Совместно с «Издательской группой URSS» мы публикуем отрывок главы из книги «Как работает природа. Теория самоорганизованной критичности» физика-теоретика, одного из основателей теории сложных систем, Пера Бака. Его идеи и открытия оказали большое влияние на понимание явлений в различных областях науки: от физики до биологии, от неврологии до космологии, от наук о Земле до экономики.

Реальная экономика ведет себя как песок

Экономика похожа на песок, а не на воду. Решения дискретны, как песчинки, а не непрерывны, как вода. В реальной экономике, как и в песке, есть трение. Мы не заботимся о рекламе и не несем наши яблоки на рынок, когда ожидаемая отдача от обмена нескольких яблок и апельсинов слишком мала. Мы продаем и покупаем акции только тогда, когда достигнута некая пороговая цена, и не проявляем активности до того — в точности как земная кора, которая устойчива до тех пор, пока сила в какой-то точке не превзойдет порогового значения. Мы не занимаемся непрерывной подстройкой своих вкладов под колебания рынка. На электронных торгах такая пороговая динамика явным образом запрограммирована в алгоритмах принятия решений. Мы «залипаем» в своих решениях. Это трение препятствует достижению равновесия, в точности как трение песка не позволяет куче полностью обвалиться и перейти в плоское состояние. Это в корне меняет природу и размер колебаний в экономике.

Когда речь заходит о колебаниях рынка, экономисты закрывают глаза и разводят руками, поскольку в равновесной теории не может быть никаких сильных флуктуаций. «Объяснения того, почему рынок акций взлетает и обрушивается, относятся к разделу курьезов», — говорит гарвардский экономист Клаудиа Голдин. Если все это так, можно задаться вопросом о том, что же объясняют экономисты?

Различные экономические агенты обладают своим собственным уникальным поведением, которое представляется случайным. Несмотря на эту случайность в поведении рынков и цен существуют простые статистические закономерности. Еще в 1960-х годах, за несколько лет до своих работ о фрактальных закономерностях в природе, Бенуа Мандельброт занимался анализом данных о колебаниях цен на рынках хлопка, стали и других товаров. Мандельброт построил гистограмму месячных отклонений цен на хлопок.

Он подсчитал, в каком количестве месяцев отклонения составляли 0,1% (или 0,1%), в каком лежали в пределах 1%, в каком были в рамках 10% и т. д. (рис. 1.3). Он обнаружил, что отклонения цен подчиняются распределению Леви´. Важной особенностью распределения Леви´ является степенной хвост, описывающий масштабные события, в точности как в законе Гутенберга—Рихтера для землетрясений. Экономисты по большому счету проигнорировали его находку — вероятно, потому, что у них не было ни малейшего ключа к происходящему.

Экономисты по традиции пренебрегли бы крупными флуктуациями, считая их «атипичными» и потому не имеющими отношения к общей теории экономики. Каждое такое событие получило бы свое собственное историческое обоснование и затем было бы удалено из набора данных. Один обвал приписали бы введению электронных торгов, другой — чрезмерным заимствованиям средств для покупки акций. Помимо этого они провели бы детрендирование или отбраковку данных, убрав долговременный рост или падение рынка. В конце концов они пришли бы к выборке, содержащей только малые колебания, но при этом не представляющей никакого интереса. Крупные колебания были бы хирургически удалены из выборки, что равносильно выплескиванию ребенка вместе с водой. Однако тот факт, что крупные события демонстрируют такое же поведение, как и малые, говорит о том, что на всех масштабах работает один и тот же механизм — как в случае землетрясений и биологической эволюции.

Как должна выглядеть обобщенная модель экономики? Возможно, она очень похожа на модель прерывистого равновесия для биологической эволюции, описанную в главе 8. Множество агентов (потребителей, производителей, правительственных учреждений, воров и экономистов в числе прочих) взаимодействуют друг с другом. У каждого агента есть ограниченный набор вариантов поведения. Он использует этот набор, пытаясь увеличить свою выгоду (или функцию полезности, как называют это экономисты, чтобы звучало понаучнее) — точно так же, как биологические виды улучшают свою приспособленность посредством мутаций. Это оказывает влияние на других агентов в экономической системе, которые подстраивают свое поведение к новой ситуации. Самые слабые агенты устраняются из экономической системы и замещаются другими агентами либо меняют свою стратегию — например, копируя поведение более успешных агентов.

