Совместно с издательством «Манн, Иванов и Фербер» мы публикуем отрывок из книги «О чем говорят цифры. Как понимать и использовать данные» профессора менеджмента и информационных технологий в колледже Бэбсон Тома Дэвенпорта и профессора бизнеса и статистики, директора-исследователя лаборатории аналитических исследований в Корейском национальном университете обороны Джина Хо Кима.

Авторы рассказывают о теориях и методах количественного анализа, иллюстрируя их примерами из сферы бизнеса и общественных отношений.

Типы моделей

Аналитики и компании для решения аналитических задач и принятия решений на основе анализа используют множество типов моделей. Мы не собираемся учить читателей статистике, но считаем, что им было бы полезно знать, какие критерии применяют количественные аналитики, выбирая наиболее адекватную модель. Это поможет читателям сделать первые шаги в бизнес-аналитике и твердо усвоить ее основы. Если мы хотим знать, какие типы моделей лучше всего подойдут в том или ином случае, надо оценить специфику ситуации с точки зрения тех, кто принимает решения (или их аналитиков).

— Чтобы правильно выбрать модель, надо ответить на три основных вопроса.

— Сколько переменных подлежат анализу? Возможны такие варианты ответа: одна переменная (одномерная модель), две переменные (двумерная модель), три и более переменных (многомерная модель). Последний вариант ответа достаточен для решения любой проблемы.

— Требуется ли нам описание решения проблемы или просто ответы на поставленные вопросы? Описательная статистика просто описывает имеющиеся данные и не пытается делать выходящих за их рамки обобщений. Средние значения, медианы и стандартные отклонения — вот классический пример описательной статистики. Они весьма полезны, но не слишком интересны с математической или статистической точки зрения. Индуктивная статистика исследует выборку из какой-либо совокупности и распространяет выводы о средних характеристиках ее объектов на всю совокупность. Примеры такой статистики — корреляционный и регрессионный анализ (см. далее): они включают оценку вероятности того, что взаимосвязи, выявленные на основе выборки, характерны и для всей совокупности.

Статистики и количественные аналитики обычно отдают предпочтение индуктивной статистике по сравнению с описательной.

— Насколько точно можно оценить значения интересующих переменных? Некоторые методы оценки описаны во вставке «Методы измерения данных». Конкретный тип используемой вами (или вашими квантами) модели зависит от того, какого вида ваш аналитический проект и какого типа данные. Некоторые характеристики проектов и массивов данных, а также моделей, выбранных для их обработки, описаны ниже. Мы рассмотрели далеко не все типы моделей, но из тех, которые изо дня в день используются организациями для аналитики, здесь представлены примерно 90 процентов.

Модели с двумя числовыми переменными. Если требуется установить взаимосвязь между двумя числовыми переменными, то проще всего это сделать с помощью корреляционного анализа. Это один из простейших видов статистического анализа. В типичном случае с его помощью можно установить, меняется ли одна переменная с изменением другой. Для примера возьмем рост и вес человека. Можно ли утверждать, что вес человека увеличивается с увеличением его роста? Как правило, так и бывает, поэтому можно утверждать, что эти две переменные коррелируют между собой. Поскольку корреляционный анализ является одним из методов индуктивной статистики, существуют способы определить: может ли определенный уровень корреляции быть случайным? Если вам, например, говорят, что «статистическая значимость связи равна 0,05», то это означает, что в пяти случаях из ста наблюдается согласованное изменение анализируемых показателей.

Две категориальные переменные или больше. Если вы используете данные опросов и они представлены номинальными категориями (например, мужской и женский пол; молодой, средний или пожилой возраст), то вам понадобится ряд аналитических процедур для анализа категориальных данных. Результаты этого вида анализа часто оформляют в виде таблицы, в ячейках которой указано количество наблюдений. Например, если вы устанавливаете связь между полом и продолжительностью жизни, то обнаружите, что численность мужчин и женщин в молодом и среднем возрасте примерно одинакова, но поскольку женщины обычно живут несколько дольше, чем мужчины, то в старшем возрасте их численность будет выше. Если эта или подобная закономерность присутствует в вашем массиве данных, то таблица покажет значимую (то есть вряд ли случайную) взаимосвязь в соответствии со значением такого статистического критерия, как хи-квадрат. Взаимосвязь может быть значимой при уровне значимости 0,05 или 0,01. Такие бинарные категориальные переменные, как пол, можно также обрабатывать с помощью регрессионного анализа, используя при этом фиктивные переменные: то есть такие, которые получают значение 0 при отсутствии признака (например, мужского пола), и 1 при его наличии.

