Книги, подобные «Математическому дивертисменту», появляются на полках магазинов нечасто. Как зародился её замысел, и как она создавалась и переводилась?
До 1990 года, когда оба автора уехали в Америку, мы много писали для журнала «Квант» (С.Т. возглавлял отдел математики «Кванта» в конце 1980-х). Многие из наших статей были использованы при работе над книгой. В США мы тоже часто выступаем с докладами перед студентами и школьниками. В какой-то момент мы решили, что пришла пора записать наши любимые сюжеты.
Кстати, в Америке (и других западных странах) в последнее время появилось много новых форм работы с талантливыми школьниками и студентами. Это всевозможные олимпиады, летние математические лагеря, математические кружки (термин mathematical circle, кажется, вошел в обиход), летние исследовательские программы для студентов (Research Experience for Undergraduates, REU) и т. д. Кое-что является продолжением советских и восточноевропейских традиций, что и не удивительно: большое количество математиков из этого региона живут и работают на Западе.
Например, мы участвуем в организации Международной летней математической школы. Эта школа будет проводиться каждый год, по очереди в Германии и Франции. Прошлым летом, в Бремене, мы приняли около 100 школьников-старшеклассников и студентов младших курсов из 30 стран. Эта школа — европейский аналог школы «Современная математика», которая уже больше 10 лет проводится в Дубне.
Мы писали нашу книгу несколько лет. Дважды мы проводили часть лета, работая над книгой, в Обервольфахе. Название этой немецкой деревни известно всем активным математикам во всем мире: там находится математический институт, в котором проводятся еженедельные конференции. Одна из их программ называется RiP, Research in Pairs (здесь содержится шутка: RiP, Rest in Peace — стандартная надпись на могильном камне. Название настолько удачное, что его заимствовала еще одна подобная программа: RiP = Research in Paris). Участники программы RiP, небольшие группы по 2-4 человека, приезжают в Обервольфах поработать над определенным математическим проектом. Институт обеспечивает жилье и питание (и то, и другое — отличное), находится это в горной курортной зоне в Шварцвальде. Настоящий дом творчества! Кстати, институт располагает прекрасной библиотекой. Любопытна дата его открытия: 1944.
Решение об издании такой книги требует определенной смелости от издателя: книги общего содержания — не очень ходкий товар. В нашем случае инициатива принадлежит Сергею Гельфанду, который возглавляет издательство Американского математического общества. Сергей воспитывался в тех же математических традициях, что и авторы книги (он также активный математик); без его поддержки издание вряд ли состоялось бы.
Мы написали нашу книгу по-английски, перевод на русский — не наш. Мы очень благодарны редактору перевода Сергею Львовскому, который проделал огромную работу над книгой (высокое качество редактирования — это тоже традиция, которой можно гордиться). Наша книга также переведена на немецкий язык; готовится японское издание.
Мы не можем не упомянуть нашего третьего соавтора, художника Сергея Иванова. Сергей — книжный иллюстратор и дизайнер, он живет и работает в Вашингтоне. Во второй половине 1980-х и в начале 1990-х он возглавлял художественный отдел «Кванта». Его иллюстрации — важная часть нашей книги, еще одна связь с «Квантом».
Что вошло в книгу, а что нет? Был ли какой-то принцип, которым вы руководствовались при отборе сюжетов? Есть ли такие, которые не поместились, и вы об этом сожалеете?
Мы особенно себя не ограничивали. Конечно, мы избегали технически сложных сюжетов, и мы старались не писать о том, о чем и так уже много написано. Например, объяснение явления радуги: почему радуга — дуга окружности? Почему мы видим радугу всегда под одним и тем же углом в 42 градуса? Почему порядок цветов в первой и второй радуге противоположны? Почему мы не видим третью радугу? Это замечательная — и очень классическая — тема (Декарт, Ньютон), но литература на эту тему и так огромна.
Вероятно, было бы лучше, чтобы число лекций в нашей книге было не 30, а 32 (= 100000 в двоичной записи). Если когда-нибудь состоится второе издание, мы хотели бы добавить главу о «велосипедной математике».
Простая модель велосипеда: отрезок постоянной длины, способный перемещаться на плоскости так, что скорость его заднего конца всегда направлена вдоль отрезка (заднее колесо закреплено на раме, а передним можно рулить). Есть много интересных и трудных задач, связанных с этой моделью. Например, глядя на следы переднего и заднего колеса, можно ли определить, в какую сторону проехал велосипед? Ответ: обычно можно, но иногда — нельзя (например, если следы — две концентрические окружности). Описание всех таких пар кривых, когда направление определить невозможно, — пока нерешенная задача, но имеющиеся результаты очень интересны. Кстати, эта задача эквивалентна другой нерешенной задаче, предложенной С. Уламом в 1930-х: описать тела, которые плавают в равновесии в любом положении. Конечно, шар обладает этим свойством, но только ли шар? Двумерный вариант задачи Улама (плавающий цилиндр) эквивалентен вышеупомянутой велосипедной задаче.
Поскольку до 32 нам не хватает еще одной лекции, мы бы написали главу о математических биллиардах — это замечательный и любимый нами сюжет.