Эта общая картина пока еще не разработана в деталях. Однако мы построили упрощенную игрушечную модель, которая позволяет получить представление о том, как могла бы работать действительно интерактивная, целостная экономическая теория.

Простая игрушечная модель критической экономики

Спустя несколько дней после моей вступительной речи в Институте Санта-Фе в 1988 году Майкл Вудфорд и Хосе Шейнкман из Чикагского университета вошли в мой кабинет и выразили желание обсудить модель экономики, построенную по образцу модели кучи песка. М. Вудфорд — экономист традиционной школы, весьма сообразительный и очень консервативный, а Х. Шейнкман уже предпринимал попытки применить к экономике идеи, позаимствованные из теории хаоса. Они набросали свои идеи на доске, и я преисполнился энтузиазма.

Их замысел состоял в том, чтобы построить упрощенную сеть потребителей и производителей. Это привело к очень продуктивному, хотя и непростому сотрудничеству, отражающему различия в подходах между физикой и экономикой.

Экономисты-теоретики предпочитают иметь дело только с теми моделями, которые допускают аналитическое решение с помощью карандаша и бумаги. Я всегда относился к этому с долей иронии. Физика гораздо более простая наука, по сравнению с экономикой, и тем не менее мы крайне редко имеем возможность «решить» задачу в математическом смысле этого слова. Даже самая изощренная математика в мире недостаточна для строгого подхода ко многим физическим задачам. Иногда мы прибегаем к вычислительным экспериментам, иногда используем приближенные теории. Чистый математик, конечно, сочтет некоторые из этих приближений ужасающими. Однако они хорошо работают и позволяют глубоко проникнуть в значимые физические аспекты задачи, хотя и опираются порой на чистую интуицию. Физик выполняет один грязный математический трюк за другим. Математик же неизменно бежит за ним, чтобы в конце концов почти догнать и воскликнуть: «То, что ты сделал, на самом деле правильно!»

Рекомендуем по этой теме:
12428
Теория экономических механизмов

Мне представляется, что экономика в силу сложности рассматриваемых систем не требует точных математических решений. Действительно, предложенная нами модель, невзирая на ее простоту, не может быть решена математически. Я вернулся в Брукхейвен, где Кан Чен — исследователь, с которым мы изучали игру «Жизнь», поставил вычислительный эксперимент с нашей моделью. Модель в самом деле оказалась критической с лавинами всех размеров. Однако Майк Вудфорд чувствовал себя неуютно с численным решением на руках, а потому Кан Чен и я продолжили работу над этой задачей до тех пор, пока не сумели ко всеобщему удовольствию предложить модель, которую можно решить математически, не жертвуя ее научным содержанием.

Эта модель представлена на рис. 11.1. Она представляет собой сеть производителей, каждый из которых покупает товары у двух поставщиков, производит свой собственный товар и продает его двум клиентам. Производители в начале процесса могут располагать случайным количеством товара на складе или же могут не иметь вообще ничего — это не имеет значения. В начале каждого периода — скажем, еженедельно — производители получают заказ на ноль или одну единицу товара от каждого клиента. Если они располагают достаточным количеством товара на складе, они передают его клиентам; если товара нет, они отправляют заказ двум своим поставщикам, получают одну единицу товара от каждого из них и производят две единицы товара, чтобы выполнить заказ. Если после этих операций у них остается одна единица товара, она хранится на складе до следующей недели. Таким образом, каждый производитель играет двоякую роль: он продавец по отношению к своим клиентам и покупатель для своих поставщиков. Процесс начинается на верхнем слое сети, на который приходят заказы от потребителей, и заканчивается в нижнем, который представляет собой производителей сырья.

Сперва мы изучили ситуацию, когда еженедельно в нашей экономической системе происходил только один запускающий ее толчок с единственным потребителем, запрашивающим товар. Этот первоначальный заказ приводил к эффекту «просачивания» в сети. На рис. 11.2 показано типичное состояние сети, где каждый производитель отмечен соответственно тому количеству товара, которое осталось у него на складе после завершения торговых операций предыдущей недели. Белый кружок означает отсутствие товара, черный — наличие одной единицы товара. У первого поставщика нет на складе ничего. Он получает две единицы товара от своих поставщиков, продает одну единицу потребителю и сохраняет одну единицу на складе до следующей недели. У его поставщиков на самом деле нет запрошенной продукции на складе, и они вынуждены отправить заказы дальше вниз по сети. После некоторого количества событий лавина останавливается. На рисунке показана область лавины и то количество товара, которое имеется у поставщиков на складе в конце недели. Таким образом, небольшие толчки способны привести к крупным лавинам. Вклад этого события в ВНП — это площадь области лавины, то есть суммарное количество товара, произведенного в ее ходе.