Рекомендуем по этой теме:
17890
Этапы принятия решений

Более чем две количественные переменные. Если количественных переменных более двух, то проводится углубленный анализ корреляционной связи, называемый регрессионным анализом: иногда множественной регрессией (если для объяснения динамики одной переменной используются несколько других переменных), а иногда линейной регрессией (если взаимосвязь между переменными остается стабильной (линейной) во всех интервалах их значений). Регрессия представляет собой метод подбора уравнения (или линии, если речь идет о графическом выражении), описывающего совокупность собранных в прошлом данных. Если вам это удалось, то с помощью уравнения регрессии можно прогнозировать поведение переменных в будущем. В регрессионной модели каждой независимой переменной приписывается определенный коэффициент, отражающий (или прогнозирующий) ее «вес» в модели.

В качестве примера множественной линейной регрессии можно привести случай из практики экономиста из Принстона Орли Ашенфельтера. Он использовал регрессионный анализ для прогнозирования аукционных цен на марочные французские вина. Его прогноз аукционных цен основывался на погоде в период сбора урожая вин этого года — и вызвал шок в среде экспертов по винам и даже привел их в ярость. (Газета New York Times опубликовала на первой странице статью об этом прогнозе под названием «Уравнение цены на вино вывело из строя многие носы»*.) Если у вас есть хорошее уравнение, то зачем вам эксперты?

Большинство экспертов сходятся в том, что хорошее вино получается в том случае, если предшествующая зима была дождливой, в сезон созревания винограда стояла теплая погода, а в сезон его сбора — сухая. Таким образом, Ашенфельтер выбрал три независимые переменные, относящиеся к погоде и влияющие на качество винограда: средняя температура воздуха в период созревания и количество осадков в период сбора винограда, а также количество осадков в предшествующую зиму. Кроме того, поскольку вкус вина, как правило, зависит от его выдержки, еще одной независимой переменной стала продолжительность выдержки в годах.

Качество сбора винограда влияет на цену зрелого вина, которая и становится зависимой переменной, которую Ашенфельтер пытался предсказывать. Он собрал информацию о ценах на лондонском аукционе за шесть бутылок бордо шато в 1960–1969 годы. Этот период был выбран потому, что вина, сделанные из урожая сборов этих лет, уже созрели, а в их качестве не было сомнений. Данные о значениях независимых переменных предоставило бюро прогнозов погоды из района выращивания винограда. Ашенфельтер составил регрессионное уравнение логарифма цены вина, включающее показатели возраста вина и параметров погоды. Он получил такое выражение: Качество вина = 12,145 (константа) + 0,0238 × Возраст вина + 0,616 × Средняя температура периода созревания 0,00386 × Количество осадков в период сбора урожая + 0,0017 × Количество осадков предшествующей зимой.

Как показывают значения коэффициентов при переменных, возраст вина, умеренная температура в период созревания и количество осадков в течение предшествующей зимы оказывают прямое положительное влияние на цену вина. Осадки в период сбора урожая оказывают негативное влияние на качество вина. Коэффициент детерминации R-квадрат (подробнее см. во вставке «Основные статистические концепции и аналитические приемы») для этого уравнения составляет 0,828, что означает, что включенные в уравнение переменные на 83 процента объясняют отклонения в ценах на вино. Коротко говоря, эти переменные в совокупности играют определяющую роль в процессе установления цен. Легко понять, почему эксперты сочли эти результаты до некоторой степени спорными и менее интересными, чем бесконечные разговоры о терруаре, дубовых бочках и переспевшем винограде.

Во вставке «Основные статистические концепции и аналитические приемы» мы описали наиболее часто встречающиеся индуктивные статистические модели (мы уже говорили, что описательные и ориентированные на отчеты модели полезны, но не слишком интересны с точки зрения количественного анализа). Конечно, написано множество книг на эту тему, поэтому мы сделаем только краткий обзор.

Основные статистические концепции и аналитические методы

Дисперсионный анализ (ANOVA). Статистический тест на равенство средних значений двух и более групп.

