Каждый человек уверен, что знает, что такое узел, потому что ежедневно завязывает шнурки на ботинках. На самом деле так и есть, хотя, в отличие от бытового понимания, в математике узел — это замкнутая гладкая кривая, правильным образом вложенная в трехмерное пространство и не имеющая самопересечений. При этом ситуации, которые называются перекрестками, не только возможны, но и приветствуются.

1. Атомная теория строения материи

Как часто бывает в математике, все начиналось с физиков. Человек, которого зовут Уильям Томсон, известный также как лорд Кельвин в середине XIX века, размышлял, как и многие его коллеги, над тем, как устроен мир и из чего сделана материя. На тот момент существовали две основных теории построения материи: корпускулярная и волновая. Однако Томсон предположил третий вариант — атомное устройство, где атомы представляют собой хитрым образом свернутые маленькие веревочки, другими словами, узлы. И он предположил, что разные топологические свойства узлов соответствуют разным физическим и химическим свойствам атомов. Поэтому нужно стремиться как можно скорее расклассифицировать узлы и научиться определять, когда две веревочки, на первый взгляд свернутых по-разному, соответствуют одной и той же топологической конструкции. Теория Томсона не прожила долго, и уничтожил ее наш соотечественник Менделеев открытием таблицы. Однако задача уже была поставлена.

А. Б. Сосинский. Узлы. Хронология одной математической теории. М., Изд-во Бюро Квантум, Серия Библиотечка «Квант», 2009

2. Распознавание тривиального узла

В теории узлов есть одна главная нерешенная задача — понять, когда два, на первый взгляд, совершенно разных узла топологически представляют собой одно и то же.

Другими словами, один узел из другого можно получить какими-то простыми непрерывными деформациями. То есть веревочку, из которой это все связывается, мы можем растягивать, сжимать, передвигать в пространстве, но разрезать ее или переклеивать мы не можем.

Существует отдельная разновидность вышеописанной задачи — распознавание тривиального узла. Тривиальный узел — это петля, которая никак не зацеплена.

Рекомендуем по этой теме:
8989
Теория узлов

Самая простая идея, которая лежит в основе всей теории узлов, — это то, что узел можно представить диаграммой, проекцией на какую-нибудь плоскость. Первое, что необходимо было сделать, — классифицировать соответствующие плоские кривые. Но легко понять уже на примере тривиального узла, что мы можем его перекрутить, и узел останется таким же, топология никак не поменяется, а на картинке добавится лишний перекресток. И выглядеть все будет совершенно по-другому. Значит, идея должна быть более тонкой и более хитрой.

Таким образом, в теории узлов есть две связанные задачи: распознать тривиальный узел и понять, представляют ли две крайние запутанные диаграммы одно и то же или нет.

3. Движение Рейдемейстера

С 1860 года топологи много раз возвращались к решению этой задачи. Но реальный прорыв произошел в 20-е годы XX века в Германии благодаря работе Курта Рейдемейстера. Он задался вопросом, что значит, когда два узла эквивалентны, изотопны. Он рассмотрел локально диаграмму узлов возле отдельных перекрестков и показал, что два узла изотопны, если их диаграммы переводятся друг в друга с помощью наборов простых движений, примерно таких, которые вы совершаете, когда завязываете шнурки.

Рекомендуем по этой теме:
11506
FAQ: Топология как геометрия XX века

Например, вы берете прямую веревку и образуете из нее правую или левую петлю. При этом топологически процессы не меняются. Все остается эквивалентным. Движение такого типа — это движение Рейдемейстера. Он составил полный список таких движений и доказал, что такой набор — это набор необходимых и достаточных движений. На первый взгляд, он решил поставленную задачу. Однако представьте, что у вас есть очень запутанная диаграмма узла, которую вы развязываете с помощью движений Рейдемейстера, даже с использованием компьютера. Ваш алгоритм может работать и день, и два и не развязать узел. Означает ли это, что узлы (ваш и тривиальный) неэквивалентны? Конечно, нет.