Мы в состоянии провести аналитические расчеты для этой модели, поскольку можем увязать ее с другой моделью, имеющей отношение к кучам песка, решение для которой ранее нашли Дипак Дхар и Рамакришна Рамасвами из Института Тата в Бомбее. Эта модель является направленной — в том смысле, что информация передается по сети только вниз, но не вверх. Д. Дхар и Р. Рамасвами показали, что распределение лавин следует степенному закону N (s) = s-τ, где τ = 4/3.

Чтобы перейти от степенного закона к закону Леви´, который наблюдал Мандельброт, нужно всего лишь рассмотреть ситуацию, в которой еженедельно окончательный товар запрашивает не один потребитель, а несколько. Каждый заказ приводит к лавине, так что в течении недели происходит много лавин различных размеров. Можно строго показать, что для очень большого количества клиентов распределением общей активности будет функция Леви´. Я смог продемонстрировать это с помощью простых математических расчетов, строгость которых вполне удовлетворила бы любого физика. Тем не менее мои методы оказались неудовлетворительными для моих требовательных коллег, которые не соглашались с выводами, пока не нашли в математическом руководстве формулу, показывающую, как случайно распределенные переменные складываются вместе, чтобы прийти к распределению Леви.

Флуктуации и катастрофы неизбежны

Наш вывод состоит в том, что масштабные флуктуации, которые мы наблюдаем в экономике, указывают на то, что она функционирует в самоорганизованно-критическом состоянии, где слабые толчки могут привести к лавинам любых размеров, как в случае землетрясений. Флуктуации неизбежны. Нет способа стабилизировать экономику и избавиться от флуктуаций регулированием процентной ставки и другими мерами. Рано или поздно что-нибудь другое и совершенно неожиданное нарушит сколь угодно тщательно выстроенный баланс, и где-то еще в системе произойдет крупная лавина.

По сравнению с нашей критической экономической системой равновесная экономика, приводимая в движение большим количеством независимых маленьких толчков, демонстрировала бы гораздо менее масштабные флуктуации. Такие флуктуации описываются гауссовой кривой, известной также как «колокол», для которой хвостами можно пренебречь. В равновесной экономике нет места крупным флуктуациям и катастрофам.

Хотя экономисты не понимают природы крупных флуктуаций в экономике, эти флуктуации определенно существуют. Карл Маркс видел в этих флуктуациях безработицы, цен и масштабов производства символ нежизнеспособности капиталистического общества. С его точки зрения, капиталистическое общество движется от кризиса к кризису. Централизованная экономика могла бы устранить эти флуктуации ко всеобщей выгоде или, по крайней мере, к выгоде рабочего класса. К. Маркс доказывал, что крупная лавина, а именно революция, — единственный путь качественных изменений.

Алан Гринспен, председатель Федеральной резервной системы, манипулирует процентной ставкой, чтобы избежать вспышек инфляции — пусть даже ценой замедления экономического роста. Взгляды А. Гринспена и К. Маркса объединяет идея о том, что флуктуации вредны и в здоровой экономике должны отсутствовать.

Если экономика в самом деле самоорганизуется в критическое состояние, то устранить флуктуации невозможно в принципе. Разумеется, если абсолютно все решения принимаются централизованно, флуктуации могут быть подавлены. В случае песчаной модели можно тщательно выстроить кучу, добившись ситуации, когда во всех точках высота максимальна: Z = 3. Однако то количество расчетов решений, которое для этого потребуется, будет астрономическим и не реализуемым на практике. Что еще более важно, если даже кто-то в самом деле преуспеет в построении такой предельно крутой кучи, малейшее воздействие в любой точке вызовет чудовищный коллапс. Советская империя в конце концов рухнула в результате мегалавины (которую К. Маркс не предсказывал). Однако, как мы покажем дальше в ином контексте, может статься, что наиболее эффективным состоянием экономики является состояние с флуктуациями всех размеров.