Причинно-следственная связь. Взаимосвязь между двумя событиями (причиной и следствием), когда второе событие считается последствием первого. В типичном случае причинно-следственная связь — это зависимость между рядом факторов (причинами) и результирующим фактором (следствие). Наличие причинно-следственной связи требует соблюдения трех условий:

• Событие-причина должно предшествовать событию-следствию

во времени и пространстве.

• При наличии причины наступает следствие.

Рекомендуем по этой теме:
10285
FAQ: Теория политических рынков

• При отсутствии причины следствие не наступает.

Кластеризация, или кластерный анализ. Распределение результатов наблюдений (записей в базе данных) по группам (кластерам) таким образом, что результаты в одной группе имеют сходные черты, в то время как результаты разных групп отличны друг от друга. Кластеризация является основной задачей интеллектуального поиска данных и стандартным приемом анализа статистических данных в самых разных областях.

Корреляция. Степень зависимости двух или более переменных друг от друга. Степень зависимости выражается коэффициентом корреляции, принимающим значения в интервале от 1,0 до –1,0.

Если коэффициент корреляции равен +1 (полная положительная корреляция), то это означает, что обе переменные пропорционально изменяются в одинаковом направлении.

Коэффициент корреляции равен 0 — между переменными нет связи.

Если коэффициент корреляции равен –1 (полная отрицательная корреляция), то это означает, что при возрастании одной переменной вторая уменьшается.

Наличие корреляции не обязательно означает, что имеется причинно-следственная связь. Иначе говоря, корреляция является необходимым, но не достаточным условием причинности.

Факторный анализ. Статистический метод, раскрывающий взаимосвязь между многими переменными или объектами. Это позволяет объединить взаимосвязанные переменные в группы, называемые факторами. Такой прием часто используется для структурирования и/или сокращения количества видов данных. Например, если исследователю предстоит проанализировать более сотни переменных, факторный анализ позволит объединить их в десяток комбинированных показателей, каждый из которых отражает динамику десятка исходных переменных.

Зависимая переменная. Переменная, значение которой неизвестно и подлежит прогнозированию или объяснению. Например, если вы хотите предсказать качество вина урожая определенного года на основе среднегодовой температуры периода созревания, количества осадков в период сбора урожая и в предшествующую зиму, то качество вина будет зависимой переменной. Иногда используются еще термины «объясняемая переменная» и «результирующий фактор».

Независимая переменная. Переменная, значение которой известно и применяется для прогнозирования или объяснения динамики зависимой переменной. Например, если вы хотите предсказать качество вина на основе исследования различных переменных (средняя температура в период созревания, количество осадков в период сбора и предыдущей зимой, возраст вина), то эти переменные и будут независимыми. Иногда их называют еще объясняющими переменными, переменными регрессии, фактор-аргументами.

Регрессия. Статистический метод, позволяющий построить уравнение для оценки неизвестного значения зависимой переменной через известные значения одной или более независимых переменных. Простая регрессия означает, что для оценки зависимой переменной используется одна независимая переменная. Множественная регрессия означает, что для прогнозирования зависимой переменной используются несколько независимых переменных. Логическая регрессия использует несколько независимых переменных для прогнозирования бинарной категориальной зависимой переменной (то есть переменной вида да/нет, за/против, покупать/не покупать).

Рекомендуем по этой теме:
5001
Главы | Новая нормальность

R-квадрат (R2). Наиболее популярный показатель для оценки степени совпадения рассчитанной регрессии с данными выборки, по которой произведен расчет. R-квадрат отражает также степень изменчивости зависимой переменной по сравнению с рассчитанной линией регрессии. Его значение колеблется в интервале от 0 до 1, и если оно равно, например, 0,52, то это означает, что 52 процента вариации зависимой переменной объясняется независимыми переменными, включенными в уравнение регрессии. В общем случае чем выше значение R2, тем более адекватной считается модель.

Проверка гипотез. Системный подход к проверке исходного предположения об окружающей реальности. Он включает сопоставление исходной гипотезы или утверждения с доказательствами истинности и на этом основании принятие решения о том, следует ли признать ее истинной или ложной. Гипотезы можно разделить на два вида: нулевая гипотеза и альтернативная гипотеза. Суть нулевой гипотезы (H0) состоит в том, что между результатами приведенных наблюдений не существует статистически значимой связи*.