В аннотации к книге написано, что все её сюжеты объединяет математическая красота. Однако, большинство людей, учивших в школе или ВУЗе математику, считают её, скорее, неизбежным злом. Может ли зло быть прекрасным? Расскажите, пожалуйста, о математической красоте.
В Америке мы тоже часто слышим «I hate math» («терпеть не могу математику»), увы, и от студентов тоже. Математика — важная (и очень старая) часть культуры, как поэзия или музыка. Мы ведь не очень удивляемся, что большинство людей не любят и не знают поэзию, не ценит классическую музыку. Развитие хорошего вкуса — долгий и сложный процесс, в математике он начинается с кружков, олимпиад, популярной литературы. Хотелось бы верить, что и наша книга внесет вклад в развитие вкуса к математике у молодых людей. По мере развития вкуса понятие о том, что хорошо, а что плохо, меняется (так — во всем, например, и в отношении еды).
Объяснить, что такое красота — невозможно, но можно привести примеры. Скажем, теорема Кантора о том, что точек на отрезке больше, чем натуральных чисел (хотя и тех, и других — бесконечно много). Идея доказательства проста и элегантна. Каждой точке отрезка можно дать «имя», бесконечное слово из двух букв, Л и П. Делается это так. Разделим отрезок пополам. Если точка лежит в левой половине — ее имя начинается с Л, а если в правой — с П. Возьмем тот из двух отрезков половинной длины, который содержит нашу точку, и снова разделим его пополам. Так мы определим вторую букву имени нашей точки. И так далее. Предположим теперь, что точек столько же, сколько натуральных чисел. Тогда мы можем составить список: в первой строке — имя первой точки, во второй — имя второй, и т. д. А теперь прочтем этот список по диагонали, меняя все буквы на противоположные: П на Л и Л на П. Получилось новое слово, которого не было в нашем списке: ведь его первая буква отличается от первой буквы первого слова в списке, вторая буква — от второй буквы второго слова в списке, и так далее. Значит, список был неполным и все точки невозможно пересчитать.
Если этот пример показался вам слишком сложным, можно привести много других. Например, вот красивая задача для «младших школьников». Население Соединенных Штатов — около 300 миллионов. Почему на карте США масштаба 1:1 000 000 не помещается 300 человек?
Наверняка есть и красивые математические решения прикладных задач.
Самый знаменитый ученый античности, Архимед, красиво решил прикладную задачу уничтожения римских кораблей, осаждавших Сиракузы. Он использовал оптическое свойство параболы: пучок лучей, параллельный оси, фокусируется в одной точке (лучи света от солнца параллельны). Мы не знаем, действительно ли Архимед сжег римский флот (эксперименты показывают, что это практически осуществимо), но идея красивая. Между прочим, эта идея используется в «Гиперболоиде инженера Гарина», только название — ошибочное.
В наше время В. И. Арнольд изучал прикладную задачу описания движения воздуха в атмосфере. В идеализированной модели движение описывается как движение свободной частицы на бесконечно-мерной «конфигурационной поверхности». При дополнительных упрощающих предположениях (таких как: земля имеет торическую форму) удается доказать, что эта поверхность имеет отрицательную кривизну, подобно седловидной поверхности в трехмерном пространстве. Близкие траектории свободных частиц на такой поверхности разбегаются с экспоненциальной скоростью. Практическое заключение: предсказать состояние атмосферы через продолжительный период времени (т.е. сделать долгосрочный прогноз погоды) невозможно.
Еще один пример. Оригами представляется чистым искусством, которое, однако, имеет серьезные практические приложения. Например, так называемый Miura fold может использоваться в конструкции солнечных батарей космических аппаратов.
Таких примеров очень много, и то, что сегодня кажется чисто теоретической математикой, завтра может оказаться вполне прикладной.
На фоне книг по естественным наукам, которые надо переписывать каждые несколько лет, математика выглядит очень стабильной и почти неизменной. Это обманчивое впечатление? Насколько можно и насколько нужно донести то, чем занимается современная математика до более или менее широкой аудитории?
Мы не уверены, что книги по естественным наукам действительно надо переписывать каждые несколько лет. Разве Фейнмановские лекции по физике так уж устарели?
Математика развивается так же стремительно, как и естественные науки (тот же экспоненциальный рост). Распространенное представление, что математика — мертвая наука, в которой уже все сделано, совершенно неверно. Однако объяснить, в чем состоят достижения современной математики «более или менее широкой аудитории» нелегко. Для этого нужен большой талант популяризатора.
Мы хотели бы упомянуть американского математического журналиста, Dan’a Macenzie. Он выпускает периодическое издание «Что происходит в математике» (What’s happening in the mathematical sciences). Каждая книга — а их уже 8 — содержит около десяти хорошо написанных и богато иллюстрированных статей. Другой интересный проект: французское веб издание Images des mathematiques. Статьи в этом виртуальном журнале пишутся для читателей с разным уровнем подготовки, от профессионала до «человека с улицы». Соответственно, статьи помечены разными цветами, подобно горнолыжным трассам.
Есть и другие удачные примеры, однако в целом общество абсолютно не представляет, чем занимаются математики. Это — печальное положение дел, которое необходимо исправлять. Цитируя Галилея: «книга природы написана на языке математики, без помощи которой невозможно понять в ней ни одного слова». Это так же верно сегодня, как и 400 лет назад.
