1
Сегодня это понятие знакомо всем, даже тем, кто, так или иначе, не отдает себе отчет в этом. Однако сравнительно недавно, где-то 250 лет назад, в середине XVIII века наиболее крупные ученые человечества, естествоиспытатели, математики не обладали этим понятием в той мере, в какой им обладает сегодня каждый школьник, поскольку этого понятия практически ещё не существовало. История появления этого понятия очень поучительна.
Совершенно абстрактное математическое понятие — понятие функции — появилось в какой-то мере как ответ на вызов, который был поставлен практической задачей. А именно задачей о колебании струны. Если мы возьмем струну и оттянем ее в какой-то точке, а затем отпустим, как она будет дальше двигаться? Чтобы решить эту задачу, с математической точки зрения, ее нужно как-то формализовать.
Юшкевич А. П. История математики с древнейших времен до начала XIX столетия / Под
ред.- М.: Наука, 1972. — Т. III, математика XVIII столетия.- 495 с.
2
Что такое поведение струны? Что такое струна с математической точки зрения? Если мы рассмотрим функцию, когда у нас есть начальное положение струны (положение покоя), когда струна просто вытянута, нас будет интересовать отклонение струны от начального положения. Но понятно, что если струна у нас с закрепленными концами, то на концах отклонение всегда равно нулю. Например, где-то в середине оно может быть не нулевым. Более того, в разных точках оно может быть разным. Таким образом, положение струны в какой-то заданный момент времени является графиком некоторой функции. Мы можем представить себе, что мы положили струну в равновесии на ось Х, и тогда форма струны задается графиком некоторой функции в фиксированный момент времени. Если мы добавляем вторую координату, а именно время, мы рассматриваем функцию двух переменных, которая показывает нам в какой точке и в какой момент времени насколько сильно струна отклонена от положения равновесия. Для нас сейчас это понятие достаточно привычно.
Когда французский математик д`Аламбер написал соответствующее уравнение и написал его решение, он обнаружил, что это уравнение (одно из первых уравнений частных производных), зависит от начального условия, начального положения струны. Но, в отличие от обыкновенных дифференциальных уравнений, от анализа одной переменной, в данном случае в качестве начального условия выступала произвольная функция. Но математики тогда не знали, что такое произвольная функция. И это вызвало существенные проблемы в интерпретации полученного решения. Решение написано, но это формула, которая включает в себя произвольную функцию.
Стиллвелл Дж. Математика и ее история. -Ижевск: Институт компьютерных исследований/РХД, 2004. -530 с.
3
В XVIII веке существовало два подхода к понятию функции. Первый подход восходил к Ньютону и его учителю Барроу. Он состоял в том, что функция — это переменная величина, которая меняется с течением времени. Второй подход восходил к Ферма, Декарту и Иоганну Бернулли и состоял в том, что функция — это какая-то формула, какой-то закон, который позволяет вычислять ее значение по каким-то правилам в зависимости от значения аргумента. То есть функция, по мнению Бернулли — это формула.
Сейчас мы привыкли к тому, что можно спокойно переходит от одного определения к другому, но в те времена это вызвало противоречия между д`Аламбером и Эйлером. Написав свое общее решение, д`Аламбер сказал, что входящая в него неизвестная абстрактная произвольная функция — это функция, которая задается какой-то формулой. На нее накладывались какие-то дополнительные условия, но тем не менее, это главным образом формула.
Тем не менее, с помощью какой-то формулы довольно трудно описать положение струны, которое кажется естественным. Например, когда струна отклонена от положения равновесия только на небольшом участке. Эйлер, в свою очередь, проведя примерно те же рассуждения, и придя к тому же результату, что и д`Аламбер, сказал, что входящая в него произвольная функция, это функция, которую имел ввиду Ньютон, некоторая кривая, которая может быть начертана свободным влечением руки. И отстаивал позицию о том, что именно такие функции являются правильными.
