В 2014 году впервые за 78-летнюю историю Филдсовская премия была присуждена женщине. Обладательницей награды за выдающийся вклад в динамику и геометрию римановых поверхностей стала математик из Ирана Мариам Мирзахани. ПостНаука попросила математиков Сергея Ландо и Александра Буфетова прокомментировать это важное событие и рассказать о предмете исследований лауреата.

lando

Сергей Ландо

доктор физико-математических наук, профессор факультета математики НИУ ВШЭ, вице-президент Московского математического общества

Присуждение Филдсовской медали Международного математического союза за 2014 год Мариам Мирзахани — ожидаемое, но от того не менее значимое событие. Похоже, уже в течение нескольких медальных циклов Филдсовский комитет искал возможность впервые присудить медаль женщине, и Мирзахани своими замечательными работами, сделанными к тому же в молодом возрасте, ему такую возможность предоставила. Я думаю, что в ближайшие 4 года присуждение медалей Филдса женщинам перестанет вызывать удивление. Рассказывая на заседании Московского математического общества, посвященном результатам предыдущего Международного конгресса математиков 2010 года, я посвятил значительную часть своего выступления именно докладу Мариам Мирзахани. Я хорошо знал ее работы, предшествовавшие приглашению на конгресс, но ее доклад произвел на меня сильное впечатление свежестью и целостностью взгляда на изучаемую область и последовательностью в постановке и достижении целей. На нынешний Сеульский конгресс она была приглашена уже в качестве наиболее почетного, пленарного докладчика.

Работы Мирзахани посвящены структуре пространства возможных геометрий на двумерных поверхностях.

Рекомендуем по этой теме:
30730
Точка зрения | Сексизм в науке
В этом отношении они напоминают работы Григория Перельмана — только он изучает более сложный случай трехмерных поверхностей. За счет меньшей размерности в двумерном случае удается получить более полные результаты. Работы Мирзахани используют очень глубокие и тонкие геометрические конструкции, связанные с возможными значениями длин замкнутых геодезических на отдельных поверхностях. В свою очередь, ее результаты позволяют вычислять важные характеристики пространств геометрии, и значительная часть ее вычислений доведена до явных ответов — редкое и потому высокоценимое в научном сообществе качество.

В последние годы Мирзахани разрабатывает оригинальные неклассические вероятностные подходы к классическим вопросам. Как следствие, многие ее результаты формулируются как свойства «случайной геометрии». Есть основания полагать, что геометрия нашего космоса также в некотором смысле случайна и что тем самым язык случайности может оказаться адекватным языком ее описания.

Мариам Мирзахани получила школьное и университетское образование в Иране, известном высокими традициями обучения математике. В школьные годы она дважды завоевывала золотые медали Международных математических олимпиад. Докторскую диссертацию она писала в Гарвардском университете, США, под руководством филдсовского лауреата Кертиса Макмуллена, и ее работы, безусловно, носят отпечаток тесного взаимодействия с ним.

bufetov

Александр Буфетов

доктор физико-математических наук, профессор НИУ ВШЭ

Присуждение премии Филдса замечательному иранскому математику Мариам Мирзахани — решение очень естественное, ожидаемое и доставившее нам, ее коллегам, огромную радость.

Эта премия была присуждена Мариам за широкий круг работ, но я хотел бы рассказать о работах по эргодической теории в пространстве Тейхмюллера. Пространство Тейхмюллера — удивительный объект! Оно параметризует все геометрии, возможные на двумерной поверхности. Двумерные поверхности полностью расклассифицированы еще в XIX веке. Можно представить себе поверхность футбольного мячика (сфера) или бублика (тор), но гораздо интереснее рассмотреть бублик, который называется обычно «косичка», а математики называют его «крендель». Крендель представляет собой два бублика, соединенных трубочкой. Геометрия кренделя гораздо богаче, чем геометрия тора или сферы. Это связано с тем, что геометрия тора, например, евклидова. А вот при изучении кренделя возникает геометрия Лобачевского (эта связь открыта и изучена Анри Пуанкаре). Множество всех возможных геометрий на кренделе и дает пространство Тейхмюллера.

В пространстве Тейхмюллера есть так называемые «геодезические» линии, идущие по кратчайшим расстояниям. Такие линии обладают необычными хаотическими свойствами. Для них выполнена центральная предельная теорема теории вероятностей. Они похожи на траектории броуновского движения. Однако ситуация полностью меняется, если рассматривать комплексные геодезические — в отличие от вещественных геодезических, они обладают свойством жесткости. Мариам Мирзахани в своей совместной работе с Александром Григорьевичем Эскиным дала полное описание комплексных геодезических в пространстве Тейхмюллера. Мирзахани принадлежит большой цикл работ, совместных с Эскиным. В некоторых работах приняли участие и другие математики, в их числе и я: вместе с Атреей и Эскиным мы вычислили асимптотику объема шара в пространстве Тейхмюллера.

Рекомендуем по этой теме:
26701
FAQ: Аксиоматический метод
Duke Math. J. Volume 161, Number 6 (2012), 1055-1111. Lattice point asymptotics and volume growth on Teichmüller space. Jayadev Athreya, Alexander Bufetov, Alex Eskin, and Maryam Mirzakhani.

Вопрос описания комплексных геодезических в пространстве Тейхмюллера стоял очень давно, над ним работали многие математики. Сама проблема восходит к прославленному результату 1991 года, полученному ученицей Якова Григорьевича Синая Мариной Евсеевной Ратнер. Говоря очень неформально, Ратнер полностью описала орбиты широкого класса динамических систем, возникающих в теории чисел. Довольно быстро встал вопрос о перенесении теоремы Ратнер на пространство Тейхмюллера. Эскин и Мирзахани дали полное решение этой проблемы. Это был очень долгий и трудный путь, опирающийся, разумеется, на работы и других математиков, среди прочих для подхода Эскина и Мирзахани важную роль играет работа замечательных французских математиков Бенуа и Кента. Прорыв редко появляется сам по себе, чаще он опирается на исследования многих предшественников. Работа Эскина и Мирзахани — замечательный прорыв, открывающий, в свою очередь, дорогу новым исследованиям.