Альтернативная гипотеза (Ha или H1) исходит из предположения о наличии такой связи. Проверка гипотез включает в себя сравнение эмпирически выявленных закономерностей в выборке с теоретически предполагаемыми (то есть предполагаемыми для случая, если нуль-гипотеза верна). Например, если вы хотите предсказать качество вина на основе его возраста, то нулевая гипотеза будет звучать следующим образом: «Возраст вина не влияет на его качество», в то время как альтернативная гипотеза такова: «Возраст вина существенно влияет на его качество». Данные собираютсяи анализируются с целью установления соответствия Н0. Редкие или нестандартные результаты наблюдений (часто определяемые по р-значению ниже определенного уровня) являются показателем того, что Н0 ложная; это означает, что существует статистически значимая вероятность того, что альтернативная гипотеза истинна.

Р-значение. В процессе проверки гипотез р-значение показывает вероятность подтверждения данными истинности нулевой гипотезы. Невысокое р-значение указывает на небольшое количество или нестандартный характер данных, подпадающих под нулевую гипотезу, что, в свою очередь, говорит о ее ложности (отсюда можно сделать вывод, что истинна альтернативная гипотеза). При тестировании гипотез мы «отбрасываем нулевую гипотезу», если р-значение меньше, чем уровень значимости α (альфа греческого алфавита), который обычно равен 0,05 или 0,01. Если нулевая гипотеза отбрасывается, то результат считается статистически значимым.

Уровень значимости альфа (α). Уровнем значимости называется такое максимальное отношение количества нетипичных выборочных значений (выбросов) ко всему объему выборки, что нулевая гипотеза отклоняется.

Иными словами, уровень значимости показывает количество нетипичных наблюдений (выборочных значений), необходимых для признания ложности нулевой гипотезы. Обычно уровень значимости задается как 5 процентов (0,05), но в ситуациях, когда предъявляются особенно строгие требования к доказательству истинности альтернативной гипотезы, этот показатель может быть задан и на более низком уровне, например 1 процент (0,01). Значение α, равное 5 процентам, означает, что для отбрасывания нулевой гипотезы как ложной достаточно наличия менее 5 процентов нетипичных данных от их общего количества (при условии истинности нулевой гипотезы). На практике это требование часто проверяется путем расчета р-значения. Если р-значение меньше, чем α, то нулевая гипотеза признается ложной, а альтернативная гипотеза — истинной.

Ошибка первого рода, или ошибка α. Эта ошибка возникает, когда нулевая гипотеза истинна, но тем не менее отбрасывается. В традиционной проверке гипотез нулевая гипотеза отбрасывается в том случае, если р-значение меньше, чем α. Таким образом, вероятность ошибочного отбрасывания нулевой гипотезы как ложной равняется α, почему эта ошибка и называется ошибкой α.

Тест (статистический критерий) χ-квадрат. Статистический тест, отражающий соответствие данных выборки определенному типу распределения. Измерение этого критерия обычно показывает расхождение между фактическим распределением событий и ожидаемым исходя из некоего заданного распределения. Наиболее часто используется для проверки соответствия фактического распределения заданному.

t-тест, или t-критерий Стьюдента. Метод статистической проверки гипотез путем проверки равенства средних значений двух выборок или проверки равенства среднего значения одной выборки некоторому заданному значению. Изменение модели Нетрудно понять, что ни одну модель нельзя использовать неограниченно долго. Если мир в своих основных проявлениях изменился, то очень вероятно, что и модель больше не является его адекватным отражением. Мы уже говорили о том, насколько важны исходные допущения в моделях, а также о том, что проверять их нужно так, чтобы все заинтересованные лица знали, можно ли еще их применить (более подробно об этом поговорим в следующих главах). Достаточно сказать, что любая организация или частное лицо, использующие количественные модели, должны их регулярно пересматривать, чтобы убедиться, что они по-прежнему имеют экономический смысл и соответствуют данным. Если же это не так, то их следует модифицировать. Под словом «регулярно» мы имеем в виду ежегодно, если только нет причин делать это чаще.