Дорожные пробки

Говоря более общо, экономика имеет дело с тем способом, которым люди взаимодействуют друг с другом, обмениваясь товарами и услугами. В реальном мире у каждого агента есть ограниченный набор вариантов поведения и ограниченные способности обработки доступной информации — его рациональность ограничена. В каком-то смысле положение отдельного агента напоминает ситуацию, в которой оказывается водитель автомобиля на загруженной автомагистрали. Его максимальная скорость ограничена автомобилями перед ним (и, возможно, полицией); расстояние от него до автомобиля впереди диктуется его способностью тормозить. Он подвергается случайным воздействиям, обусловленным механическими свойствами его автомобиля и рельефом дорожного покрытия.

Кай Нагель и Микаэль Шрекенберг из Университета Дуйсбурга в Германии построили простой клеточный автомат, моделирующий однополосное движение на скоростной магистрали в соответствии с этими соображениями. Автомобили могут двигаться со скоростями 0, 1, 2, 3, 4 или 5. Значение скорости определяет, сколько «длин автомобиля» проедет автомобиль на следующем шаге. Если автомобиль движется слишком быстро, он обязан затормозить, чтобы избежать столкновения. Автомобиль, который двигался медленно из-за автомобиля перед ним, разгоняется, когда предоставляется такая возможность. Разгон происходит медленнее торможения, то есть изменение скорости от 0 до 5 занимает больше шагов, чем изменение от 5 до 0. В зависимости от общего количества автомобилей на дороге могут возникнуть две ситуации. Если машин немного, то есть свободный поток с отдельными небольшими пробками. Если плотность потока высока, возникают массовые скопления машин.

Кай Нагель приехал к нам в гости несколько лет назад, когда был еще аспирантом у себя в Германии. К этому моменту он уже выполнил теоретическое исследование в области метеорологии, доказав, что формирование фрактальных облаков — самоорганизованно-критический процесс. М. Пачуски и К. Нагель занялись изучением того, транспортный поток, выходящий из одной большой пробки. Представьте себе скоростную автостраду, которая пересекает Лонг-Айленд, соединяя туннель Квинс-Мидлтаун и Манхэттен. Они предложили теорию, которая описывает дорожное движение на выходе из туннеля в час-пик, когда на автостраду выезжает самое большое количество автомобилей. Каждый, кто живет на Лонг-Айленде, знает, какие колоссальные дорожные пробки могут возникнуть на этой автостраде, которую называют «самой большой парковкой в мире».

На рис. 11.3 показаны дорожные пробки, полученные путем компьютерной имитации. Горизонтальная ось — это автомагистраль, вертикальная — время. Время увеличивается сверху вниз. Автомобили показаны черными точками. Автомобили выезжают из огромной пробки слева, которая не показана на графике, и движутся направо. Эта диаграмма позволяет нам проследить картину дорожного движения как в пространстве, так и во времени. На каждом шаге каждый автомобиль смещается вправо на расстояние, соответствующее его скорости. Затруднения движения выглядят как плотные темные области, где расстояние между автомобилями мало. Из-за малой скорости положение этих автомобилей от одной горизонтали на графике к другой меняется незначительно.

Дорожные пробки могут возникать безо всякой причины! Это «фантомные» пробки. Случайное небольшое (с 5 до 4) снижение скорости одного автомобиля оказывается достаточным, чтобы выстроилась огромная пробка. С такой же ситуацией мы сталкивались раньше при изучении землетрясений, биологической эволюции, формирования речной сети и биржевых крахов. Не нужно никакого существенного события (вроде аварии), чтобы вызвать катаклизм. Это противоречит нашей интуиции, подсказывающей, что масштабные следствия требуют масштабных причин. Не имеет смысла искать конкретную причину дорожной пробки.

Пробки имеют фрактальный характер: внутри больших пробок есть пробки меньшего размера, и так до бесконечности. Это отражает знакомую всем нам по движению в плотном потоке и такую раздражающую картину езды «короткими перебежками». На диаграмме можно отследить отдельный автомобиль и увидеть, что он движется рывками.

Как можно увидеть на рисунке, пробки продвигаются вдоль трассы не вперед, а назад. Для сравнения на рис. 11.4 показана похожая диаграмма реального движения потока на скоростной магистрали в Германии. В основу графика положены фотографии магистрали, выполненные через равные промежутки времени. Заметьте, что в общих чертах картина выглядит так же, как компьютерная имитация, включая обратное движение пробок. В конце концов пробки рассасываются. В результа- те обширных компьютерных вычислений было подсчитано количество пробок каждого размера. Разумеется (как вы уже догадались), исследователи обнаружили степенное распределение. Показатель степени оказался близким к 3/2. Это позволяет предложить элегантную и при этом простую теорию для данного явления — теорию случайных блужданий.