Knots, by G. Burde and H. Zieschang, de Gruyter Stud. Math., vol. 5, Walter de Gruyter, New York, 2003

4. Алгоритм развязывания узла

В дальнейшем люди активно продолжали развивать эту теорию, но гораздо более тонким образом. Для диаграмм подбирали уже специальные формы, а не произвольные проекции на плоскости. Дальше анализировалось, что для конкретного вида диаграмм означают движения Рейдемейстера. Хакен доказал, что существует универсальный алгоритм, развязывающий узел. Но, поскольку в современном мире мы стремимся к эффективности, люди стараются строить все более и более быстрые алгоритмы. В качестве меры скорости используется, например, количество перекрестков. Это совершенно разные ситуации, если у вас есть алгоритм развязывания за экспоненциальное время или за линейное. Принципиальная задача — построить наиболее эффективный алгоритм — по-прежнему актуальна. Это первое алгоритмическое направление развития теории узлов.

Introduction to Knot Theory (Dover Books on Mathematics) Richard H. Crowell, Ralph H. Fox., Library of Congress Cat.aloging in Publication Data, 1963

5. Полином Конвея и полином Александера

Второе направление связано с инвариантами. Представьте, что есть две крайне запутанные диаграммы узлов. Как понять, что они задают один и тот же узел? Можно каждому узлу сопоставить единым способом какую-нибудь алгебраическую конструкцию так, чтобы они выглядели по-разному для разных узлов, а для изотопных узлов выглядели одинаково.

Одним из первых хронологически был американский математик Джеймс Александер, который предложил свой многочлен в 1928 году. Однако его конструкция не справилась с классификацией уже первых 84 неизотопных узлов, известных в то время.

В дальнейшем подобные идеи развивались на протяжении всего XX века. Особое место занимает работа Конвея, в которой он построил полином, значительно более тонкий, чем полином Александера. Что значит тонкий? Дело в том, что в одну сторону все работает идеально, если полином построен правильно, если полиномы выглядят по-разному для разных узлов, значит, узлы разные. Но в обратную сторону, к сожалению, так не получается. Полином Александера различает не все отличающиеся узлы. Полином Конвея — это уже более тонкая вещь, поскольку он умеет различать то, что не различает полином Александера.

В чем состоит идея постройки любого полинома? Мы должны описать, как меняется этот полином, если мы изменяем вид перекрестка, то есть локально меняем узел. И то, что описано в полиноме Конвея, так называемая «переброска Конвея», действительно происходит в природе. Ученые выяснили это, когда начали изучать структуру молекулы ДНК. Оказывается, там реально осуществляются переброски Конвея. Другими словами, то, что мы придумываем, природа изобрела уже давно. Тем не менее, несмотря на всю красоту конструкций, полином Конвея также не решает главную задачу. Это также неполный инвариант.

Потом строились другие инварианты узлов с использованием общей теории статистической физики. Но главную задачу они тоже не решают. Тем не менее статистические физики разглядели подробнее эту конструкцию и нашли ей какие-то применения.

6. Инварианты Васильева

Главная революция в исследовании узлов произошла в 1990 году, когда Виктор Васильев, немаломерный тополог, специалист по теории катастроф, придумал свои инварианты Васильева. Инварианты Васильева — это не один полином, а целая бесконечная семья. Васильев ввел правило, по которому можно строить семью. Теория катастроф — это частный случай теории особенностей. Особенностей в теории узлов нет. Однако Виктор Васильев решил ее внести и разрешил самопересечение, введя только условие, как оно связано с непересекающимися перекрестками.

Во-первых, сама идея позволяет взглянуть на проблему не с психологической точки зрения, то есть индивидуально разбирать трудности каждого узла, а с социологической: на узлы смотрят семьями. Эта идея потом эффективно применялась в разных видах математики. Во-вторых, в настоящий момент существует недоказанная гипотеза о том, что Васильев все-таки построил полную систему инвариантов. Работа продолжается, и есть надежда, что такой подход позволит классифицировать узлы в полном смысле этого слова.