В некоторых случаях модели следует пересматривать с еще меньшей периодичностью. Например, если на основании модели вы определяете стратегию торговли ценными бумагами, то придется пересматривать их очень часто. Владелец компании Renaissance Technologies Джеймс Симонс управляет одним из крупнейших в мире хеджевых фондов и занимается пересмотром моделей постоянно. Он приглашает на работу профессоров, хакеров, интересующихся статистикой инженеров и ученых. С момента основания в марте 1988 года материнская компания Симонса Medallion Fund, располагающая капиталом в 3,3 миллиарда долларов и продававшая все, начиная с фьючерсов на соевые бобы и до французских государственных облигаций, обеспечила ежегодную доходность в размере 35,6 процента. За полных одиннадцать лет, до декабря 1999 года, кумулятивная доходность Medallion Fund достигла ошеломляющей величины в 2478,6 процента. В 2008 году Симонс получил рекордную прибыль в сумме 2,5 миллиарда долларов, а чистая стоимость его компании достигла 8,7 миллиарда. Журнал Forbes поставил Симонса на восьмидесятое место в списке богатейших людей планеты и на двадцать девятое место в списке богатейших людей США. В 2006 году Financial Times назвала его самым умным миллиардером планеты».

Рекомендуем по этой теме:
4604
Главы | От пузыря к пузырю

Симонс понимал, что выгодные возможности по своей природе невелики и непостоянны. На одном из семинаров он так высказался по этому поводу: «Эффективная теория рынка права в том, что в глобальном смысле рынок действительно эффективен. Тем не менее мы видим незначительные и краткосрочные аномалии. Мы делаем прогноз. Вскоре после этого мы еще раз оцениваем ситуацию и пересматриваем прогноз, а также инвестиционный портфель. Мы тратим на это целый день. Мы всегда считаем и пересчитываем, считаем и пересчитываем. Именно благодаря нашей активности мы и зарабатываем деньги». Чтобы сохранять позиции, Симонс еженедельно меняет свои модели.

Мир вокруг меняется, и именно способность приспосабливаться к этим изменениям сделала Симонса столь успешным бизнесменом. Он говорит: «Временной горизонт статистических прогнозов охватывает несколько лет — может быть, пять или десять. Вам приходится постоянно внедрять что-то новое, потому что рынок играет против нас. Если вы не совершенствуетесь, значит, вы становитесь хуже».

Пример аналитического мышления: модель ценообразования опционов Блэка и Шоулза

Фишер Блэк и Майрон Шоулз решили проблему ценообразования ценных бумаг, долгое время доставлявшую неудобства инвесторам. Блэк получил степень PhD по прикладной математике в Гарвардском университете, затем работал в консалтинговой фирме Arthur D. Little, Inc. Получив степень по экономике в Чикагском университете, Шоулз недавно приступил к работе на кафедре финансов в MIT.

Терминология по ценообразованию опционов в значительной степени специализированная. Опцион — это ценная бумага, дающая право, но не обязывающая купить или продать определенный вид активов на установленных условиях в течение указанного времени. Цена, уплачиваемая за актив в момент исполнения опциона, называется ценой исполнения, или страйк-ценой. Последний день, когда возможно исполнение опциона, называется сроком погашения. Простейший вид опциона, часто называемый колл-опционом, представляет собой право на покупку обычных акций компании. Премия за риск — это сумма, уплачиваемая инвестором за акции или другие виды активов сверх цены аналогичных безрисковых активов.

В целом чем выше цена акций, тем больше будет цена опциона. Если цена акций намного превышает цену исполнения опциона, то опцион наверняка будет исполнен. С другой стороны, если цена акций намного ниже цены исполнения опциона, владелец вряд ли будет его исполнять, и тогда его цена стремится к нулю. Если срок погашения опциона очень отдален во времени, то цена опциона приблизительно равна цене акций на текущий момент. Обычно цена опциона падает по мере приближения срока его погашения даже при том условии, что цена самих акций может и не изменяться. Но размер премии за риск предугадать трудно.

Определение и формулирование проблемы. Необходимое условие эффективного управления рисками, связанными с опционами и другими деривативами, это корректное установление цены на них. Предыдущие попытки разработать эффективную модель ценообразования на деривативы по целому ряду причин оказались неудачными. Возник вопрос о поиске нового метода — научно обоснованного и подкрепленного фактическими данными.