Каждая пробка начинается со случайной точки-зародыша в верхней части рисунка. На каждом шаге размер пробки либо с некоторой вероятностью увеличивается, либо с той же самой вероятностью уменьшается. Ситуация «50 на 50» приводит к тому, что процесс является критическим. Такой процесс может быть рассчитан математически и приводит к степенному распределению с показателем степени, в точности равным 1,5, как и показывает вычислительный эксперимент. Мы уже сталкивались с картиной случайных блужданий для критических систем прежде, в кон- тексте эволюционной модели со случайными соседями в главе 9.

[post id="14234"Дорожное движение на скоростной магистрали — классический пример 1/f -шума. Более 20 лет назад T. Муса и Х. Хигучи измерили дорожный поток на скоростной магистрали Канаи в Японии как функцию времени, стоя на мосту через магистраль и измеряя промежутки времени между проезжающими под мостом автомобилями. Они получили кривую, напоминающую распределение излучения квазаров. Измеряя спектр мощности, они обнаружили компоненты всех частот со знаменитым 1/f -распределением. К. Нагель и М. Пачуски провели те же манипуляции с данными, полученными в ходе компьютерной имитации дорожного движения. Наблюдению за дорожным движением с моста соответствует измерение распределения черных точек вдоль вертикальной линии. Сигнал имеет форму дьявольской лестницы, в точности как в модели эволюции. Они обнаружили в данных вычислительного эксперимента и 1/fα -шум (рис. 11.5). Более того, они сумели математически доказать, что α = 1, используя механизм каскадов, где локальные пробки на каждом шаге могут вырасти, исчезнуть или расщепиться на несколько пробок. В кои-то веки мы получили точное и полное понимание неуловимого 1/f -шума в модельной системе, действительно описыва- ющей реальность. Как и в других изученных нами явлениях, 1/f -шум возникает благодаря масштабной инвариантности лавин в самоорганизованно-критической системе. В случае дорожного движения 1/f -шум служит математическим описанием изматывающей и непредсказуемой езды рывками в дорожных пробках.

К. Нагель и М. Пачуски изучили ситуацию, в которой дорожные пробки порождались только очень редкими случайными флуктуациями. Они сделали любопытное замечание: технические новшества, такие как круиз-контроль или радарные системы на борту автомобиля, приведут к снижению флуктуаций около максимальной скорости и тем самым увеличат диапазон применимости полученных результатов. Одно из непреднамеренных последствий внедрения этих устройств (если их внедрят) станет то, что они фактически подтолкнут поток дорожного движения к критической точке, затруднив тем самым управление дорожным движением, его предсказание и планирование, что является полной противоположностью исходным намерениям. Обратите внимание на аналогию с попытками регулировать экономику (или кучи песка).

Самоорганизованная критичность — это закон природы, от которого нет избавления.

Наконец, они сделали еще одно наблюдение. Дорожные пробки — явление, вызывающее досаду, которая усугубляется нашей неспособностью предсказывать их. Иногда мы попадаем в большую пробку и теряем там время, иногда — нет. Можно заподозрить, что должен быть более действенный способ организовывать дорожное движение. На самом деле его может не быть. Критическое состояние с пробками всех размеров — наиболее эффективное состояние. Система самоорганизуется в критическое состояние с максимальной пропускной способностью. Если плотность потока будет несколько ниже, магистраль окажется недогруженной, если несколько выше — на трассе будет одна огромная постоянная пробка, которая поглотит часть автомобилей. В обоих случаях пропускная способность упадет.

Говоря более точно, критическое состояние — это наиболее эффективное состояние, достижимое динамически. Тщательно выстроенное со- стояние, в котором все автомобили двигаются со скоростью 5, имела бы более высокую пропускную способность, однако была бы катастрофически неустойчивой. Это высокоэффективное состояние разрушилось бы гораздо раньше, чем движение автомобилей стало бы организованным.

Будучи приложенным к экономике в целом, это наблюдение дает некоторую пищу для размышлений. Возможно, Гринспен и Маркс заблуждаются: наиболее здоровым состоянием экономики может оказаться децентрализованное самоорганизованно-критическое состояние капиталистической экономики с флуктуациями любых размеров и любой продолжительности. Колебания цен и экономической активности могут вызывать досаду (особенно если они затронули вас), но это лучшее, на что

мы способны!

Самоорганизованное критическое состояние со всеми присущими ему флуктуациями — не лучшее из возможных, но лучшее из динамически достижимых состояний.