4
Сейчас мы, вероятней всего, согласились бы с утверждением Эйлера, однако в то время никаких математических методов работы с такими произвольными функциями не существовало. И д`Аламбер резонно возражал, что такие функции в принципе невозможно рассматривать в анализе. Дело в том, что до возникновения задачи о струне, задач с частными производными, видимо, не приходилось оперировать произвольными функциями. Их получали в результате действий с некоторыми простыми функциями естественным образом. Поэтому в результате они и были в виде формул. Математических методов, которые бы позволяли работать с произвольными функциями толком не существовало.
5
Третьим участником этого спора был Даниил Бернулли, сын Иоганна Бернулли. Он подошел к задаче с точки зрения физика и критиковал своих коллег за то, что решения, которые были ими предложены не имеют никакого отношения к реально звучащим струнам. Они прекрасны математически, говорил он, но причем здесь звучащая струна?
Он предложил свое решение, основанное на том, что положение струны в какой-то момент времени описывается тригонометрической функцией, например, синусом или синусом кратного аргумента. Если мы представим себе, как устроен график синуса X, — он устроен в виде двух «полуволн». Но, если рассмотрим график функции синус 2X, у него будет вдвое меньше период (он будет выглядеть как четыре «полуволны»). Бернулли предложил свое решение в виде суммы таких гармонических колебаний для струны. Ему казалось, что таким образом можно описать любую функцию. Но никакого математического доказательства у него не было. В связи с этим его решение подверглось критике, как очень частное.
Christensen T. Eighteenth-Century Science and the Corps Sonore: the Scientific Background to Rameau’s Principle of Harmony // Journal of Music Theory. — 1987. — Vol. 31. — P. 23—50.
6
Тем не менее, в начале XIX в. французский математик и физик Фурье, решая совсем другую задачу, связанную в распространением тепла, с одной стороны далекую от задачи колебания струны, а с другой стороны приводящую к уравнению частных производных, поэтому близкую математически, обнаружил и доказал, что очень широкий класс функций может быть предствлен в виде суммы тригонометрического ряда. Открыв свои знаменитые ряды Фурье, и, тем самым, примирив подходы Бернулии с подходами д`Аламбера и Эйлера.
Работы Фурье не поставили точку в споре о струне. Дело в том, что решение, которое получили д`Аламбер и Эйлер допускали следующий эффект — в них можно было поставить в качестве начального условия функцию, график которой имеет излом. С точки зрения анализа, это означает, что функция не имеет производной в точке излома. Тем не менее, решение уравнения с таким условием можно было получить. Но какой смысл дифференциального уравнения, у которого решение — недифференцируемая функция, тогда было совершенно непонятно. Ответ на этот вопрос был получен только в первой половине XX в. Соболевым и Шварцем. Соболевым было разработано понятие обобщенной функции, которое позволило рассматривать дифференциальные уравнения с такими негладкими решениями.
Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. -7-е изд. — М.: Изд-во МГУ; Наука, 2004. -798 с.
7
Мы видим, что математическое знание развивается параллельно с развитием наших знаний об окружающем мире. Другими словами происходит процесс взаимного обогащения — реальные, практические задачи превращаются в математические проблемы. Для решения этих проблем математики создают максимально абстрактные понятия, которые никак не связаны с реальным миром. Благодаря тому, что эти понятия чрезвычайно абстрактны, впоследствии они оказываются применимы в самых разных областях знаний. И такой процесс последовательного взаимного развития происходит непрерывно.
Следует отметить, что спор о струне оказался решением одного из самых простых уравнений частных производных — одномерного. Современная теория уравнений частных производных очень сложна. И даже простейшие вопросы, связанные с существованием и единственностью решений, ответы на эти вопросы получены только для достаточно узкого класса уравнений в частных производных. И даже эти вопросы (когда уравнения частных производных имеют решения), является открытым. Быть может, чтобы ответить на эти вопросы нам понадобится вводить какие-то новые математические понятие, математические объекты.
