой калькулятор и перепишите ответ»!

Вопросы, возникающие в реальном мире, — отнюдь не текстовые задачи. В реальном мире задачу можно было бы сформулировать примерно так: «Сказался ли экономический спад и его последствия особенно тяжело на работающих женщинах, и если да, то в какой степени это является результатом политики администрации Обамы?» У вашего калькулятора нет кнопки для решения такой задачи, поскольку для получения разумного ответа вам необходимо знать нечто большее, чем только цифры. Какова форма кривой потери рабочих мест среди мужчин и женщин во время типичного экономического спада? Были ли у данного экономического спада заметные особенности в этом отношении? Какие именно места занимают преимущественно женщины? Какие решения Обамы негативно сказались на данном секторе экономики? Вы можете браться за калькулятор только после того, как сформулируете перечисленные вопросы. Но к данному моменту вся мысленная работа должна быть завершена. Деление одного числа на другое — просто расчеты; определение того, что на что следует делить, — это и есть математика.