Изучение предыдущих поисков решения. Ценообразование на деривативы имеет долгую историю, начиная с 1900 года. В большинстве случаев речь шла об установлении цены на так называемые варранты (колл-опционы, выпускаемые компаниями и предоставляющие владельцу право выкупить у компании акции по определенной цене), причем методики расчета цены базировались на аналогичных формулах. Эти формулы, как правило, включали в себя один или более произвольно выбранный параметр, вследствие чего отличались неполнотой и страдали одним и тем же глубоким недостатком: отсутствием объективной методики расчета премии за риск. К сожалению, модели ценообразования на ценные бумаги в условиях равновесия рынка, которая была бы основана на адекватной методике расчета премии за риск, просто не существовало. Блэк и Шоулз впервые в истории попытались вывести формулу цены опциона исходя из условия равновесия рынка.

Моделирование (выбор переменных). Было установлено, что на цену опциона влияют пять переменных, в том числе:

• срок погашения

• спот-цена соответствующего актива (цена, по которой в данное время и в данном месте продаются реальный товар или ценные бумаги на условиях немедленной поставки)

• цена исполнения опциона ставка процента по безрисковым ценным бумагам

Рекомендуем по этой теме:
14126
Автограф | «Мифы экономики»

• волатильность доходности соответствующего актива (показатель, характеризующий изменчивость цены).

Отметим, что среди переменных отсутствовало отношение инвесторов к риску. Блэк и Шоулз внесли существенный вклад в развитие темы, по сути дела, показав, что нет необходимости учитывать премию за риск при установлении цены на опцион. Это не значит, что премия за риск вообще отсутствует, но ее величина уже учтена в текущей цене акций.

Сбор данных (измерения). Модель Блэка и Шоулза основана на некоторых технических допущениях и признании взаимосвязей между переменными. На этапе разработки модели никаких измерений не проводилось. Однако Блэк и Шоулз провели эмпирические тесты своей теоретической модели на большом массиве данных о колл-опционах и опубликовали результаты в статье The Pricing of Options and Corporate Liabilities.

Анализ данных. Блэк и Шоулз вывели дифференциальное уравнение с частными производными на основе некоторых технических допущений и теоретических предположений (с использованием методов дифференциального исчисления, а не статистики). Решением этого уравнения и стала формула Блэка и Шоулза, показывающая, каким образом можно рассчитать цену колл-опциона как функцию ставки процента по безрисковым ценным бумагам, вариации цен на базовый актив и параметров опциона (страйк-цены, срока погашения и рыночной цены базового актива). Формула основана на том предположении, что чем выше текущая цена акций и ее волатильность, а также ставка процента по безрисковым ценным бумагам и чем дольше период до погашения опциона, тем выше будет его цена. Аналогично этому рассчитывается цена и других деривативов.

Результаты и необходимые меры. Блэк и Шоулз пытались опубликовать результаты своих исследований, отправив их сначала в Journal of Political Economy, но редакция отклонила статью. Будучи уверенными в ценности своих изысканий, они послали работу в журнал Review of Economics and Statistics, где ее постигла та же участь. Большинству экспертов мысль о том, что можно математически рассчитать цену опциона, не учитывая при этом отношение инвесторов к риску, казалась неприемлемой и слишком неординарной. Изучив развернутые высказывания нескольких знаменитых экономистов по этому поводу, Блэк и Шоулз опять отправили статью в Journal of Political Economy, и на этот раз там ее приняли. Через некоторое время профессор MIT Роберт Мертон опубликовал статью, развивавшую некоторые математические аспекты модели Блэка и Шоулза.

Несмотря на проблемы с публикацией, основные выводы статьи получили широкое распространение во всем мире среди тысяч трейдеров и инвесторов, применявших их для рутинных расчетов цены опционов. Модель проста в расчетах и подробно раскрывает взаимосвязи между всеми входящими в нее переменными. Она обеспечивает полезную аппроксимацию, особенно при анализе направленности движения цен на опционы в критических точках. Даже если результаты нельзя считать абсолютно точными, их можно использовать в качестве первого приближения, а затем уточнить.

Модель Блэка и Шоулза стала незаменимой не только при прогнозировании цен на опционы, но и при решении многих других проблем экономики. Ее можно назвать самой успешной экономической концепцией во всей экономической теории. Мертон и Шоулз в 1997 году получили Нобелевскую премию по экономике за развитие новых методов определения цены деривативов. Хотя умерший в 1995 году Блэк не смог стать нобелевским лауреатом, но его заслуги были специально отмечены Академией наук Швеции.